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2025 年高考考前信息必刷卷 03（新高考Ⅰ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B A A C D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．42. 13．-4 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1） ；............................................2分
（2）因为 ，所以 ，
所以 ．.........................................................................................................4分
（3）设1人获赠贵妃杏的个数为 ，则 ．.........................6分
依题意可得 的可能取值为 ，
， ，
，
，
，............................................................................................................................9分
则 的分布列为
0 1 2 3 4
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学科网（北京）股份有限公司0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
.............................................................................................................................................................................11分
所以 ....................................................................13分
16．解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，....................1分
则 ，化简，得 ，..............................................................................3分
整理，得 ， 解得 (舍去)，或 ，则 ，.............................................5分
， ...........................................................................6分
（2）由 (1) 可知， ，
则 ，.........................................................................................................................7分
，
...................................................................................................................................................10分
（3）由 (1) 可得，
，.................................................................................................................11分
，.....................................................................................................12分
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
两式相减，可得
，
，.................................................................................................................................14分
令
,
.....................................................................................15分
17．解：（1）依题意，函数 的定义域为R，
当 时， ，则 ，
，.................................................................................................................2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ..........................................................................................................................................4分
（2）由题意得， ，
当 时， 恒成立，所以函数 在R上单调递增，此时函数 不存在极值，不合
题意......................................................................................................................................................................6分
当 时，令 ，即 ，则 .
当 时， ，函数 单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，............................................................................................9分
且 .
又因为 ，则 等价于 ，..............................................................11分
令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递减，....................................................................13分
又 ，所以当 时， ，
即不等式 的解集为 ，
故实数 的取值范围是 ......................................................................................................................15分
18．解：（1）因为 分别是 的中点，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，...........................................................................................................2分
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；...........................................................................4分
（2）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，.......................................................................................................................................6分
平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， .....................................................................................................................................8分
又 平面 ，故 .....................................................................................................................9分
（3）以 为坐标原点， 所在直线为 坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（2）： 平面 且 平面 ，故平面 平面 ，...........................................10分
过 在平面 内作 ，所以 平面 ，设 ，则
则 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，.............................................11分
因为直线 与平面 的夹角为 ，所以
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以： ， ，
， ， ，............................13分
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则：
，............................................................................................................15分
所以 ，
解得： 或 ，经检验，均符合题意................................................................................................17分
19．解：（1）设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .......................................................................................................................2分
（2）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，
则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；..........................................................................................4分
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学科网（北京）股份有限公司②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，........................................................................6分
所以
，
同理 ，所以 ，
综上， ...................................................................................................................................9分
（3）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
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则 ，
， ，
故 ，...............................................11分
因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，....................................................................................................................12分
所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，
Q到两渐近线的距离分别为 ，
，.............................................................................................14分
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为
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学科网（北京）股份有限公司，............................................................16分
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 ...........................................................................................17分
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