文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设复数
，若
的实部与虚部相等，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算结合题目条件即可求出实数
的值.
【详解】
，
所以
，解得
．
故选：D
2．设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解对数不等式求得集合
，由此求得两个集合的交集．
【详解】由
，解得
，故
．
依题意
，所以
．
故选：C
3．2025 江苏城市足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，
创造经济效益超3 亿元.下表是截至9 月27 日各队的积分：
南
京
队
无
锡
队
徐
州
队
常
州
队
苏
州
队
南
通
队
连
云
港
淮
安
队
盐
城
队
扬
州
队
镇
江
队
泰
州
队
宿
迁
队
队
24
19
23
5
14
32
18
16
22
7
18
18
15
则积分数据的第70 百分位数为（ ）
A．18
B．19
C．22
D．23
【答案】C
【分析】把数据排序，根据百分位数求解方法可得答案.
【详解】将13 支球队的积分，按照从小到大的顺序排列：
5,7,14,15,16,18,18,18,19,22,23,24,32；
由
可知积分数据的第70 百分位数为第10 个数据，即22.
故选：C
4．已知向量
．若
为实数，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量
，
所以
.
因为
，所以
，解得
.
故选：D.
5．已知空间中三条直线
与平面
分别交于不同的三点
，则“
三点共线”是“直线
共面”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成
立.
【详解】如图所示，空间中三条直线
与平面
分别交于不同的三点
，
且
三点共线，但直线
不共面，
所以“
三点共线”是“直线
共面”的不充分条件；
若直线
共面，设其为
，则
均在平面
内，也在平面
内，
则
在平面
与
的交线上，所以
三点共线，
所以“
三点共线”是“直线
共面”的必要条件；
所以“
三点共线”是“直线
共面”的必要不充分条件.
故选：B.
6．设
是等比数列
的前
项之和，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质和等比数列前
项和公式以及等比数列的通项公式计算即可.
【详解】设等比数列
的首项为
，公比为
，
当
时，
，所以
.
此时
，所以
.
那么
，因为
成等差数列，
所以
，所以有
，
化简得
，由于
，所以解得
，又
，
所以
，所以
.
故选：C.
7．已知奇函数
的定义域为
，对于任意的正数
，都有
，且
当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件判断函数
的单调性，再结合对数函数的性质解不等式.
【详解】设
是
上的任意两个实数，且
，则
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以函数
在
上单调递增，
因为
是定义域在
上的奇函数，所以
在
上也单调递增，
由
得
，即
，
又
，令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，
令
，则
，
因为
是奇函数，所以
，
所以当
时，解
得
，
当
时，解
得
，
当
时，
，不满足条件，
所以不等式
的解集为
，
故选：D
8．在平面直角坐标系中，过点
的直线与圆
有两个交点，则直线斜率的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可.
【详解】圆
可化为
，则圆心
，半径
，
由题意可知，过点
的直线与圆
相交，
当直线的斜率不存在时，
与圆相切，不符合题意；
故直线的斜率存在，设
，即
，
则
，即
，得
，
故直线斜率的取值范围是
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．函数
的部分图象如图所示，其中
，下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
在区间
上恰有一个零点
D．
在区间
上没有极值点
【答案】BCD
【分析】根据图象的点代入计算判断A；确定
最小正周期，从而求得
，判断B；根据
，
得到
可判断的零点个数和极值点个数，判断CD.
【详解】对于A，由图象可知
，所以
，
又
，所以
，故A 错误；
对于B，又
，所以
，
因为
属于单调递减区间，所以
，
所以
，因为
的最小正周期
，
，
所以
，故
，所以
，故B 正确；
对于CD，根据AB 选项可知
，
当
时，
，
所以
在区间
恰有一个零点，没有极值点，故CD 正确；
故选：BCD.
10．已知函数
有两个极值点
.设
，点
为曲线
上一点，则（ ）
A．
B．若直线
的倾斜角为
，则
C．
有最值
D．若存在
使得
，则
【答案】BD
【分析】A 将问题转化为
有两个零点求解；B 求出
，再根据斜率公式计算；C 结合B
选项求出
，结合函数的单调性即可；D 求出线段
的垂直平分线的方程，将问题转化为
在区间
有零点，利用导数求出最大值即可.
【详解】由题意知，
有两个零点，则
，则
，故A 错误；
由
得
或
；
得
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
则
，
因为直线
的倾斜角为
，所以
，得
，则B 正确；
由B 选项可知，直线
的斜率为
，
则
，
易知函数
在
单调递减，
当
时，
；当
时，
，
故
的值域为
，无最值，因此
也无最值，则C 错误；
因为
，所以
，
，
则线段
的中点为
，
因为直线
的斜率为
，所以线段
的垂直平分线的斜率为
，
故线段
的垂直平分线的方程为
，
若存在
使得
，则
与
有交点，
因为
，所以
的定义域为
，
则
在区间
有零点，
得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以解得
，则D 正确.
故选：BD.
11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
为坐标原点，左顶点为
，点
是
的右支
上一点，过点
向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为
、
，则（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．若直线
与
交于另一点
，则
的最小值为
C．
为定值
D．若
为
的内心，则
为定值
【答案】ACD
【分析】求出
、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A 选项；设出直线
的方程，将该直线方程
与双曲线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可判断B 选项；利用点到直线的距离公式可判断C 选项；
求出内心
的坐标，分析可知点
在双曲线
上，结合双曲线的定义可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，
，
，则
，
故双曲线
的离心率为
，故A 正确；
对于B 选项，由题意可知
，若直线
的斜率不存在，此时直线
的方程为
，
联立
可得
，此时
，
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
，可得
，
所以
，解得
，
由韦达定理可得
，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
；
当
时，
，
综上所述，
，故B 错误；
对于C 选项，设点
，则
，
双曲线
的两渐近线方程分别为
、
，
则
为定值，故C 正确；
对于D 选项，如下图所示：
设
、
，其中
，易知点
，
，
则
，
，
，
因为
为
的内心，则
与向量
共线，
且
，
所以
①，
同理可知
与向量
共线，且
，
，
所以
②，
联立①②解得
，
，
因为
，
所以
在双曲线
上，易知
在双曲线
的右支上，
故
为定值，故D 正确．
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，则
.
【答案】
【分析】先化简
，把
当成一个整体，然后用二倍角公式展开
，最
后代入计算.
【详解】因为
，
所以
即
故答案为：
13．已知直线
和直线
，则抛物线
上一动点P 到直线
的距离之和的最小值
为 ．
【答案】
【分析】作出图象，过点
作直线的垂线，垂足为
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，点
作直线
的垂线，垂足为
，由抛物线定义可知
，数形结合得点P 到直线
的距离之和为
，当且仅当
三点共线时等号成立，计算即可求解.
【详解】抛物线
，即
，焦点坐标
，准线方程
，
设点
到直线
的距离为
，点
到直线
的距离为
，
由抛物线的定义可知点
到直线
的距离等于点
到焦点
的距离，
过点
作直线的垂线，垂足为
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，则
，
过点
作直线的垂线，垂足为
，
故点
到直线
的距离之和为
，
当且仅当
三点共线时等号成立，
即点
到直线
的距离之和的最小值为焦点
到直线的距离，即
.
故答案为：
.
14．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九
章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无
广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：
（
上袤
下袤）广高．如图2
所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为
，
广为
，上袤是下袤的
，
和
与底面所成角均为
，则该刍甍的体积为
．
【答案】640
【分析】过点F 作
平面ABCD，垂足为O，Q 为BC 的中点，
为平面BCF 与底面所成的角，
利用相关条件求出高，代入体积公式即可．
【详解】如图，已知
，
，
，
过点F 作
平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q 为BC 的中点，连接FQ，
因为
，所以
，
，所以
为平面BCF 与底面所成的角，则
，所
以
，则
，
则该刍甍的体积
（
）．
故答案为：640
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
中，角
所对的边分别为
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】
(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理求出
，再由正弦定理可得
；
（2）利用辅助角公式化简求出
，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
所以
，由正弦定理得
，解得
.
（2）因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理得
，即
，解得
，
所以
.
16．（15 分）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用
与
的关系结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）结合（1）可得
，利用裂项相消即可求出
.
【详解】（1）因为
所以令
，可得
，
解得
.
当
时，
，
则
，即
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以数列
的通项公式为
.
（2）因为
，
所以
，
即
，
所以
.
因为
，所以
，即
，
所以
.
17．（15 分）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
中点，将
沿
折起，使
到
处．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，
，
，且二面角
的正
弦值为
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求四棱锥
外接球的表面积．
【答案】
(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）
【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出
值；判断外接球球心位
置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积.
【详解】（1）因为
，
，
，所以四边形
为矩形，
连接
交
于点
，连接
，则点
为
中点，
又
为
中点，所以
是
中位线，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）（Ⅰ）因为
，
平面
，平面
平面
且交于
．
所以
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
故以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系如图．
则
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
又
，
所以
，即
，所以
，
则
，
，
设平面
的法向量为
.
则
，即
，令
，则
，
，
所以
.
又
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以
即为平面
的一个法向量.
设二面角
的平面角为
，则
，
所以
，
即
，
解得
或
（舍去，因为
），故：
．
（Ⅱ）所求外接球球心
在过点
垂直于平面
的垂线上，则
.
设
，又
，则
，
，
所以
，
即
，整理得
，解得
，
所以
，所以
，
故
．
18．（17 分）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，点
在
上，
轴，且点
到直线
的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于不同的两点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）若
于点
，证明：直线
过定点.
【答案】
(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）先求出
，再利用椭圆的定义以及等面积求出
即可；
（2）（i）设
，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简
即可求出；
（ii）求出直线
的方程，利用
即可化简求出定点.
【详解】（1）由题意知，
，
令
，则
，得
，则
，
由椭圆的定义可知，
，
因为点
到直线
的距离为
，
所以
，
则
，即
，
又
，得
，
故
的方程为
；
（2）（i）由题意可知，直线
的斜率存在，
设
，
，
联立
，得
，
则
，
，得
，
则
，
因为
，所以
，则
，
则
，
故
的取值范围为
；
（ii）因为
，所以
，
若
，即
，则直线
的方程为
，
即
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
即
，恒过点
，
若
，即
，则
，则
，也过点
，
故直线
过定点
.
19．（17 分）已知函数
．
(1)当
时，求
的定义域；
(2)若
在区间
上单调递减，求a 的取值范围；
(3)当
时，证明：若
，
，则
．（参考数据：
，
，
）
【答案】
(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域；
（2）求出
，根据题干可知
在
恒小于等于零，观察
的表达式，得出
的分
子必须恒小于等于零，求其单调性列不等式求解即可；
（3）利用导数，研究
在
和
上的最值，以此分别求出
、
的范围，证明题干结
论即可．
【详解】（1）由题设
，则
，故定义域为
．
（2）由
，则有
，
，
由
在区间
上单调递减，则
在
上恒成立，
令
且
，则
，
在
上
，则
单调递增，故
，解得
．
（3）当
，则
，且
，
设
，则
，
当
，则
，当
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
①当
，
，当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增，所以
；
②当
，
，
，
故
，使
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减，
所以
，
由①②得
．
