文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷04
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数
，
，
，其中为虚数单位，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题知
，进而得
，再求复数的模即可.
【详解】因为复数
，
，所以
，
所以
，故
，
，
所以
.
故选：A
2．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题
的否定是全称量词命题
作出命题的否定，即可得解.
【详解】命题“
”的否定是
.
故选：D
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】由平方关系分别求出
，利用
，由两角差的余弦公式求解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
所以
，
故选：C.
4．一个圆锥的底面直径为2，体积为
，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为
，再根据勾股
定理求出球的半径可得答案.
【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，
圆锥的底面半径为
，体积为
高
，
设球的半径为
，由图可得
，解得
，
故球的表面积的最小值为
故选：C
5．某学术会议有
个相邻座位（编号至
），安排来自所不同大学的
位教授入座，每校
人（甲校
、乙校
、丙校
），要求甲校的
必须坐在乙校的
的左侧且相邻；丙校的
与
两
人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】B
【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解.
【详解】先将
绑在一起，当做一个人和
进行排列，共有
种排列，
有
个空位选两个插入
与
，所以共有
种符合条件的安排方法.
故选：B
6．如图，已知函数
的部分图象与圆
的两个公共点
，当
时，
的图象无限逼近
轴，则
下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数
的图象与圆
的公共信息，分别求出圆的半径、函数中的参数
的值，再逐一判断选项.
【详解】由点
在圆
上，
所以
，解得
.
因为当
时，
，
即
，因为
，取
，则
，
所以
.
将
代入圆的方程，得
，解得
或
，
结合图象知
，即
，将
代入
，得
，
所以
，即
，因为
，由图象可知
，即
，所以取
，得
.
所以
，将
代入，得
，
所以
.
因此，A，B，C 选项错误，D 选项正确.
故选：D
7．记两个等比数列
的前
项和分别为
，公比分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等比数列前
项和公式计算即可.
【详解】因为两个等比数列
的前
项和分别为
，公比分别为
，
所以
，化简得
.
解得
或
，因为等比数列的公比不为0，所以
.
故选：B.
8．在三棱柱
中，
，点
在平面
的射影为点
，若点
在平面
上运动，则线段
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】
的最小值即为点
到平面
的距离h，利用
求解.
【详解】依题意，
的最小值即为点
到平面
的距离h，
因为
平面
，
平面
，故
，
因为
，
，
；
由余弦定理，
，
故
，所以
；
因为
平面
，
平面
，所以
，
则
，
，
又
，故
为等边三角形，则
，
故
，
而
，故
．
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．为了研究
关于
的线性相关关系，收集了5 组样本数据（见下表）：
1
2
3
4
5
0.3
0.8
1
1.2
1.7
假设经验回归方程为
，则（ ）
（参考公式：相关系数为
）
A．
B．当
时，对应的残差为0.08
C．样本数据
的第40 百分位数为0.8
D．去掉点
后，
与
的样本相关系数不变
【答案】AD
【分析】选项A：求出
，
，由
一定满足线性回归方程，代入即可求解；选项B：按照残差的概念
求解即可；选项C：按照百分位数求解方法求解即可；选项D：由相关系数公式计算判断即可.
【详解】选项A：
，
.
将
代入回归方程可得，
，所以
，故A 正确；
选项B：当
时，代入回归方程可得
，
所以残差
，故B 错误；
选项C：将样本数据
值从小到大排列：0.3，0.8，1，1.2，1.7，
第40 百分位数的位置：
，
则第40 百分位数为第2 个数和第3 个数的平均值：
，故C 错误；
选项D：
.
，
，
所以
.
去掉点
后，
，
.
.
，
，
所以
.
故去掉点
后，
与
的样本相关系数不变，故D 正确.
故选：AD.
10．已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的对称轴方程为
C．
D．若关于
的方程
在
上有两个根，则
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数
的解析式，再借助余弦函数的图象性质逐项
求解判断.
【详解】观察函数
的图象，函数
的最小正周期
，则
，
由
，得
，而
，解得
，
因此
，
对于A，
的最小正周期为
，A 正确；
对于B，由
，得
的对称轴方程为
，B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，当
时，
，函数
在
上单调递减，函数值从
减小到
，
在
上单调递增，函数值从
增大到
，当且仅当
时，
直线
与函数
在
上的图象有两个交点，即
在
上有两个根，D 正确.
故选：ABD
11．已知集合
，其中
.定义向量集
，若对任意
，存在
，使
，称集合
具有性质
，则
（ ）
A．集合
具有性质
B．当
时，具有性质
的集合
有无数个
C．若集合
具有性质
，且
，则
D．已知集合
具有性质
，且
，若
，则有穷数列
的通项公式为
【答案】ABD
【分析】利用列举法来配对两两数量积为
，即可判断A，利用
总满足性质
，即可判断B，
利用分类列举，并通过数量积为
，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配
对数量积为
，即可判断D.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，故A 正确；
当
时，令
，
，
则
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，
因为正数
有无数个，所以具有性质
的集合
有无数个，故B 正确；
若集合
具有性质
，
则取
，则
只可能是
根据
，依次解得：
，
因为
，且要满足集合
中元素互异性，所以
,
检验：当
时，
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，
当
时，
，
因为
，
所以对任意
，存在
，使
，即集合
具有性质
，故C 错误；
由C 选项可知：
满足，此时
假设
满足题意，则取
，要使其存在正交向量
，
即
，因为
，所以必须为负数，即
，此时
，
由
，逐一检验可知，只有
时，
，符合
，
以此类推可得：有穷数列
的通项公式为
，
下证明充分性：
对于任意
且
不妨假设
，总存在
满足
，
有穷数列
的通项公式为
,故D 正确；
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若直线
是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】设切点为
，进而根据题意有
，即可求得切点
，再代入直线方程即可得答
案.
【详解】设直线
与曲线
相切于点
，
因为
，直线
的斜率为
所以
，解得
，
所以
，即切点为
所以
故答案为：
13．已知数列
的前n 项和
若
，则
的所有可能值为 .
【答案】或
【分析】利用公式
可得数列的通项公式，根据质因数分解以及数列的性质，可得答案.
【详解】当
时，
；
当
时，
，
易知
满足上式，可得
，
可得
，
由
，则
不妨设
，解得
，所以
；
不妨设
，解得
，所以
.
故答案为：或.
14．已知椭圆
与抛物线
有相同的焦点
，若椭圆
与抛物线
在第一象限的交点为
且
，则椭圆
的离心率为 .
【答案】
【分析】先由焦点可得
，进而可得
，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得
离心率的值.
【详解】由焦点
，得
，所以抛物线的方程为
，准线为
.
又由
，得
，所以
，设椭圆的左焦点为
，
有
，故
，可得离心率为
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队
胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分．球队甲2025 年11 月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙
的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为
，平的概率为
，负的概率
为
；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为
，平的概率为
，负的概率为
；且每场比赛结果相互
独立．
(1)设球队甲11 月主场与球队乙比赛获得积分为
，客场与球队丙比赛获得积分为
，求
的概率；
(2)用
表示球队甲11 月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求
的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得；
（2）得到
的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望.
【详解】（1）设事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队主场与乙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为3 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为1 分”，
事件
“甲队客场与丙队比赛获得积分为0 分”，
事件
“甲队11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”，
，
则
，
所以甲11 月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为
；
（2）由题意可知
的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
6
所以
.
16．（15 分）已知
分别是锐角
三个内角
的对边，且
，
．
(1)求
的值；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出
，再由已知条件结合正弦定理求得
；
（2）先根据正弦定理求出
的关系式，然后根据
的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可
求得其面积的范围.
【详解】（1）在锐角
中，由正弦定理得
，
又
，
∵
，
所以
，
则
，
在锐角
中，
，
，即
.
，
（2）由（1）得
，
由正弦定理：
，得
因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
故
面积的取值范围为
．
17．（15 分）如图1，在直角梯形
中，
，
，
，
，点E 是
上靠近点D 的三等分点，现将
沿着
折起，使得点D 到达点P 的位置，且
，如图
2．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若P，A，B，C 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O 在平面
内；
(3)若点F 为线段
上一点，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)
．
【分析】（1）在平面
内过点P 作
于点H，连接
，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）过点H 作
的平行线交
于点G，易得
，以H 为原点，建立空间直角坐标系，设A，
B，C，P 在同一个球的球心坐标为
，半径为，利用两点间的距离公式建立方程组，求出球心
即可求解；
（3）设
，
，利用线面角求出
，进而得点
的坐标，求平面
与平面
的法向
量，再利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）在平面
内过点P 作
于点H，连接
，
在梯形
中，由
，
，
，
易得
，则
，
，即
．
在
中，由余弦定理，得
．
，且
，
，又
，
平面
，
平面
，∴平面
平面
；
（2）过点H 作
的平行线交
于点G，易得
，
以H 为原点，分别以
，
，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系
，
由已知，得
，
，
，
，
，
再设A，B，C，P 在同一个球的球心坐标为
，半径为，
则有
，
求解可得
，即球心坐标为
，所以点O 在平面
内；
（3）设
，
，由
，得
，则
．
，易知平面
的法向量为
直线
与平面
所成角的正弦值为
，
解得
，
，
平面
中
，
，设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，所以平面
的法向量为
，
在平面
中，
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，令
，得
，
平面
与平面
所成角的余弦值为
.
18．（17 分）已知抛物线
：
（
）的焦点
到其准线的距离为2.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过点
的直线与抛物线
交于
，
两点，点
在第一象限.
①直线
与抛物线
的另一个交点为
，当
时，求直线
的方程；
②是否存在定点
，使得直线
与
斜率互为相反数，如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请
说明理由.
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）由题意可得
，即可求解；
（2）①设直线
的方程为
，然后与抛物线联立可得
，同理设出直线
的方程为
可得
，即得
，再结合
，即可求解；
②假设存在这样的
，设
，且
，化简整理可得
对
任意
恒成立，即可求解.
【详解】（1）由题意点
到其准线的距离为
，则
，
所以抛物线
的标准方程为
.
（2）①设直线
的方程为
，
，
，
，
联立
，得
，所以
，
设直线
的方程为
，
联立
，得
，所以
，
所以可得
，所以
，
所以
，化简得
，解得
，
又因为点
在第一象限，所以
，则
，所以
，解得
，
所以直线
的方程为
.
②假设存在这样的
，设
，
，
所以
，即
，
化简得
，
即
，
即
对任意
恒成立，
所以
，解得
，
所以假设成立即存在
.
19．（17 分）已知函数
的最大值为0．
(1)求实数
的值；
(2)若对任意的
，有
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设数列
的通项公式为
，其前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分
、
、
讨论，利用
以及最值可得
，再检验即可；
（2）结合（1）分
、
讨论，将问题转化为
在
上恒成立，令
，分
、
两种情况讨论即可；
（3）由（2）得
恒成立，利用其可得
，再利用累加法可
证.
【详解】（1）由题意知，
，
若
，则
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
因为
的最大值为0，且
，则
，即
，
此时
的定义域为
，
，
，
当
时
；
时
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
的最大值为
，符合题意；
若
，
的定义域为
，显然
，
其余同
，得出
，舍去；
综上，
；
（2）由（1）知，
，
则当
时，
在
上恒成立；
当
时，若对任意的
，有
恒成立，
则
在
上恒成立，
令
，
则
，
若
，即
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，则
，符合题意；
若
，即
，则当
时，
，
则
在
上单调递减，所以
，不符合题意；
综上所述，实数
的取值范围为
；
（3）由（2）可知，当
时，
恒成立，
即
恒成立，
令
，
则
，
则
，
即
，
则
，
即
.
