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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(14)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（23-24 高三上·江苏·期末）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，解得
，即
，
而
，所以
.
2．（2026·福建福州·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
由
，
所以
.
3．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过
天是星期几（ ）
A．星期二
B．星期三
C．星期四
D．星期五
【答案】D
【解题思路】通过二项式定理将
逐步变形为与
相关的展开式，消去能被
整除的项，最终求得
除以
的
余数，进而推算出对应的选项.
【解析】因为
，
由
能被
整除，则上式前
项都能被
整除，只需看最后一项
除以
的余数，
由
，
则
除以
的余数为
，
所以今天是星期一，再过
天，是星期五.
4．（2026·安徽滁州·一模）若
是抛物线
上的动点，点
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．5
C．7
D．
【答案】B
【解题思路】先根据抛物线方程确定其焦点和准线方程，再利用抛物线的定义将
进行转化，最后结合几何图
形的性质求出
的最小值.
【解析】由抛物线
，得
，则
，
所以抛物线的焦点
，准线方程为
.
设点
到准线
的距离为
，根据抛物线的定义可知，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即
.
因为点
到准线
的距离
就是
，所以
，
那么
，
根据几何性质，当
，
，
三点共线时，
的值最小，即
，
已知
，
，得：
，
所以
的最小值为.
5．（25-26 高三下·江西景德镇·月考）已知数列
满足
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和.
【解析】
，
，
，
，……，
，
，
这
个式子相加得，
，
得
，
，当
时，
，成立，
所以
，
，
.
6．（25-26 高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设
，线段
与
交于点
，
且
，通过计算得到：
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．9
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解析】由
，
三点共线，得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故最小值为
.
7．（2026·黑龙江·一模）三棱锥
中，
平面
，
是边长为4 的正三角形，
，
是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】取BC 中点F，连接
，
后可得
或其补角即为直线
与
所成角，求出
、
、
的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负.
【解析】
取BC 中点F，连接
，
，因为
，故
，
故
或其补角即为直线
与
所成角，
因为
平面
，
平面
，故
，
而
，故
，同理
，
而
为中位线，故
，
而
是边长为
的等边三角形，
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
8．（25-26 高三下·天津南开·月考）已知函数
，且
，已知
的值域为
，若
在区间
上恰有3 个零点，则正实数
的一个可能取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据题意分
、
两种情况，结合整体法处理正弦型函数零点问题求解即可．
【解析】解：
的值域为
，
，
①当
时，
，即
，
又
，
，
，
，
，
，
又
在区间
上恰有3 个零点，
，
解得
；
②当
时，
，即
，
又
，
，
，
，
，
，
又
在区间
上恰有3 个零点，
，
解得
；
综上，
或
．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·广西河池·二模）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27 的第70 百分位数为23
B．若一组样本数据
的方差
，则这组样本数据的总和为
60
C．若随机变量
服从二项分布
，则
D．若随机变量
服从正态分布
，且
，则
【答案】BCD
【解析】选项A，样本共
个数据，
，
为整数，第
百分位数为第
项和第项数据的平均值，
即
，A 错误
选项B，方差
，因为
，故样本均值
,样本总和
，B 正确
选项C，若X ∼☑B(6, 1
2)，则
，根据期望性质
，得
，C 正确
选项D，正态分布
的对称轴为
，由对称性得
，则
，D 正确
10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比
为整数的等比数列
中，
是数列
的前
项和，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
【答案】AC
【解题思路】利用等比数列性质求得
，然后结合
求得
，再求出公比
后可得通项公式
及前
项和
，然后判断各选项．
【解析】选项A，由等比数列性质得
，由
，解得
或
，
若
，则
，不合题意，
若
，则
，满足题意，A 正确；
选项B，由选项A 得
，
，
等比数列的通项公式应为
形式，因此
不是等比数列，B 错；
选项C，由选项B 得，
，C 正确；
选项D，由上知
，
，
，所以数列
是公差为
的等差数列，D 错．
11．（25-26 高三下·重庆·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，点P 在
内（含边界）且
，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线
与
所成的角是
B．
与平面
所成的线面角的正切值为
C．点P 的运动轨迹长度为
D．点P 到平面ABCD 距离的取值范围是
【答案】BCD
【解题思路】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明
平面
，结合等体积法计
算
到平面
的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正
三角形内切圆的特征计算即可判定D.
【解析】对于A，在正方体中易知
且
，
所以异面直线
与
所成的角即
或其补角，显然
，即A 错误；
连接
，易知
，
又
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
，同理可知
，
即
平面
，设垂足为E，取
的中点
，连接
，
则
，所以
，
连接
，由勾股定理可知
，
对于B，易知
与平面
所成的角为
，
故B 正确；
对于C，由三棱锥
为正三棱锥可知
为该正三角形的中心，
则
三点共线，
，
所以
点轨迹为以E 为圆心，
为半径的圆上，该圆即正三角形
的内切圆，
所以点P 的运动轨迹长度为
，故C 正确；
对于D，假设P 的轨迹圆与
交于G 点，由上可知
，
而
到底面
的距离为2，所以
到底面
的距离为
，
由图形可知点P 到平面ABCD 距离的取值范围是
，故D 正确.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数
的共轭复数为___________．
【答案】
【解题思路】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得.
【解析】
，故复数
的共轭复数为
.
13．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1 所示，在平面四边形
中，
，
，
，
将
沿
折叠，得到图2 中的三棱锥
，使二面角
的余弦值为
，则三棱锥
的
外接球表面积为________．
【答案】
【解题思路】取
的中点E，由已知可得
为二面角
的平面角，利用余弦定理求出
，利
用勾股定理的逆定理可得
为直角三角形，则得
的中点O 为三棱锥
的外接球的球心，即可
得到外接球的半径，进而求出表面积.
【解析】
如图，取
的中点E，连接
，
已知
，
，所以
，
，
又
，所以
，
，
所以
为二面角
的平面角，其余弦值为
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，则
，
所以
为直角三角形，
则
的中点O 为三棱锥
的外接球的球心，
外接球的半径为
，
所以三棱锥
的外接球表面积为
.
14．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，
，右焦点为
，线段
的延长线与
交于点
，若
，则
的离心率为______．
【答案】
【解题思路】求出直线
方程，结合
，利用两点间距离公式求出点
坐标，代入椭圆方程求解即可.
【解析】椭圆
的上顶点
，下顶点
，右焦点
，其中
.
直线
方程：
.
设
，因为
，所以
，
即
，解得
，所以
.
代入椭圆方程得
，即
，所以
，即
.
又
，所以
.
