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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(5)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，则 ，有 .
故选：A
3．已知圆 ，圆 ，则这两圆的位置关系为（
）
A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离
【答案】A
【解析】由题设， ： ， ： ，
∴ ，半径 ； ，半径 ； ，
∴ ，即两圆内含.
故选：A
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻
停放，则共有（ ）种停放方法．
A. 72 B. 144 C. 108 D. 96
【答案】A
【解析】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有 种停法，则乙车有 种停法，
除甲、乙外的其它三辆车共有 种停法；
若货车甲靠边，共有 种停法，则乙车有 种停法，
除甲、乙外的其它三辆车的排法共有 种，
故共有 种停放方法.
故选：A.5．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 与世代间隔 是流行病学基
本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 来描述累计感染甲型流感病
毒的人数 随时间t， （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 与基本再生数 和世代
间隔T之间的关系近似满足 ，根据已有数据估计出 时， ．据此回答，累计
感染甲型流感病毒的人数增加至 的3倍至少需要（参考数据： ， ）（
）
A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天
【答案】B
【解析】依题意， ，且 时， ，
即 ，所以 ， ，
令 ，两边取以 为底 对数得 ，
的
所以至少需要 天.
故选：B
6．在等边 中，已知点 ， 满足 ， ， 与 交于点 ，则 在
上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图， ，
，
则 ，得 ， ，
即 ,则 在 上的投影向量为 ，
，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：C
7．已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：A8．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 于A，B两
点，若 ，点 满足 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆定义可知 ，由 ，故 ， ，
点 满足 ，即 ，则 ，
又 ， ，
即 ，又 ，
故 ，则 ，即 ，
即 平分 ，又 ，故 ，
则 ，则 ，
，
，
由 ，
故 ，
即 ，即 ，又 ，故 .
故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高
信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均
值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ）
A. 男生样本容量为100 B. 抽取的样本的方差为43
C. 抽取的样本的均值为166 D. 抽取的样本的均值为165.5
【答案】ABC
【解析】∵男生样本量 男生人数 全体学生数 总样本量 .故A正确；
样本均值 .故C正确D错误；
样本方差：
.故B正确.
故选：ABC.
10．在前n项和为 的正项等比数列 中， ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 数列 中的最大项为
【答案】BC
【解析】设等比数列 的公比为q，由 ，有 ，
联立方程 解得 或 （舍去），
有 ，可得 ．对于A选项，由 ， ，
有 ，故A选项错误；
对于B选项， ，故B选项正确；
对于C选项，由 ，有 ，故C选项正确；
对于D选项，由 ，
令 ，有 ，
可得 有 ，
可得数列 中的最大项为 或 ，故D选项错误，
故选：BC．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 的直线与双曲线 的左支
相交于 两点（ 在第二象限），点 与 关于坐标原点对称，点 的坐标为 ），则下列
结论正确的是（ ）
A. 记直线 、 的斜率分別为 、 ，则 3
B. 若 ，则
C. 的最小值为6
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】若直线与渐近线平行时，
根据对称性不妨取直线方程为 ，
联立 ，得 ，设 ， ， ，
由于 两点均在双曲线的左支上，所以 ， ， ，
对于A：设 ， ， ，
则， ，
均在双曲线上， ，所以 ，
所以， ，A错误.
对于B：由 知， ，
由对称性得， ，则四边形 为矩形，则 ，
设 ， ，则在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
，
则 ，
则 ，B正确；
对于 ，
当 ， ， 三点共线时， ，，则直线 ，
联立 ，解得 ，与 矛盾，故C错误；
对于 ，
又 ，所以，
结合， 得， 的取值范围是 ，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量 满足 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为
__________.
【答案】 ##
【解析】由题设 ，
所以 .
故答案为：
13.若函数 在区间 内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
【答案】【解析】由 ，可得 ，即 ，
令 ，则
又 在区间 内没有零点，
则区间 内不存在整数，
又 ，则正数ω满足 ，
则 ，则 ，解之得 ，
则正数ω的取值范围是 .
故答案为：
14.在四面体 中， ，若 ，则四面体 体积的最大值
是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】由余弦定理可得 ,
故 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故 ，
故 面积的最大值为 ，
，
由于 ，所以点 在以 为直径的球上（不包括平面 ），故当平面 平面
时，此时 最大为半径 ，故 ，
由正弦定理可得： ， 为 外接圆的半径，
设四面体 外接球半径为 ,则 ,其中 分别为球心和
外接圆的圆心，故当 时，此时 最小，
故外接球的表面积为 ,
故答案为： ,
