文档内容
宁波市 2023 学年第二学期期末考试
高二数学试题卷
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡
上。将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无
效。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．对于直线m，n和平面 ， ，下列说法错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若 ， ，m，n共面，则
B．若 ， ，m，n共面，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 ，则
6．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2
个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为 ，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，
修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结
构，这是悬链线在建筑领域的应用。悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·
胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一
种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表
达式为 ，相应的双曲正弦函数的表达式为 ．若关于x的不等式
对任意的 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知平面向量 ， ，则（ ）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为针角，则
学科网（北京）股份有限公司10．已知函数 是奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 无解
C． 是减函数 D．
11．如图，点 P 是棱长为 3 的正方体 的表面上一个动点， ，
， 平面AEF，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是定值 B．存在一点P，使得
C．动点P的轨迹长度为 D．五面体 的外接球半径为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 ，则 ________．
13．已知正实数x，y满足 ，则xy的最大值为________．
14．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边， ，当 取得最小值时，
角C的大小为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
学科网（北京）股份有限公司15．（13分）已知单位向量 ， 满足 ．
（1）求 ；
（2）求 在 上的投影向量（用 表示）．
16．（15分）函数 （ ， ， ）的部分图象如图， 和
均在函数 的图象上，且Q是图象上的最低点．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若 ， ，求 的值．
17．（15分）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，点D在BC上，点E为PA的中点．
（1）求证：平面 平面PBC；
（2）求BE与平面PBC所成角的正弦值．
18．（17分）为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育
局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，
争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为
样本，所有得分都分布在 ，将得分数据按照 ， ，…， 分成7组，得到如
学科网（北京）股份有限公司图所示的频率分布直方图．
（1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；
（3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在
内学生的平均分和方差分别为 110和9，竞赛得分在 内学生的平均分和方差分别为
128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．
19．（17分）已知函数 ．
（1）当 时，求 ，并判断函数 零点的个数；
（2）当 时， 有三个零点 ， ， ，记 ， ，2，3．
证明：
① ；
② ．
参考公式： ．
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高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．C 5．A
6．A 7．C 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．ACD 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．-1 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1） ．……6分
（2） 在 上的投影向量为 ．……13分
16．（15分）
解：（1）由题得 ， ，故 ， ．由 ，得 ，
，故 ， ， ，故 ，故 ．
，即 单调递增区间为 ，
．……9分
（ 2 ） 由 ， 即 ， 又 ， 则 ， 故
学科网（北京）股份有限公司，
．……15分
17．（15分）
解 ： （ 1 ） ∵ ， ， ， ∴ ． ∵
，∴ ．∵AD， 平面APD， ，∴ 平面PAD．∵ 平
面PBC，∴平面 平面PBC．
（2）过点A作PD的垂线交PD于M，过点E作AM的平行线交PD于点N，连接BN．
∵平面 平面 ， 平面PAD， ，
∴ 平面PBC．∵ ，∴ 平面PBC，∴∠EBN就是BE与平面PBC所成的角．∵
，∴ ．
∵ ，∴△APD为等边三角形，∴ ．
∵ E 为 AP 的 中 点 ， ∴ ． 在 △ PAB 中 易 知 ， ∴
．
因此，BE与平面PBC所成角的正弦值为 ．……15分
18．（17分）
解 ： （ 1 ）
学科网（北京）股份有限公司（分），据此估计该校参加竞赛学生成绩的平均分约为69分．……5分
（ 2 ） 前 4 组 频 率 和 为 ， 第 5 组 频 率 为
，故第75百分位数在 内，即第75百分位数为
（分）．据此估计该校参加竞赛学生成绩的第75百分位数约为86.7分．……10分
（3）竞赛得分在 内学生的答卷数为 ；分数记为 ， ，…， ，其
平均数记为 ，方差记为 ；竞赛得分在 内学生的答卷数为 ；分数记为
， ，…， ，其平均数记为 ，方差记为 ；把“强国少年”得分的平均数记为 ，方差记为 ．
根据方差的定义，总样本方差为：
．（*）
由 ， ，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样
本平均数为： ．
把 已 知 的 平 均 数 和 方 差 的 取 值 代 入 （ * ） 可 得 ：
．
据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为80．……17分
19．（17分）
解 ： （ 1 ） 法 1 ： 当 时 ， ， 所 以 ． 令 可 得
，所以 或 ，所以函数 的零点个数为3．
法 2：当 时， ，所以 ．又 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，所以 ， ， ，由零点存在性定理知函
数 在区间 ， ， 上各有一个零点．又三次函数最多只有三个零点，所以函数
零点的个数为3．……5分
（2）①由题可得 ，
法 1 ： 要 证 ， 只 要 证 ． 又 ，
， ， ， 所 以
，所以 ，得证；
法2：要证 ，只要证 ．又 ，
， ， ，
所以 ，所以 ，得证；……11分
②由题可得 ，所以 ，所以 ．
所以 ．因为 ，所以 ．
所以 ，得证．……17分
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