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南平市 2023—2024 学年第二学期高二期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.
考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
.
2 已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. “ 在 上单调递增”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 ， ，则 （ ）
A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设 ，则 （ ）
X 0 1
P nA. 5 B. C. D.
6. 将函数 图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平
移 个单位长度得到 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每
个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
.
A 72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种
8. 以max M表示数集M中最大的数．若 ，且 ，则 的最小值为（
）
A. 4 B. C. 3 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 ，则n的值可能为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
10. 已知函数 （ 且 ）在R上为单调函数， ，则（ ）
A. 实数a的取值范围为
B. 当 时， 的取值范围为
C. 函数 是周期函数D. 函数 与 的图象之间关于直线 对称的点有无数多对
11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速
无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（ ）时，点A距离地面的高度为 ，则（ ）
A. 当 时，点A恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当 时，点A距离地面的高度在下降
D. 若 ， ，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 ，若 ，则 ________．
13. 若 ，则 ________．
14. 若存在实数x使得 成立，则实数m的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项．
16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表
1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：合格情况
工艺 合计
合格品 不合格品
甲 18 20
乙 8
合计 40
表2：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4
收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5
（1）完成列联表，并根据 的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：① ， .
②临界值表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
③参考公式： ， .
17. 已知函数 ， 为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出 的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期
望．（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
19. 函数 的定义域为R，若存在非零实数T，对 ，都有 ，则称函数
关于T可线性分解，已知 （ ， ）．
（1）若 关于T可线性分解，求 ， ；
（2）若 ， 关于3可线性分解．
的
（ⅰ）求函数 零点；
（ⅱ）对 ， ，求m的取值范围．南平市 2023—2024 学年第二学期高二期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分 考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.
考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用交集定义计算即可.
【详解】由已知可得 .
故选：C.
2. 已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式求出 ，再利用独立重复试验的概率公式计算得解.
【详解】随机变量 ，由 ，得 ，解得 ，所以 .
故选：B
3. “ 在 上单调递增”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求出函数 的单调递增区间，进而求出 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义
判断即得.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 或 ，即函数 在 上单调递增，
而 在 上单调递增，于是 ，显然 真包含于 ，
所以“ 在 上单调递增”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若 ， ，则 （ ）
A. 10 B. 20 C. 50 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.
【详解】因为 ，又因为 可得 ,
所以 .
.
故选：B
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设 ，则 （ ）
X 0 1P n
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率分布列的性质求出 ，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.
【详解】依题意， ，解得 ， ，
，而 ，
所以 .
故选：A
6. 将函数 图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平
移 个单位长度得到 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，再利用三角函数图象变换求出 .
【详解】依题意， ，因此.
故选：C
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每
个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
A. 72种 B. 42种 C. 114种 D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.
的
【详解】5个不同 小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，
共 种，
将每一种分法放到3个盒子中，共有 种不同方法，
根据分步乘法计数原理得： 种.
故选：C.
8. 以max M表示数集M中最大的数．若 ，且 ，则 的最小值为（
）
A. 4 B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，根据定义，得到 ，两次运用基本不等
式，再运用不等式性质，得到 ,开方即可.【详解】设 ，则 .显然 ．
，当且仅当 取得等号.
，当且仅当 取得等号.
两式相乘，即 ，则 .
此时 ，前面都要成立，则 ， ，则 .
的最小值为2,当且仅当 取得最小值.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 ，则n的值可能为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】BC
【解析】
【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值.
【详解】依题意， ，因此 ，
所以 或 .
故选：BC
10. 已知函数 （ 且 ）在R上为单调函数， ，则（ ）A. 实数a的取值范围为
B. 当 时， 的取值范围为
C. 函数 是周期函数
D. 函数 与 的图象之间关于直线 对称的点有无数多对
【答案】ACD
【解析】
【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数 的
图象关于直线 的图象与函数 的图象交点个数判断D.
【详解】对于A，由函数 在R上为单调函数，而 在 上为增函数，
得 ，解得 ，A正确；
对于B，当 时， ，B错误；
对于C，显然 ，函数 是周期函数，C正确；
对于D，函数 的图象关于 对称的图象对应解析式 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ， ，得 ，又 ，
因此函数 的图象与函数 的图象有无数个交点，
所以函数 与 的图象之间关于直线 对称的点有无数多对，D正确.
故选：ACD
11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（ ）时，点A距离地面的高度为 ，则（ ）
A. 当 时，点A恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当 时，点A距离地面的高度在下降
D. 若 ， ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设轮子滚动了 后到达了点 ，过点 作 垂直地面，过点 作 ，求得函数的
解析式为 ，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，轮子的半径为 ，则轮子滚动一周的水平距离为 ，
如图所示，设轮子滚动了 后到达了点 ，即 ，可得
过点 作 垂直地面，过点 作 ，
则 ，即 ，
对于A中，当 时， ，所以A不正确；
对于B中，可得 ，所以B正确；对于C中，当 时，可得 ，
由余弦型函数的性质，都可 在 上单调递减，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，
可得 ，所以 ，
令 且 ，且 ，
则 ，且 ，
当 时，可得 的最小值为 ，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 ，若 ，则 ________．
【答案】0.2##
【解析】
【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解.
【详解】如图，画出正态分布的曲线图， ，即 ，即红色区域面积为
.根据对称性，知 ，则
故答案为：0.2.
13. 若 ，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出 ，再利用正余弦齐次式法求值.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
14. 若存在实数x使得 成立，则实数m的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】令 ，转化问题为 ，进而根据函数 的单调性求出
，转化问题为 ，即可求解．
【详解】解： ，
，， ，
令 ，
若存在 使得不等式 成立，
，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
，
即 ，
，
解得： ，
，
实数 的最大值为1，
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项．
【答案】（1）4096；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数的性质求出 ，再利用赋值法求出各项系数和.
（2）求出展开式的通项公式，再求出指定项.【小问1详解】
由 的展开式中，二项式系数和为64，得 ，解得 ，
所以 展开式中各项系数的和为 .
【小问2详解】
展开式的通项公式 ，
令 ，得 ，所以 展开式中含 的项为 .
16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表
1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
合格情况
工艺 合计
合格品 不合格品
甲 18 20
乙 8
合计 40
表2：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4
收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5
（1）完成列联表，并根据 的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：① ， .
②临界值表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
.
2.706 3.841 6635 7.879 10.828③参考公式： ， .
【答案】（1）列联表见解析，有关；
（2）12.75亿元.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算 观的测值，与临界值比对即得.
（2）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可.
【小问1详解】
列联表为：
合格情况
工艺 合计
合格品 不合格品
甲 18 2 20
乙 12 8 20
合计 30 10 40
零假设 ：两种工艺生产的配件与合格率无关，
由列联表中数据得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
显然 ，
， ，则 ， ，
因此 关于 的线性回归方程为 ，
令 ，得 ，
所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.
17. 已知函数 ， 为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出 的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）递减区间是 ，递增区间是 ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求出 值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
【小问1详解】
函数 的定义域为R，由 为偶函数，得 ，
即 ，即 ，又 不恒为0，
所以 .
【小问2详解】
函数 ，令 ，函数 在 上单调递增，当 时， ，而函数 在 上单调递增，因此 在 上单调递增，
又函数 是R上的偶函数，因此 在 上单调递减，
所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
【小问3详解】
由（2）知函数 是R上的偶函数，且在 上单调递增，
不等式 ，
则 ，而 ，
于是 ，
依题意， 对于任意 恒成立，
当 时， ，当且仅当 或 时取等号，
，当且仅当 时取等号，因此 ，
所以实数k的取值范围是 .
18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期
望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）求出 的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.（2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
【小问1详解】
依题意， 的可能值为 ，
， ，
，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
数学期望 .
【小问2详解】
（ⅰ）设事件 “从甲盒中摸出2个白球”，事件 “从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，
事件 “从甲盒中摸出2个黑球”，事件 “从乙盒中摸出1个黑球”，
显然 ，且 两两互斥， ，
，
则 ，
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是 .
（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件 发生的条件下，事件 发生，因此 ，
所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为 .
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
19. 函数 的定义域为R，若存在非零实数T，对 ，都有 ，则称函数
关于T可线性分解，已知 （ ， ）．
（1）若 关于T可线性分解，求 ， ；
（2）若 ， 关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数 的零点；
（ⅱ）对 ， ，求m的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）（ⅰ） ， ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算 ， .
（2）（ⅰ）利用定义求得 ，再由 结合最值确定 ，进
而求出零点；（ⅱ）由 的周期为3，则按 分类求出 ，进而求出m的范围.
【小问1详解】若 关于 可线性分解，则 ，即 ，
由 ，得 (*)，
若 ，则 充分大时， 将大于2，
而 的值域为 ，故等式(*)不可能成立，所以必有 .
【小问2详解】
（i）由（1）知 ，即 ，则 ， ，
而 ，则 ， ，又 ，则 ，
此时 ，不符合题意；
或 ， ，又 ，则 ，
此时 ，满足 ，符合题意，
因此 ，
依题意， ，则 或 ，
显然 不成立，于是 ，
则 ，解得 ， ，所以函数 的零点为 ， .
（ii）显然 ，
又 周期 3，则当 时， ，
为
当 时， ，
当 时 ，
，
因此 恒成立，则 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方
法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
