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2023 学年第二学期高二数学学科测试卷（五）
命题人：崔舒静 审题人：詹长刚
一. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1、．已知集合M={y|y=ln(1−x❑ 2)}，N={x|−10,|φ|< 的图象上，且图象过点 ,2 ，相邻最大值与最小值之间的水平距离为
2 24
π
，则是函数的单调递增区间的是（ ）
2
π π 7π 5π 5π 3π 5π 3π
A．[− ,− ] B．[− , ] C．[ , ] D．[ , ]
3 4 24 24 24 8 8 4
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学科网（北京）股份有限公司{
lnx+x,x>1
7、．已知函数f (x)= m ，若g(x)=f (x)−m有三个零点，则实数m的取值范围是（
2x2−mx+ ,x≤1
2
）
7 4
A．(1, ] B．(1,2] C．(1, ] D．[1,3]
4 3
8、．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的
平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD中，AB=BD=2√3，将△ABD沿BD进行翻折，使得
AC=2√6. 那么三棱锥A−BCD外接球表面积约为（ ）
A．72 B．24√10 C．28√10 D．32√10
二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.
1
9、．在△ABC中，D为边AC上的一点，且满足⃗AD= ⃗DC，若P为边BD上的一点，且满足
2
⃗AP=m⃗AB+n⃗AC(m>0,n>0)，则下列结论正确的是（ ）
1
A．m+2n=1 B．mn的最大值为
12
4 1 1
C． + 的最小值为6+4√2 D．m❑ 2+9n❑ 2的最小值为
m n 2
10、．对于数列{a }，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a |≤M，则称数列{a }是有界的. 若这
n n n
样的正数M不存在，则称数列{a }是无界的. 记数列{a }的前n项和为S ，下列结论正确的是（ ）
n n n
1 (1) n
A．若a = ，则数列{a }是无界的 B．若a = sinn，则数列{S }是有界的
n n n n 2 n
1
C．若a =(−1)❑ n，则数列{S }是有界的 D．若a =2+ ，则数列{S }是有界的
n n n n❑ 2 n
11、．已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f (x)是奇函数，f (2)=−f (1)≠0，且对任意x，
y∈R，f (x+ y)=f (x)f❑ ′(y)+f❑ ′(x)f (y)，则（ ）
1 20 20
A．f❑ ′(1)= B．f (9)=0 C．∑ f (k)=1 D．∑ f′(k)=−1
2
k=1 k=1
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、．已知复数z满足z=(1+2i)(1+i)（其中i为虚数单位），则|z|= .
13、．学校一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上
的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
14、．已知⊙O :x2+(y−2) 2=1，⊙O :(x−3) 2+(y−6) 2=9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点
1 2
分别是M，N，求|PM|+|PN|的最小值为 .
四. 解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第
18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
sin A(ccosB+bcosC)−csinB=csinC+bsinB.
（1）求角A；
（2）若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2，BD=2CD，求△ABC的周长.
16、．如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E，F分别是棱DD ，A D 的中点.
1 1 1 1 1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：B E⊥平面ACF.
1
（2）求二面角B−AF−C的余弦值.
17、．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元
件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)=P(X≤x)，求
F(44)−F(38).
（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔。已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使
{
0,t<0
用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为G(t)=P(T≤t)= 1 .
1− ,t≥0
4t
（ⅰ）设t >t >0，证明：P(T>t |T>t )=P(T>t −t )；
1 2 1 2 1 2
（ⅱ）若第n天只有元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的条件概率.
附：若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2)，则P(|Y−μ|<σ)=0.6827，P(|Y−μ|<2σ)=0.9545，
P(|Y−μ|<3σ)=0.9973.
x2 y2
18、．已知双曲线Γ: − =1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为√3，圆O的方程为x❑ 2+ y❑ 2=2，
a2 b2
过圆O上任意一点P作圆O的切线l交双曲线于A，B两点。
（1）求双曲线Γ的方程；
π
（2）求证：∠AOB= ；
2
（3）若直线l与双曲线的两条渐近线的交点为C，D，且|AB|=λ|CD|，求实数λ的范围.
19、．给定常数c>0，定义函数f (x)=2|x+c+4|−|x+c|，数列a ，a ，a ，⋯，满足a =f (a )，
1 2 3 n+1 n
n∈N∗
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学科网（北京）股份有限公司（1）若a =−c−2，求a 及a ；
1 2 3
（2）求证：对任意n∈N∗，a −a ≥c
n+1 n
（3）是否存在a ，使得a ，a ，⋯，a ，⋯成等差数列？若存在，求出所有这样的a ，若不存在，说明
1 1 2 n 1
理由
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