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专题6.3 数列之求和
6.3.1 公式法求和
知识点梳理
1.等差数列的前n 项和公式：若已知首项a1和末项an，则Sn= n(a1+an)
2
，或等差数列
{an}
的首项是a1，公差是d，则其前n 项和公式为Sn=na1+n(n
1)
−
2
d.
2.等比数列的前n 项和公式：Sn={
na1，q=1
a1(1−q
n)
1−q
=a1−anq
1−q
，q≠1
.
3.一些常见的数列的前n 项和：
①1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= 1
6 n(n+1)(2n+1).
②1
3+2
3+3
3+⋯+n
3=[
n(n+1)
2 ]
2
.
典型例题
例1.设Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a1＝7，S3＝15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最大值及此时的n 值．
例2.已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n 项和．
随堂演练
1.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝
．
2.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（ ）
A．﹣20
B．﹣15
C．﹣10
D．﹣5
3.记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120
B．85
C．﹣85
D．﹣120
4.已知正项等比数列{an}的前n 项和为Sn．若a6
2−4 a4
2−3a4a6+2a6−8a4=0，S4＝15，
则S2023＝（ ）
A．22023﹣1
B．22022﹣1
C．22023
D．22022
5.已知在等差数列{an}中，a5＝3，a9＝﹣5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n 项和Sn．
6.在等比数列{an}中，
（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；
（2）a1+a3＝10，a4+a6= 5
4 ，求S5；
（3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n 项中最大的一项为54，求a1，q．
7.记Sn是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，若a3=S5，a2a4=S4．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求使Sn>an成立的n 的最小值．
8.记Sn为数列{an}的前n 项和．已知2Sn
n +n=2an+1．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
6.3.2 裂项求和
知识点梳理
1.裂项求和之等差型
（1）
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1；
（2）
1
n(n+ k ) = 1
k(
1
n −
1
n+ k)；
（3）
1
4 n
2−1
= 1
2(
1
2n−1 −
1
2n+1)；
（4）
1
n(n+1)(n+2) = 1
2[
1
n(n+1) −
1
(n+1)(n+2))；
（5）
1
n(n
2−1)
=
1
n(n−1)(n+1) = 1
2(
1
(n−1)n −
1
n(n+1))；
（6）
n
2
4 n
2−1
= 1
4[1+
1
(2n+1)(2n−1))；
（
7
）
3n+1
(n+1)(n+2)(n+3) =
4(n+1)−(n+3)
(n+1)(n+2)(n+3) = 4(
1
n+2 −
1
n+3)−(
1
n+1 −
1
n+2)；
（8）n(n+1)= 1
3 [n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1))；
（9）n(n+1)(n+2)= 1
4 [n(n+1)(n+2)(n+3)−(n−1)n(n+1)(n+2))；
（10）
1
n(n+1)(n+2)(n+3) = 1
3[
1
n(n+1)(n+2) −
1
(n+1)(n+2)(n+3))
（11）
2n+1
n
2(n+1)
2 = 1
n
2 −
1
(n+1)
2；
（12）
n+1
n
2(n+2)
2 = 1
4[
1
n
2 −
1
(n+2)
2).
2.裂项求和之根式型
（1）
1
❑√n+1+ ❑√n = ❑√n+1−❑√n；
（2）
1
❑√n+ k + ❑√n = 1
k (❑√n+ k −❑√n)；
（3）
1
❑√2n−1+ ❑√2n+1 = 1
2 (❑√2n+1−❑√2n−1)；
（4）❑√
1+ 1
n
2 +
1
(n+1)
2 = n(n+1)+1
n(n+1)
=1+ 1
n −
1
n+1；
（5）
1
3√n
2+2n+1+
3√n
2−1+
3√n
2−2n+1
=
3√n+1−
3√n−1
2
；
（
6
）
1
(n+1)❑√n+n ❑√n+1 =
(n+1)❑√n−n ❑√n+1
[(n+1)❑√n]
2−(n ❑√n+1)
2 = (n+1)❑√n−n ❑√n+1
n(n+1)
= 1
❑√n −
1
❑√n+1
.
3.裂项求和之指数型
（1）2
n
(2
n+1
1)(
−
2
n
1)
−
=(2
n+1
1) (
−
−2
n
1)
−
(2
n+1
1)(
−
2
n
1)
−
=1
2
n
1
−
−1
2
n+1
1
−
；
（2）3
n
(3
n+1
1)(
−
3
n
1)
−
=1
2(
1
3
n
1
−
−1
3
n+1
1
−)；
（3）n+2
n(n+1)⋅2
n =2(n+1)−n
n(n+1)⋅2
n =(
2
n −1
n+1)⋅1
2
n =1
n⋅2
n
1
−−1
(n+1)⋅2
n ；
（4）(4n
1)
−⋅3
n
1
−
n(n+2)
=1
2[
9
n+2 −1
n)⋅3
n
1
−=1
2(
3
n+1
n+2 −3
n
1
−
n )；
（5）(2n+1)⋅( 1
−)
n
n(n+1)
=( 1
−)
n
n
−( 1
−)
n+1
n+1
；
（6）an=n⋅3
n
1
−，设an=(an+ b)3
n
[
−a(n
1)+
−
b]⋅3
n
1
−，易得a =1
2 ,b=−1
4 ，
则an=1
4 (2n
1)
−
3
n−1
4 (2n
3)
−
⋅3
n
1
−；
（
7
）
( 1
−)
n(n
2+4n+2)2
n
n⋅2
n (
⋅n+1)2
n+1
=( 1
−)
n(n
2+4n+2)
n (
⋅n+1)2
n+1
=( 1
−)
n[n
2+n+2(n+1)+n]
n (
⋅n+1)2
n+1
=( 1
−)
n
2
n+1
+( 1
−)
n[
1
n⋅2
n +1
(n+1)
1
2(−1
2)
n
+[
( 1
−)
n
n⋅2
n
−( 1
−)
n+1
(n+1)⋅2
n+1).
典型例题
例1.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a4=14，且a1，a2，a6成等比数列。
（1）求{an}的通项公式。
（2）设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和Sn。
例2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, S5=25，且3 Sn+1−an=2Sn+ Sn+2.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设 bn=
1
❑√2n−1+ ❑√2n+1, 求数列{bn}的前n项和T n.
随堂演练
1.已知数列{an}中，a1= 3
5，an+1=
an
2an+1，n∈N*，则{anan+1}的前n 项和Sn＝ ．
2.记Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n 项和，若S3=6，a1是a1和a9的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=
1
anan+1an+2
，求数列{bn}的前20 项和.
3.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a2+a4＝10，S3＝9．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{
2
anan+1
}的前n 项和为Tn，求T1011．
4.Sn为数列{an}的前n 项和，已知an>0，an
2+2an= 4 Sn+3。
（1）求{an}的通项公式。
（2）设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和。
5. 已知函数f(x)=x
2−2 x + 4，数列{an} 是公差为d 的等差数列，a1= f (d −1)，
a3= f (d +1)。
（1）求数列{an}的通项公式。
（2）若Sn为数列{an}的前n 项和。求证：1
S1
+ 1
S2
+⋯+ 1
Sn
≥1
3。
6.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 a2=8, Sn= an+1
2 −n−1.
（1）求数列 {an} 的通项公式.
（2）求数列 {
2×3
n
anan+1) 的前 n 项和 T n.
7.已知数列{an}的前n 项和为Sn，Sn＝an﹣4an+1，a1＝﹣1．
（1）证明：数列{2an+1﹣an}为等比数列；
（2）设bn=
an+ 4
n(n+1)，求数列{bn}的前n 项和；
8.设数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝8，Sn+1﹣4Sn＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=
1
lo g2an⋅lo g2an+1
，求数列{bn}的前n 项和．
6.3.3 错位相减法求和
知识点梳理
1.错位相减法：一般地，若数列{cn}的通项公式为cn=an∙bn，其中{an}是公差为d 等
差数列，{bn}是公比为q 的等比数列，我们可以用错位相减法求{cn}的前n 项和.
2.求{cn}的前n 项和具体过程：
Sn=a1b1+a2b2+⋯+anbn①
①式两边同乘等比数列的公比q，得:
q Sn=a1b2+a2b3+⋯+an−1bn+anbn+1②
①－②，得：(1−q)Sn=a1b1+d(b2+b3+⋯+bn)−anbn+1,化简求出Sn.
典型例题
例1.已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{
1
an∙an+1}的前n 项和为
n
2n+1。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(an+1)∙2
n，求数列{bn}的前n 项和T n。
例2.在前n 项和为Sn的等比数列{an}中，3a2＝2a1+a3，S4＝30，S2＝38﹣a5．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n 项和Tn．
随堂演练
1.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝n﹣an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n 项和为Tn，且2bn＝（n﹣2）（an﹣1），若Tn≥λbn对于n∈N*恒
成立，求λ 的取值范围．
2.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n 项和，2Sn＝nan．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an+1
2
n
}的前n 项和Tn．
3.记Sn为数列{an}的前n 项和，已知na1+（n﹣1）a2+…+an＝2Sn﹣1．
（1）证明：数列{Sn}是等比数列；
（2）求最小的正整数m，使得m≥1
a1
+ 2
a2
+⋯+ n
an
对一切n∈N*都成立．
4.已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且4 Sn=(an+1)
2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an⋅a2
n，求数列{bn}的前n 项和Tn．
5.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且4Sn＝3an+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=(−1)
n−1nan，求数列{bn}的前n 项和为Tn．
6.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，且2n+1，Sn，a 成等差数列（n∈N*）．
（1）求a 的值及数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝﹣（an+1）an，求数列{bn}的前n 项和Tn．
7.已知数列{an}的前n项和为Sn, a1=−9
4 ,且4 Sn+1=3 Sn−9.
（1）求数列{an}的通项;
（2）设数列{bn}满足3bn+(n−4)an=0(n∈N
∗), 记{bn}的前n项和为T n,若 T n≤λbn对
任意 n∈N
∗恒成立,求实数λ的取值范围.
6.3.2 分组求和
知识点梳理
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分
组求和法，分别求和后相加减．
典型例题
例1.已知数列{an}满足an=2
n+2n−1，则其前n 和Sn= .
例2.已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝2，且a3，a5，a8成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+2
an(n∈N
∗)，求数列{bn}的前n 项和Tn．
随堂演练
1.已知数列{an}满足a1＝2，an+1={
an−1，n 为奇数
2an+2，n 为偶数)．
（1）记bn＝a2n﹣1，证明：数列{bn}为等比数列，并求出数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前2n 项和S2n．
2.在数列{an}中，a1＝﹣1，an=2an−1+3n−6(n≥2，n∈N
∗)．
（1）求证：数列{an+3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前n 项和Tn．
3.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn= 1
2 n(n+1)．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn={
1
anan+2
，n 为奇数
2
an，n 为偶数)
，求{bn}的前2n 项和T2n．
4.在等比数列{an}中, a1+a2=5a2= 5
4 .
（1）求{an}的通项公式;
（2）求数列{
3
4 an+2n−1)的前n项和Sn.
5.等比数列{an}的公比为2，且a2,a3+2,a4成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）若bn= log2an+an，求数列{bn}的前n项和T n.
6.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列. 已知a1= 4 ,b1=6,b2=2a2−2,b3=2a3+ 4.
（1）求{an}和{bn}的通项公式;
（2）设数列 {cn} 满足c1=1,cn={
1,
2
k<n<2
k+1
bk,
n=2
k
)，其中k ∈N
∗.
（i）求数列{a2
n(c2
n
1)}
−
的通项公式;
（ii）求∑
i=1
2
n
aici(n∈N
∗).
