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5.4 求和常用方法（精练题组版）
题组一 公式法求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列
中，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和．
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列
，其前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式
及前
项和
；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
为等比数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
4．（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是
等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
5．（24-25 北京）已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
6．（2025·河南·一模）已知数列
的各项均不为0，其前
项和为
，且
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列
各项均为正数，且满足
，
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，数列
的前
项和为
，试证明：
，
题组二 裂项相消求和
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，且满足
，
．
(1)求
；
(2)求
；
(3)令
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
3．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
（
），求数列
的前
项和
．
5．（2025·山东·模拟预测）记正项
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
7（2025·广东）已知数列
的前
项和为
，且
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，求证：
．
8．（2025·江苏）设
为数列
的前
项和，已知
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，当
时，
．若对于任意
，有
，求
的取值范围．
题组三 错位相加法求和
1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
为等比数列，
是
，
的等差中项．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
2．（2025·四川·三模）已知在各项为正的等比数列
中，
，
是
与
的等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，
，求数列
的前n 项和
．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
4．（2025·山东·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
5．（2025·全国一卷·高考真题）设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求
．
6．（2025·辽宁·二模）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
．
7．（2025·辽宁·三模）已知数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)求和：
.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理
由．
题组四 分组转化求和
1．（24-25 高二上·上海·期中）在数列
中，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
2．（2024·山东·二模）已知
是公差不为0 的等差数列，其前4 项和为16，且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，
记
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求
．
4．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，满足
，
，数列
满足
，
，且
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，
为
的前n 项和，求
.
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
7．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列
中，
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
8．（2025·河南·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
；
(2)若数列
满足
，求数列
的前20 项和
．
9．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数
列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
10．（2025·四川自贡·二模）已知数列
的前
项和
，数列
是正项等比数列，满足
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
.
题组五 奇偶并项求和
1．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，其前n 项和为
，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023 春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列
中，
，当
时，
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
题组六 其他方法求和
1.（2025·江苏）已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2023 项和.
2．（2024·河南）记
为数列
的前
项和，已知
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
3．（2024·陕西咸阳·三模）数列
满足
，
.
(1)求数列
通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
