文档内容
重难点 08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足： ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若数列 满足 ， ，记数列 的前 项和
为 ，则（ ）
A． 时， 是递减数列 B． 时， 是递增数列
C． 时， D． 时，
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，若 是公差为d（ ）的等差数列，
则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高三阶段练习）已知各项都为正数的数列 满足 ，
，给出下列三个结论：①若 ，则数列 仅有有限项；②若 ，则数列 单调递增；③若 ，则对任意的 ，陼存在 ，使得 成立．则上述结论中正
确的为（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）设 是公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确
的是（ ）
A．若 ，则数列 有最大项
B．若数列 有最大项，则
C．若数列对任意的 ， 恒成立，则
D．若对任意的 ，均有 ，则 恒成立
6．（2020·全国·高三专题练习）等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差 ， 和 是函数
的极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． －38 B． C． D．
三、填空题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知： 为整数且
，则n的最小值为_____________．
8．（2022·浙江·龙港中学高三阶段练习）等差数列 满足 ，则
的取值范围是______．
9．（2022·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ．若不等式 对
任意的 恒成立，则实数 的取值范围是______．10．（2022·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关
于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若
从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以 为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为
______人．
四、解答题
11．（2022·河北·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)设 ，求数列 的最大项．
12．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在
函数 且 ， ， 均为常数）的图象上.
(1)求 的值；
(2)当 时，记 ，求数列 的前 项和 ；
(3)由（2），是否存在最小的整数 ，使得对于任意的 ，均有 ，若存在，求出 的值，
若不存在，说明理由.题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）记 为数列 的前项和，已知点 在直线 上，若有且只
有两个正整数n满足 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·黑龙江·牡丹江一中高三阶段练习（理））定义 .若函数
，数列 满足 （ ），若 是等差数列，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2020·全国·高三专题练习）已知 ， （ 为自然
对数的底数），若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为______.
4．（2020·山西长治·高三阶段练习（理））定义R在上的函数 为奇函数，并且其图象关于x＝1对称；
当x∈（0，1]时，f（x）＝9x﹣3．若数列{an}满足an＝f（log （64+n））（n∈N+）；若n≤50时，当Sn＝
2
a+a+…+an取的最大值时，n＝_____．
1 2
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2022·北京·北大附中高三开学考试）在等比数列 中， ， 记 （ ，2，…）.则数列 （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
2．（2022·全国·高三专题练习）数列 的通项 ，其前 项和为 ，则S 为
18
（ ）
A．173 B．174 C．175 D．176
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的
前9项之和为（ ）
A．32 B．43 C．34 D．35
4．（2022·全国·高三专题练习）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二
次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五
次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，
14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ）
A．3976 B．3974
C．3978 D．3973
二、多选题
5．（2021·江苏常州·高三阶段练习）数列 满足 ， ，其前 项和为 ，下
列选项中正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列 B． 除以 的余数只能为 或
C．满足 的 的最大值是 D．
三、填空题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且对任意 都有 或
中有且仅有一个成立， ， ，则 的最小值为___________.
四、解答题7．（2022·北京·二模）已知数列 ： ， ，…， ，其中 是给定的正整数，且 .令
， ， ， ， ，
.这里， 表示括号中各数的最大值， 表示括号中各数的最小值.
(1)若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求 ， 的值；
(2)若数列 是首项为1，公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
(3)若数列 是公差 的等差数列，数列 是数列 中所有项的一个排列，求 的所有可能值
（用 表示）.
8．（2022·福建宁德·模拟预测）设数列{ }的前n项和为 ， .数列 为等比数列，且
成等差数列.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 ，求 的最小值.
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（文））设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
2．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为
响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷
款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月
底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年
所得收入为（ ）（取 ， ）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
3．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项的和为 ，已知 ，
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 是各项均为正整数的数列，且 ， ，对 ，
与 有且仅有一个成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，对于任意 ， ， ，
不等式 恒成立，则 的取值可以是（ ）A．1 B．2 C． D．4
6．（2022·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 ，若存在实数 ，使得对任意的 ，都有
，则称数列 为“和有界数列”．下列说法正确的是（ ）
A．若数列 是等差数列，且公差 ，则数列 是“和有界数列”
B．若数列 是等差数列，且数列 是“和有界数列”，则公差
C．若数列 是等比数列，且公比 满足 ，则数列 是“和有界数列”
D．若数列 是等比数列，且数列 是“和有界数列”，则公比 满足
三、填空题
7．（2021·河南新乡·高三阶段练习（文））设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意的 ，
均有 ，则称 是间隔递减数列， 是 的间隔数．已知 ，若 是间隔递减
数列，且最小间隔数是 ，则 的取值范围是________．
8．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）记 为数列 的前 项和，若 ， ，
则 ______.
9．（2022·全国·高三专题练习）设 ，记最接近
的整数为 ，则 __________； __________．(用 表示)
四、解答题
10．（2022·浙江温州·三模）数列 满足 ， .
(1)证明： ；(2)若数列 满足 ，设数列 的前n项和为 ，证明： .
11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，且对任意 ， ，有 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ， ，且满足 ，求 ， ；
(3)若 （其中 对任意 恒成立，求 的最大值.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知数列 中，前 项和 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，记 是数列 的前 项和，
则 （ ）
A．1 B．98 C． D．198
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，使 的 可以是（ ）
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
三、填空题
4．（2022·四川成都·三模（理））已知数列 满足 ， ，则 的值为______．
5．（2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式
照此规律，第n个等式为______．
四、解答题
6．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）已知 为无穷数列，给出以下二个定义：
I.若对任意的 ，总存在i， 且 ，使 成立，则称 为“H数列”；
II.若 为“H数列”，且对任意的 ，总存在唯一的有序数对 使
成立，则称 为“强H数列”；
(1)若 ，判断数列 是否为“H数列”，说明理由；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得数列 存在且不为常数列，求同时
满足所选两个条件的所有数列 的通项公式条件①： 为等差数列；
条件②： 为等比数列；
条件③： 为“强H数列”．
7．（2022·全国·高三专题练习）设有数列 ，对于给定的 ，记满足不等式：
的 构成的集合为 ，并称数列 具有性质 .
(1)若 ，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围；
(2)若 ，数列 是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列 不具有性质 ，设
，试判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
(3)若数列 具有性质 ，当 时， 都为单元素集合，求证：数列 是等差数列.
8．（2021·全国·高二专题练习）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．① ， ， ， ，…；②－3，7，－15，31，…；③2，6，2，6，….
题型六：有限与无限思想
一、单选题
1．（2022·浙江台州·高三期末）已知在数列 中， ，命题 对任意的正整数 ，都有 ．
若对于区间 中的任一实数 ，命题 为真命题，则区间 可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世
不竭．”反映这个命题本质的式子是（ ）
A．1＋ B．
C． D．
3．（2020·浙江·高三阶段练习）已知正项数列 ，满足 ， ， ，则下列说
法正确的是（ ）
A．存在有理数a，对任意正整数m，都有
B．对于任意有理数a，存在正整数m，使得
C．存在无理数a与正整数m，使得
D．对于任意无理数a，存在正整数m，使得
二、多选题4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且 （
，2，…），则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2021·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，
则其通项 ___________.
四、解答题
6．（2022·北京·高三专题练习）若无穷数列{ }满足如下两个条件，则称{ }为无界数列：
① （n=1，2，3......）
②对任意的正数 ，都存在正整数N，使得 .
(1)若 ， （n=1，2，3......），判断数列{ }，{ }是否是无界数列；
(2)若 ，是否存在正整数k，使得对于一切 ，都有 成立？若存在，求
出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{ }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得 .
7．（2022·全国·高三专题练习）设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点 （ ，
2，…），使 ， ， ，…组成公差为d的等差数列，求a的取值范围．8．（2020·全国·高三专题练习）已知数列 满足： （常数 ）， （
， ）.数列 满足： （ ）.
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）是否存在k，使得数列 的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理
由.
题型七：或然与必然思想
一、单选题
1．（2022·浙江·模拟预测）己知数列 满足： ， ．记数列 的前 项
和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题2．（2021·北京丰台·二模）设数集S满足：①任意 ，有 ；②任意 ，有 或
，则称数集S具有性质P.
（1）判断数集 是否具有性质P，并说明理由；
（2）若数集 且 具有性质P.
（i）当 时，求证： 是等差数列；
（ii）当 不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)
