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5.4 求和常用方法（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知平面向量
，
.若
，则数列
的
前100 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏）2022 年11 月8 日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享
他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一
个简单的代数恒等式：
.已知数列
的通项公式为
，则
其前9 项的和
等于（ ）
A．13280
B．20196
C．20232
D．29520
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列
的前n 项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
满足
，某同学将其前20 项中某一项正负号写错，得
其前20 项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64
B．
C．100
D．
5．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1 堆只有1 层，且
只有1 个球；第2 堆有2 层4 个球，其中第1 层有1 个球，第2 层有3 个球；…；第n 堆有n 层共
个球，第1
层有1 个球，第2 层有3 个球，第3 层有6 个球，…．已知
，则
（ ）
A．2290
B．2540
C．2650
D．2870
6．（24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习）在数列
中，
，
，
，
是数列
的前
项和，则说法错误（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等差数列
C．
D．
7．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列
满足
的前
项和为
，则说法不正确
（ ）
A．
B．
C．
构成等差数列
D．数列
前100 项和为
8．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1 的等差数列
满足
，
，
成等比数列，则说法不
正确（ ）
A．
B．
的前
项和为
C．
的前2025 项和为
D．
的前10 项和为
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·四川成都·三模）已知公差为1 的等差数列
满足
成等比数列，则（ ）
A．
B．
的前
项和为
C．
的前8 项和为
D．
的前50 项和为
10．（2025·广西·三模）已知首项为1 的正项数列
满足
，若数列
前
项和为
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
是等差数列
B．
C．
D．
11．（2025·河北·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
，则以下说法
正确的是（ ）
A．
是等比数列
B．
是等比数列
C．
D．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 四川绵阳·阶段练习）已知函数
，则
．
13．（2025·山东·一模）若数列
满足
，
，则
的前2025 项的和为 ．
14．（2024·浙江·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
，数列
的前
项和为
，且
，则满足
的正整数
的最小值为 .
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
16．（2025·山东·模拟预测）已知数列
各项均为正数，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
17．（2025·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
；
(3)设
，记数列
的前n 项和为
，证明：
．
18．（2025·河南·二模）已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
，
是
与
的等差
中项.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
19．（2025·河南·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项为1 的递增数列，
若
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的前
项和；
(3)求使得
成立的最大整数
.
