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专题06 数列高考专项复习
专题6.1 等差数列和等比数列
6.1.1 等差数列
知识点梳理
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通
常用字母d 表示.用递推公式表示为an −an−1=d(n≥2)或an+1−an=d(n≥1).
2.等差数列的通项公式：①an=a1+(n−1)d；②an=am+(n−m)d.
等差数列的单调性：d>0 为递增数列，d=0 为常数列，d<0 为递减数列.
3.等差中项的概念：如果a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中
A = a+b
2
.
4.等差数列的前n 项和公式：若已知首项a1和末项an，则Sn= n(a1+an)
2
，或等差数列
{an}
的首项是a1，公差是d，则其前n 项和公式为Sn=na1+n(n
1)
−
2
d.
典型例题
例1.设等差数列{an}的前n 项和为Sn
，且6S5
5
−S3=5，则a4= .
例2.设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为 ．
例3.设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为 ．
例4.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a2=3，a2n=2an+1，若Sn+an+1=100，则n 的值
为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
例5.记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）
A．an=2n
5
−
B．an=3n
10
−
C．Sn=2n
2
8
−n
D．Sn=1
2 n
2
2
−n
随堂演练
1.记等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= ．
2.等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3.已知等差数列{an}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
4.设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）
A．-12 B．-10 C．10 D．12
5.记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若a4+a5=24，S6= 48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6.在等差数列{an}中，若a2= 4，a4=2，则a6=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．6
7.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10= .
8.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n 项和.若a2a5+a8=0，S9=27，则S8的值是
.
9.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，a1≠0，a2=3a1，则S10
S5
=
.
10.已知等差数列{an}的公差为2π
3
，集合S={cosan|n∈N
∗}，若S= {a,b}，则ab=
.
6.1.2 等差数列的性质
知识点梳理
1.等差数列的性质：
（1）等差数列{an}中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项.[
（2）等差数列{an}中，对任意m,n∈N
∗，an=am+(n−m)d，d=am−an
m −n
.
（3）等差数列{an}中，若m,n, p,q∈N
∗，且m+n= p+q，则am+an=ap+aq.
特殊地，2m= p+q时，则2am=ap+aq，am是ap、aq的等差中项.
（4）等差数列{an}中，ak，ak+ m，ak+2m，⋯（m,k ∈N
∗）构成以md 为公差的等
差数列.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即
Sn,S2n−Sn,S3n−S2n成等差数列，公差为n2d.
（6）两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{pan±qbn}仍为等差数列.
（7）若数列{an}是等差数列,则{kan}仍为等差数列.
（8）数列{an}是等差数列的充要条件是Sn= A n
2+ Bn.
（9）设S 偶与S 奇分别为该数列的所有偶数之和与所有奇数项之和，则有：
①若{an}共有2n-1 项（an为中间项），则S2n-1=(2n-1)an，S 奇-S 偶=an，S奇
S偶
=
n
n−1.
②若{an}共有2n 项（an
和an+1
为中间项），则S2n=n(an+an+1)，S 偶-S 奇=nd，
S奇
S偶
= an
an+1
.
（10）若{an}与{bn}为等差数列，且前n 项和分别为Sn
与T n
，则am
bm
= S2m−1
T 2m−1
.
典型例题
例1.已知数列{an}是等差数列，若a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+⋯+a12+a13+a14=77且
ak =13，则k= .
例2.已知数列{an}为等差数列，其前10 项和S10=100，前100 项的和S100=10，则前110
项的和S110= .
例3.（1）已知等差数列共有2n+1 项，其中奇数项的和为290，偶数项的和为261，求an+1.
（2）一个等差数列的前12 项之和为354，前12 项中的偶数项之和与奇数项之和的比为
32:27，求该等差数列的公差.
例4.已知等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若对任意的正整数n，都有
Sn
Tn
=n
9
−
5n+3 ，则an
bn
= .
随堂演练
1.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= .
2.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S5=S10，a5=1，则a1=（ ）
A．7
2
B．7
3
C．−1
3
D．−7
11
3.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=（ ）
A．-2
B．7
3
C．1
D．2
9
4.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（ ）
A．3
2
B．15
2
C．10
D．11
5.设Sn为等差数列{an}的前n 项和，若S6
S3
=9
4 ，则S9
S6
等于（ ）
A．13
4
B．13
9
C．5
9
D．5
3
6.记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
7.已知{an}为等差数列，Sn为其前n 项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6= .
8.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S28=56，则a12+a13+a14+a15+a16+a17= .
9.在等差数列{an}中，a1=-2020，其前n 项和为Sn，若S12
12 −S10
10 =2，则S2022= .
10.若一个等差数列的前3 项和为34，最后3 项和为146，且所有项的和为390，则该数列
的项数为 .
6.1.3 等差数列前n 和Sn的最值的方法
知识点梳理
1.图像分析法：利用基本初等函数的图像及图像的变换来求最值.
2.函数性质法：利用基本初等函数的增减性等相关性质来求最值.
3.通项公式分析法：
①若an>0恒成立，则Sn单调递增，S1最小；若an<0恒成立，则Sn单调递减，S1最大.
②若a1>0，d <0，则Sn先增后减，则其有最大值（所有的正项或非负项的和）.
若a1<0，d >0，则Sn先减后增，则其有最小值（所有的负项或非正项的和）.
4.求导法：由于数列是特殊的函数，我们也可对于其通项公式对应的函数求导来研究
其
单调性和最值.
典型例题
例1.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n 项和Sn＞0 成立的
最大自然数n 是（ ）
A．46
B．47
C．48
D．49
例2.设数列{an}的前n 项和Sn=−n
2+26n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值及对应的n 值．
随堂演练
1.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1= 21
−
，S7=S15，则Sn的最小值为（ ）
A．-99
B．-100
C．-110
D．-121
2. （多选题）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，且(n+1)Sn<nSn+1. 若a8
a7
< 1
−，则
（ ）
A．Sn的最大值是S8
B．Sn的最小值是S7
C．S13<0
D．S14>0
3.设等差数列{an}的前n 项和为Sn，且满足S17>0，S18<0，则S1
a1
，S2
a2
，S3
a3
，…，S15
a15
中最
大的项为（ ）
A．S7
a7
B．S8
a8
C．S9
a9
D．S10
a10
4.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n= 时，{an}的前n 项和最大．
5.设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则S5= ，Sn的最小值为
．
6.已知等差数列5，4 2
7
，3 4
7
，…的前n 项和为Sn，当Sn取到最值时，求n 的值.
7.在等差数列{an}中，3a4=7a5，a1>0，求当Sn取到最值时n 的值.
8.在等差数列{an}中，d<0，S12=S21，求当Sn取到最值时n 的值.
9.在等差数列{an}中，已知S12>0，S13<0，试判断S1，S2，S3，…，S12中哪个最大，并说
明理由.
6.1.4 等比数列的概念和基本公式
知识点梳理
1.如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q 表示 ( q≠0).
2.等比数列的通项公式为an=a1q
n−1( q≠0)，推广形式：an=amq
n−m.
3.如果a,G,b成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G
2=ab.
4.递推公式形式的定义：
an
an−1
=q(n>1)或
an+1
an
=q.
5.等比数列的前n 项和公式：Sn={
na1，q=1
a1(1−q
n)
1−q
=a1−anq
1−q
，q≠1
.
注意：Sn=a1(1−q
n)
1−q
=−a1
1−q ⋅q
n+a1
1−q =kq
n−k（k≠0，q≠1），Sn为关于q
n的指
数型函数，且系数与常数互为相反数.
典型例题
例1.设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5+a6＝（ ）
A．8
B．10
C．14
D．18
例2.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则a10+a12
a5+a7
=（ ）
A．﹣4
B．8
C．﹣16
D．16
例3.已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n 项和，2Sn=an+1−2，则a4的值为（
）
A．3
B．18
C．54
D．152
例4.等比数列{an}的各项均为实数，其前n 项和为Sn，已知S3=7
4 ，S6=63
4 ，则a8=
．
随堂演练
1.已知等比数列{an}公比为q，前n 项和为Sn，且满足a6=8a3，则下列说法正确的是（
）
A．S3⋅S9=S6
2 B．S6
S3
=1
9
C．q=1
2
D．Sn=2an−a1
2.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
若a3>0，则a2021<0 B．若a4>0，则a2022<0
C．若a3>0，则S2021>0
D．若a4>0，则S2022<0
3.已知等比数列{an}的前3 项和为168，a2−a5=42，则a6=（ ）
A．14
B．12
C．6
D．3
4.设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
6.已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21
B．42
C．63
D．84
7.在正项等比数列{an}中，已知公比q=2，且a1a2⋯a30=2
30，则a3a6a9⋯a30
等于
.
8.设等比数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn，a1=1若，S5=5S3
4
−，则S4= .
9.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．
10.设等比数列{an}的公比为q，对任意的n∈N*，均有前n 项和为Sn>0，公比q 的取值范
围是
.
6.1.4 等比数列的常用性质
知识点梳理
1.一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*).
2.ak，ak+ m，ak+2m，…构成以q
m为公比的等比数列.
3.数列{an}是等比数列的充要条件是Sn=kq
n−k（k≠0，q≠0），数与常数互为相反
数.
4.数列{an}为公比不为－1 的等比数列，Sn为其前n 项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…
构成以q
n为公比的等比数列.
5.若{an}，{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列.
6.既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数数列.
7.等比数列的单调性
（1）当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列；
（2）当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列；
（3）当q=1 时，{an}是常数列；
（4）当q<0 时，{an}是摆动数列.
典型例题
例1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（ ）
A．a3+a9≤b4+ b10
B．a3+a9≥b4+ b10
C．a3+a9≠b4+ b10
D．a3+a9与b4+ b10的大小不确定
例2.等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8 项和等于
A．6
B．5
C．4
D．3
例3.已知Sn是等比数列{an}的前n 项和，S3＝1，S6＝3，则S12＝（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
例4.记Sn为公比大于1 的等比数列{an}的前n 项和，若a1+a2+a3= 7
4
，a1a2a3= 1
8
，则
S6＝
．
随堂演练
1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（ ）
A．124
B．144
C．168
D．192
2.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（ ）
A．81
B．145
C．256
D．273
3.设Sn是等比数列{an}的前n 项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则S9
S6
=（ ）
A．3
2
B．19
10
C．5
3
D．19
6
4.记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若S4＝-5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120
B．85
C．-85
D．-120
5.已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=−8，则a7=
.
6.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n 项和等于
.
7.设Sn是等比数列{an}的前n 项和，若S5
S10
=1
3 ，则S5
S20+S10
= .
8.已知数列{an}为正项等比数列，若a3+a4+a6+a8+a9=2，1
a3
+1
a4
+1
a6
+1
a8
+1
a9
=18，则
a6= .
9.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= .
10.在等比数列{an}中，
（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；
（2）a1+a3＝10，a4+a6= 5
4
，求S5；
（3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n 项中最大的一项为54，求a1，q．
