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重难点 05 五种数列通项求法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：公式法求数列通项
一、单选题
1．（2022·北京·二模）已知 为等差数列，首项 ，公差 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知 为公差不为0的等差数列 的前n项和.若
， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．23 D．24
3．（2022·陕西西安·三模（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著
作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的
数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132 B．133 C．134 D．135
4．（2022·新疆·三模（文））已知数列 是以1为首项，3为公差的等差数列， 是以1为首项，3为
公比的等比数列，设 ， ，当 时，n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ．若存在
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题6．（2021·广东·高三阶段练习）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a＋S＝－18，a＝－a，则（ ）
3 5 6 3
A．an＝2n－9 B．an＝2n－7
C．Sn＝n2－8n D．Sn＝n2－6n
7．（2022·全国·高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马
发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还
迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天
比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走 里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，
9天后两马相遇.下列结论正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530里
B．3天后，两马之间的距离为 里
C．良马从第6天开始返回迎接驽马
D．8天后，两马之间的距离为 里
8．（2021·福建师大附中高三期中）各项均为正数的等比数列 的前 项积为 ，若 ，公比 ，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则必有 B．若 ，则必有 是 中最大的项
C．若 ，则必有 D．若 ，则必有
9．（2021·江苏南通·高三期中）在数列 中，已知 是首项为1，公差为1的等差数列，
是公差为 的等差数列，其中 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．当 时，
三、填空题
10．（2022·河南洛阳·三模（文））设各项为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，
则 ___________.11．（2022·江西景德镇·三模（文））已知数列 和正项数列 ，其中 ，且满足
，数列 满足 ，其中 .对于某个给定 或 的值，则下列结论中：
① ；② ；③数列 单调递减；④数列 单调递增.其中正确命题的序号为
___________.
四、解答题
12．（2022·河北保定·二模）已知公差为2的等差数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式.
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明 .
13．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明：当 ， 时， .
14．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））记 为等比数列 的前 项和，且公比 ，已知 ，．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若 是递增数列，求实数 的取值范围．
15．（2022·山东临沂·模拟预测）等比数列 中， ， ， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，
且 ， ， 中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求数列 的前 项和 ．
题型二：Sn和an关系法求数列通项
一、单选题1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列 的公比为q，前n项和为 ．若
， ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2022·福建三明·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A．-8 B．-3 C．-2 D．8
3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））设 为数列 的前 项和.若 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
4．（2022·山东临沂·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，已知 ．数列 满足
，则（ ）
A．
B．
C．数列 的前 项和
D．数列 的前 项和
5．（2022·江苏江苏·三模）已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B．C． D．
三、填空题
6．（2022·辽宁·二模）若数列 的前n项和 ，则其通项公式为_______．
7．（2022·安徽·模拟预测（理））已知数列 满足 ，则
___________.
8．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， ，则
______．
9．（2022·四川绵阳·三模（理））已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ______．
四、解答题
10．（2022·福建泉州·模拟预测）记数列{ }的前n项和为 .已知 ，___________.
从① ；② ；③ 中选出一个能确定{ }的条件，
补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求{ }的通项公式：
(2)求数列{ }的前20项和 .
11．（2022·湖南·长沙一中一模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)在 和 中插入k个数构成一个新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
…，其中插入的所有数依次构成数列 ，通项公式 ．求数列 的前30项和 ．12．（2022·广东·三模）已知数列{ }的前n项和 ， ， ， .
(1)计算 的值，求{ }的通项公式；
(2)设 ，求数列{ }的前n项和 .
13．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））从① ，② ，这两个条件中选
择一个补充到下面问题中，并完成解答．
问题：已知数列 的前n项和为 ，且______， 为等差数列， ， ， ， 成等差数列．
(1)写出所选条件的序号，并求数列 、 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
14．（2022·湖南师大附中二模）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，则在数列 中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数
列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.题型三：累加法求数列通项
一、单选题
1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4043
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知数列{ }满足 ，当n为奇数时 ，当n为偶数时
，则 时， （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出
了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差
数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4
为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积
术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为（ ）
A．139 B．160 C．174 D．188
二、多选题
4．（2022·福建宁德·模拟预测）数列{ }中，设 .若 存在最大值，则 可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·山东日照·二模）已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的有
（ ）A． B．
C．若 ，则 D．
6．（2022·重庆·二模）设数列 的前n项和为 ，已知 ，且 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． D．
三、填空题
7．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知首项为1的数列 的前n项和为 ，正项等比数
列 满足 ， ，若 ，且在数列 中，仅有5项不小于实数 ，则
实数 的取值范围为___________.
8．（2022·安徽滁州·二模（文））已知数列 满足： ，设
， ．则 __________．
四、解答题
9．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知数列 满足 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．10．（2022·广东茂名·二模）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
11．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 .
12．（2022·全国·模拟预测）若无穷数列 满足 是公差为k的等差数列，则称 为 数
列.(1)若 为 数列， ， ，求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ， ， ， 为 数列，求证： .
题型四：累乘法求数列通项
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列 中， ， ，则满足 的n的最
大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列 满足
则下列有可能成立的是（ ）
A．若 为等比数列，则
B．若 为递增的等差数列，则
C．若 为等比数列，则
D．若 为递增的等差数列，则
二、多选题3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知数列 满足 ， ，令
，则（ ）
A． B．数列 是等差数列
C． 为整数 D．数列 的前2022项和为4044
4．（2020·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ， ，若存在正整
数 ， ， 使得等式 成立，则下列结论正确的有
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·山西太原·二模（文））已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且 ，则数列
的通项公式 ___________.
6．（2022·全国·高三专题练习）数列 中，若 ， ，则 ___________.
7．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a=2，
1
，且 .若对任意 ， 恒成立，则实数 的最大值为___________.
四、解答题
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设等差数列 的各项为正数，其前n项和为 ，且 构成
等比数列．
(1)求 及 ；
(2)若数列 满足 ， ，求证： ．
9．（2022·浙江杭州·二模）已知数列 满足 ， .
(1)若 且 .
（ⅰ）当 成等差数列时，求k的值；
（ⅱ）当 且 ， 时，求 及 的通项公式.
(2)若 ， ， ， .设 是 的前n项之和，求 的最大值.
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，则正整数n的最小值．题型五：构造法求数列通项
一、单选题
1．（2022·河南洛阳·三模（文））若数列 和 满足 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南商丘·三模（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过x的最大整数．已知数列
满足 ， ， ，若 ， 为数列 的前n项和，则
（ ）
A．249 B．499 C．749 D．999
3．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）定义：在数列 中，若满足 为常
数），称 为“等差比数列”，已知在“等差比数列” 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽黄山·二模（理））已知数列 满足 ，设 的前 项和为 ，
则 的值为（ ）A． B． C．2 D．1
二、多选题
5．（2022·福建·三模）已知 是直角三角形， 是直角，内角 、 、 所对的边
分别为 、 、 ，面积为 ，若 ， ， ， ，则（ ）
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． 存在最大项 D． 存在最小项
6．（2021·辽宁·高三阶段练习）如图所示， ， ，…， ，…，是函数C：
上的点， ， ，…， ，…是x轴正半轴上的点，且 ， ，…，
，…，均为等腰直角三角形（ 为坐标原点）．（ ）
A．
B． ， ，（ ）
C．
D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，则（ ）A． 是等比数列 B．
C． 是等比数列 D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，前n项和为 ，则下
列选项中正确的是（ ）（参考数据： ， ）
A． B．
C． D． 是单调递增数列， 是单调递减数列
三、填空题
9．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）五名运动员 、 、 、 、 相互传球．每个人在接到
球后随机传给其他四人中的一人．设首先由 开始进行第 次传球，那么恰好在第 次传球把球传回到 手
中的概率是______（用最简分数表示）．
10．（2022·辽宁抚顺·一模）设数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，则k的值为
________.
11．（2022·四川宜宾·二模（理））在数列 中， ， ，且满足 ，
则 ___________.
四、解答题
12．（2022·陕西西安·三模（理））设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，
成等比数列，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的值．13．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知数列{ }的首项 ，且满足 ．
(1)证明 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，求{ }的前n项和 ．
14．（2022·全国·模拟预测（理））设数列 满足 ， ．
(1)求证： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
15．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，求数列 的前n项和为 ．16．（2022·重庆·模拟预测）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6
月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定
数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停
运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复
每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率
是 ，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是 ，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被
熔断的概率是 .一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的
第n次航班被熔断的概率为 .
(1)求 ；
(2)证明： 为等比数列；
(3)求数列 的前 项和 ，并说明 的实际意义.
