文档内容
期末·满分·精选
八年级下学期【压轴题48题特训】
一．选择题（共5小题）
1．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中
的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数
关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早 小时
【答案】D
【解答】解：A、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为 0.5小时，正确，不
合题意；
B、∵乙先出发0.5小时，两车相距70km，
∴乙车的速度为：（100﹣70）÷0.5＝60（km/h），
故乙行驶全程所用时间为： ＝1 （小时），
由最后时间为1.75小时，可得乙先到达A地，
故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5＝1.25（小时），
故甲车的速度为： ＝80（km/h），
故B选项正确，不合题意；
C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，
乙车行驶的距离为：60km，40+60＝100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；
D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1 ＝ （小时），
故此选项错误，符合题意．
故选：D．
2．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 6，点 M 是对角线 AC 上的一动点，且
∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝ ＝ ＝3 ，
∴2DE＝6 ．∴MA+MB+MD的最小值是6 ．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点
P不与点 B、C 重合），PE⊥AB 于E，PF⊥AC 于F．则 EF 的最小值为（
）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【答案】B
【解答】解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵ AB•AC＝ BC•AP，即AP＝ ＝ ＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．4．如图，直线y＝﹣ x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线
段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
③点D（ ， ）；
④若线段 BC 上存在一点 P，使得以点 P、O、C、D为顶点的四边形为菱
形，则点P的坐标是（ ， ）．
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解答】解：∵直线y＝﹣ x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S ＝ AC×DH＝ CD×AD，
△ACD
∴DH＝ ＝ ，
∴当y＝ 时， ＝﹣ x+6，
∴x＝ ，
∴点D（ ， ），故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，
且OC＝CD，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为 ，故④错误，
故选：B．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝45°，∠C＝90°，AD＝4cm，CD
＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s的速度沿AB向终点B
运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时
间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：如图1中，当0＜t≤2时，过点M作MH⊥AN于H．
S＝ •AN•MH＝ ×2t× t•cos45°＝t2，如图2中，当2＜t≤3时，连接DM，S＝S +S ﹣S ＝ ×（2t﹣4）
△MND △AMD △ADN
×（4﹣t）+ ×4×t﹣ ×4×（2t﹣4）＝﹣t2+4t，
如图 3 中，当 3＜t≤3.5 时，连接 BD，S＝S +S ﹣S ＝ ×（2t﹣
△MND △AMD △ADN
4）×1+ ×4×3﹣ ×4×（2t﹣4）＝﹣3t+12，
由此可知函数图象是选项B，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
6．若|2017﹣m|+ ＝m，则m﹣20172＝ 201 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|2017﹣m|+ ＝m，∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+ ＝m．
化简，得 ＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，
BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为
2：3，则△BCG的周长为 +3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝ ，即BG+CG＝ ，
∴△BCG的周长＝ +3，
故答案为： +3．
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个
等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积 S ＝
1
6.5，S ＝3.5，S ＝5.5，则S ＝ 2. 5 ．
2 3 4
【答案】2.5．
【解答】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S ＝m，S ＝n，
△ABG △ACH
∵a2+b2＝c2，
∴S +S ＝S ，
△ABD △ACE △BCF
∴S +m+n+S ＝S +S +m+n，
1 4 2 3
∴S ＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5
4
故答案为：2.5．9．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连
接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为 4 0 ．
【答案】40．
【解答】解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．10．如图，在平面直角坐标系中，点 A ，A ，A ，…都在x轴上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…都在直线 y＝x 上，OA ＝1，且△B A A ，B A A ，B A A ，…，
3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
△B A A ，…分别是以A ，A ，A ，…，A ，…为直角顶点的等腰直角三角
n n n+1 1 2 3 n
形，则△B A A 的面积是 2 1 7 ．
10 10 11
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵OA ＝1，
1
∴点A 的坐标为（1，0），
1
∵△OA B 是等腰直角三角形，
1 1
∴A B ＝1，
1 1
∴B （1，1），
1
∵△B A A 是等腰直角三角形，
1 1 2
∴A A ＝1，B A ＝ ，
1 2 1 2
∵△B B A 为等腰直角三角形，
2 1 2
∴A A ＝2，
2 3
∴B （2，2），
2
同理可得，B （22，22），B （23，23），…B （2n﹣1，2n﹣1），
3 4 n
∴点B 的坐标是（29，29）．
10∴△B A A 的面积是： ×29×29＝217．
10 10 11
故答案为217．
三．解答题（共38小题）
11．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交
AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各
边匀速运动一周．即点 P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．
在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、
P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF＝5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可
能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行
四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得 ，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边
上．
分三种情况：
i）如图 1，当 P点在 AF上、Q点在 CE上时，AP＝CQ，即 a＝12﹣b，得
a+b＝12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得
a+b＝12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得
a+b＝12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．12．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y＝﹣ x+8与x轴，y轴分别交于
点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好
落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长和点C的坐标；
（2）求直线CD的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC，
∴AC＝AB＝10．
∴OC＝OA+AC＝OA+AB＝16．
∵点C在x轴的正半轴上，∴点C的坐标为C（16，0）．
（2）设点D的坐标为（0，y）（y＜0），
由题意可知CD＝BD，CD2＝BD2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得162+y2＝（8﹣y）2，
解得y＝﹣12．
∴点D的坐标为（0，﹣12），
可设直线CD的解析式为 y＝kx﹣12（k≠0）
∵点C（16，0）在直线y＝kx﹣12上，
∴16k﹣12＝0，
解得k＝ ，
∴直线CD的解析式为y＝ x﹣12．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边
上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正
方形？请说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
14．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行
驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时
间x（h）的函数图象．
（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的
x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，得
m＝1.5﹣0.5＝1．
120÷（3.5﹣0.5）＝40，
∴a＝40．
答：a＝40，m＝1；
（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k x，由题意，得
1
40＝k ，
1
∴y＝40x
当1＜x≤1.5时，
y＝40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y＝k x+b，由题意，得
2
，
解得： ，
∴y＝40x﹣20．
y＝ ；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k x+b ，由题意，得
3 3，
解得： ．
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，
解得：x＝ ．
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，
解得：x＝ ．
＝ ， ．
答：乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距50km．
15．盘锦红海滩景区门票价格 80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动
态管理，非节假日打 a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，
10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假
日门票费用y （元）及节假日门票费用y （元）与游客x（人）之间的函数
1 2
关系如图所示．
（1）a＝ 6 ，b＝ 8 ；
（2）直接写出y 、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带
B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计 50人，两次共付门票费用 3040元，
求A、B两个旅游团各多少人？【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由y 图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，
1
∴a＝ ×10＝6；
由y 图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640
2
元，
∴b＝ ×10＝8；
（2）设y ＝k x，
1 1
∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），
∴10k ＝480，
1
∴k ＝48，
1
∴y ＝48x；
1
0≤x≤10时，设y ＝k x，
2 2
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），
∴10k ＝800，
2
∴k ＝80，
2
∴y ＝80x，
2
x＞10时，设y ＝kx+b，
2
∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），
∴ ，∴ ，
∴y ＝64x+160；
2
∴y ＝ ；
2
（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），
当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040，
解得n＝20（不符合题意舍去），
当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040，
解得n＝30，
则50﹣n＝50﹣30＝20．
答：A团有20人，B团有30人．
16．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作
EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝ ，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC
的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝ AB＝2 ，
∵EC＝ ，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝ ．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°
＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如
图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
17．如图，△ABC 中，D 是 AB 上一点，DE⊥AC 于点 E，F 是 AD 的中点，
FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，
GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结
论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∵DE∥BC，
∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝ ，点E为对角线AC上一动
点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作
矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说
明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图
所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中， ，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中， ，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝ AB＝ ×2 ＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运
动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即
停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时
间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即 时，四边形AQCP为菱形，解得t＝ ，
故当t＝ s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝ 时，AQ＝ ，CQ＝ ，
则周长为：4AQ＝4× ＝15cm
面积为： （cm2）．
20．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙
两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用 2400元购进乙种运动鞋的数量
相同．（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）
不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定
对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么
该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）m＝100；
（2）共有11种方案；
（3）应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【解答】解：（1）依题意得， ＝ ，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1＝11，
∴共有11种方案；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）
x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
21．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所
在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想 PE
与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否
成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画
出满足条件的图形，并判断此时 PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不
必证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：①PE＝PB，②PE⊥PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又 PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC＝∠PBC．（7分）又∵PE＝PD，
∴∠PDE＝∠PED．
∴∠PDE+∠PDC＝∠PEC+∠PBC＝180°，
∴∠EPB＝360°﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）＝90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：
结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．
22．观察下列各式：
＝1+ ﹣ ＝1 ； ＝1+ ﹣ ＝1 ；
＝1+ ﹣ ＝1 ，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想： ＝ 1+ ﹣ ＝ 1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等
式： ＝ 1+ ﹣ ＝ ；
③应用：计算 ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：①猜想： ＝1+ ﹣ ＝1 ；
故答案为：1+ ﹣ ，1 ；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+ ﹣ ＝ ；
③应用：
＝
＝
＝1+ ﹣
＝1 ．
23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于
点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折
叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ADE的面积；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S ＝ S ，若存在，请直接写出点P
△PAD △ADE
的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，﹣ x+4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5．
由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，
∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°．
又∵∠BDA＝∠CDA，
∴AO＝AE．
在Rt△AOD和Rt△AED中， ，
∴Rt△AOD≌Rt△AED（HL），
∴S ＝S ＝ OA•OD＝9．
△ADE △ADO
（3）假设存在，设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．∵S ＝ S ，即 DP•OA＝ × OD•OA，
△PAD △ADE
∴|m+6|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S ＝
△PAD
S ．
△ADE
24．某商店销售 10台A型和20台B型电脑的利润为 4000元，销售20台A型
和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量
不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润
为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润
是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利
润为b元；
根据题意得 ，
解得 ．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33 ，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大，最大利润是
13300元．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B
两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此
时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，
求△BCD平移的距离及点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的 P点的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD．
在△BOC和△CED中， ，
∴△BOC≌△CED（AAS）．
（2）解：∵直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．
设OC＝m，
∵△BOC≌△CED，
∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，
∴点D的坐标为（m+3，m）．
∵点D在直线y＝﹣ x+3上，
∴m＝﹣ （m+3）+3，解得：m＝1，
∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．
∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．
设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，
将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，
∴点C′的坐标为（ ，0），
∴CC′＝ ﹣1＝ ，
∴△BCD平移的距离为 ．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣ n+3）．
分两种情况考虑，如图3所示：
①若CD为边，当四边形 CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，
1），P（0，m），Q（n，﹣ n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P 的坐标为（0， ）；
1
当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），
Q（n，﹣ n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P 的坐标为（0， ）；
2
②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣
n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P的坐标为（0， ）．
综上所述：存在，点P的坐标为（0， ）或（0， ）．26．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频
繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A
型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价
比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件
数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B
型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销
售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，
就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐
献慈善资金后获得的最大收益．
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为
（x+10）元．
由题意： ＝ ×2，
解得x＝150，
经检验x＝150是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．
由题意：v＝80m+70（250﹣m）＝10m+17500，
∵80≤m≤250﹣m，
∴80≤m≤125，
（3）设利润为 w 元．则 w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）
m+17500，
①当 10﹣a＞0 时，即 0＜a＜10 时，w 随 m 的增大而增大，所以 m＝125
时，最大利润为（18750﹣125a）元．
②当10﹣a＝0时，最大利润为17500元．
③当 10﹣a＜0 时，即 10＜a≤80 时，w 随 m 的增大而减小，所以 m＝80
时，最大利润为（18300﹣80a）元．
27．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行
车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的
距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，
请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x＝0时，甲距离B地30千米，
所以，A、B两地的距离为30千米；
（2）由图可知，甲的速度：30÷2＝15千米/时，
乙的速度：30÷1＝30千米/时，
30÷（15+30）＝ ，
×30＝20千米，
所以，点M的坐标为（ ，20），表示 小时后两车相遇，此时距离B地20
千米；
（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，
①若是相遇前，则15x+30x＝30﹣3，
解得x＝ ，
②若是相遇后，则15x+30x＝30+3，
解得x＝ ，
③若是到达B地前，则15x﹣30（x﹣1）＝3，
解得x＝ ，
所以，当 ≤x≤ 或 ≤x≤2 时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联
系．28．【模型建立】
（1）如图 1，等腰 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线 ED 经过点
C，过点 A 作 AD⊥ED 于点 D，过点 B 作 BE⊥ED 于点 E，求证：
△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l ：y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直
1
线l 绕点A逆时针旋转45°至直线l ；求直线l 的函数表达式；
1 2 2
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点 B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于
点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上
的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求
出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：
∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l ：y＝ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
1
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l 的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
2
点A、C两点在直线l 上，依题意得：
2
，
解得： ，
∴直线l 的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
2
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝HD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝ ，
即点D的坐标为（ ，﹣ ）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；③若点D为直角时，如图3丙所示：
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（ ， ），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2× ＝ ，
解得：k＝ ，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（ ，﹣ ）；
综合所述，点D的坐标为（ ，﹣ ）或（4，﹣7）或（ ，﹣ ）．
29．如图，在 ABCD 中，∠BAD的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于
F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
▱
（1）证明 ECFG是菱形；
▱
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
▱
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝ ∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，
∵ ，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝ BD＝5 ．
30．在数学活动课中，小辉将边长为 和3的两个正方形放置在直线 l上，如
图1，他连接AD、CF，经测量发现AD＝CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断AD
与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形 ODEF绕O点逆时针旋转，使点 E旋转至直线 l上，如图
3，请你求出CF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AD＝CF．
理由如下：在正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中，AO＝CO，OD＝OF，
∠AOC＝∠DOF＝90°，
∴∠AOC+∠COD＝∠DOF+∠COD，
即∠AOD＝∠COF，在△AOD和△COF中， ，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
（2）与（1）同理求出CF＝AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG＝OG＝ OE，
∵正方形ODEF的边长为 ，
∴OE＝ OD＝ × ＝2，
∴DG＝OG＝ OE＝ ×2＝1，
∴AG＝AO+OG＝3+1＝4，
在Rt△ADG中，AD＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝AD＝ ．
31．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角
顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD
＝AC，求证：BE＝DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣ ，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的
一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐
标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），
将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b 得： ，解得：
，
故直线AC的表达式为：y＝ x+2；
（2）同理可得直线 CD的表达式为：y＝﹣ x﹣ …①，则点E（0，﹣
），直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣ ）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣ x﹣ ，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝ ，
直线AC的表达式为：y＝ x+2，则点M（﹣6，0），
S ＝ MB×y ＝ ×5×1＝ ，
△BMC C
S ＝ S ＝ ＝ NB×k＝ NB，
△BPN △BCM
解得：NB＝ ，
故点N（﹣ ，0）或（ ，0）．
32．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中
注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的
函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为 1 0 cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t
的值．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒
后水槽内高度变化趋势改变，
故正方体的棱长为10cm；
故答案为：10；
（2）设线段AB对应的函数解析式为：y＝kx+b，
∵图象过A（12，10），B（28，20），
∴ ，
解得： ，
∴线段AB对应的解析式为：y＝ x+ （12≤x≤28）；
（3）∵28﹣12＝16（s），
∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，
∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，
∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．
33．如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，
且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究
片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角
形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的
中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下
的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF＝90°
∴∠FEC+∠AEB＝90°
又∵∠EAM+∠AEB＝90°
∴∠EAM＝∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM＝EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME＝135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF＝135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE＝EF
（2）探究2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点E是边BC的中点”改
为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE＝EF 仍然成
立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点E是边BC的中
点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE
＝EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理
由．【答案】见试题解答内容
【解答】（2）探究2，证明：在AB上截取AM＝EC，连接ME，
由（1）知∠EAM＝∠FEC，
∵AM＝EC，AB＝BC，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
又∵∠EAM+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
在△AEM和△EFC中， ，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（3）探究3：成立，
证明：延长BA到M，使AM＝CE，连接ME，
∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝∠ECF＝45°，
又∵∠B＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠FET＝90°，
∴∠BAE＝∠FET，
∴∠MAE＝∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
，
∴△MAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝ 180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
35．已知：如图，边长为 4的菱形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O，若
∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，BE＝1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点
F，求线段OF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2 ﹣1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4 ，
∴OB＝CO＝ AC＝2 ，DO＝ BD＝2 ，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，
，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
∵BE＝1，
∴OE＝OF＝OB﹣BE＝2 ﹣1．
36．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，
C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线 AG把△ABC的面积分成1：2的两
部分，请求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+6；
（2）点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（3， ）或（﹣3， ）．
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S ＝ ×9×6＝27，
△ABC
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S ：S ＝1：2时，即S ＝ S ＝9，
△ABG △ACG △ABG △ABC
∴ ×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S ：S ＝2：1时，即S ＝ S ＝18，
△ABG △ACG △ABG △ABC∴ ×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，
∴D（﹣ ，3），
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE
交ED的延长线于F，交x轴于H，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
∴DP＝CD，∠CDB＝90°，
∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴△PDF≌△CDE（AAS），
∴DF＝CE，PF＝DE，
∵D（﹣ ，3），C（0，6）．
∴DE＝PF＝ ，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，
∴EF＝3+ ＝ ，PH＝3+ ＝ ，
∴P（﹣ ， ），
同理得：P′（ ， ）；∴P（﹣ ， ）或（ ， ）；
②当点C为直角顶点时，如图，过点 D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y
轴于M，
同①可得△PCM≌△CDN（AAS），
∴DN＝CM，PM＝CN，
∵D（﹣ ，3），C（0，6）．
∴DN＝CM＝ ，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，
∴OM＝6﹣ ＝ ，
∴P（3， ），
同理得：P′（﹣3， ）；
∴P（3， ）或（﹣3， ）．
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（3， ）或（﹣3， ）．
37．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气
旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正
南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会
减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向
C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影
响．
试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝240，
∴AD＝ AB＝120，
∵城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）＝200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作 A交BC于E、F．
则AE＝AF＝200．
⊙
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2 ＝320．
∴台风影响该市的持续时间t＝320÷20＝16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）＝7.2（级）．38．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终
经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关
系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的
数量关系，并证明你的猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
解法二：连接DP，先证明以角平分线为对称轴的两个三角形全等，再将角
∠ADP和角∠ABP用未知数表示，通过角的代换等角对等边证明 DP＝DQ，
39．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣ x+3分别交x轴于
点B和点C，点D是直线y＝﹣ x+3与y轴的交点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点 M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并
说明理由．
（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写
出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（﹣1，0），C（4，0），D（0，3）；
（2） ，点 M 运动到（3，4）或（﹣5，﹣4）时，
△BCM的面积为10；
（3）存在点P，P点的坐标是（0，3）或（ ， ）．
【解答】（1）解：把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣ x+3＝0，
∴D（0，3），
把y＝0代入y＝﹣ x+3得：0＝﹣ x+3，
∴x＝4，
∴C（4，0），
即B（﹣1，0），C（4，0），D（0，3）；
（2）解：BC＝4﹣（﹣1）＝5，∵M（x，y）在y＝x+1上，
∴M（x，x+1），
过M作MN⊥x轴于N，①当M在x轴的上方时，MN＝x+1，
∴S＝ BC•MN＝ ×5×（x+1）＝ x+ ；
②当M在x轴的下方时，MN＝|x+1|＝﹣x﹣1，
∴S＝ BC•MN＝ ×5×（﹣x﹣1）＝﹣ x﹣ ；
把S＝10代入得：10＝ x+ 得：x＝3，x+1＝4；
把S＝10代入y＝﹣ x﹣ 得：x＝5＝﹣5，x+1＝﹣4；
∴M（3，4）或（﹣5，﹣4）时，s＝10；
即S与x的函数关系式是 ，点M运动到（3，4）或（﹣
5，﹣4）时，△BCM的面积为10；
（3）解：∵C（4，0），D（0，3），
∴OC＝4，OD＝3，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝5，
有三种情况：
①CB＝CP＝5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）；
②BP＝PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x＝ ＝
，
代入y＝﹣ x+3得：y＝ ，
∴P的坐标是（ ， ）；
③BC＝BP时，设P（x，﹣ x+3），根据勾股定理得：（x+1）2+（﹣ x+3﹣0）2＝52，
解得：x＝﹣ 或x＝4，
∵P在线段CD上，
∴x＝﹣ （舍去），
当x＝4时，与C重合，（舍去）；
∴存在点 P，使△CBP 为等腰三角形，P 点的坐标是（0，3）或（ ，
），
方法二：①当BC＝CP＝5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）；
②BP＝PC时，此时P在BC的垂直平分线上，
∴P的坐标是（ ， ）；
③BC＝BP时，设P（x，﹣ x+3），
根据勾股定理得：BD＝ ＝ ＜5，
∴当BP＝5时，点P在点D的左侧，
不在线段CD上，不合题意；
综上所述．存在点P，P点的坐标是（0，3）或（ ， ）．
40．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第
一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好
与线段AB上一点C'重合，求线段CF的长度；
（3）如图③，动点P（x，y）在第一象限，且 y＝2x﹣6，点D在线段AC
上，是否存在直角顶点为 P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点 P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，
∴点C的坐标（8，6）；
（2）∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，
∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝90°，
∴BC'＝AB﹣AC'＝4，
∵BF2＝C'F2+C'B2，
∴（8﹣CF）2＝CF2+16，
∴CF＝3；
（3）设点P（a，2a﹣6），
当点 P在BC 下方时，如图③，过点 P作EF∥BC，交 y轴于 E，交 AC 于
F，∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP＝PD，∠BPD＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，
∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE＝∠PDF，
∴△BPE≌△PDF（AAS），
∴PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF，
∵EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8，
∴a＝4，
∴点P（4，2）；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC的
延长线于F，
同理可证△BPE≌△PDF，
∴BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，∵EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8，
∴a＝ ，
∴点P（ ， ），
综上所述：点P坐标为（4，2）或（ ， ）．
41．如图，直线l ：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于点
1 2
A，且经过定点B（﹣1，5），直线l 与l 交于点C（2，m）．
1 2
（1）填空：k＝ ；b＝ 4 ；m＝ 2 ；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒 1个单位的速度运动，连接
AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积
比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
42．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交
MN于E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）当 MN 与AC 的交点 P在什么位置时，四边形 AECF是矩形，说明理
由；
（3）在（2）条件中，当△ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形．
（不需要证明）【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE．
∵MN∥BC，
∴∠PEC＝∠BCE．
∴∠ACE＝∠PEC，PE＝PC．
同理：PF＝PC．
∴PE＝PF．
（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，
∵PA＝PC，PF＝PE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵PE＝PC，
∴AC＝EF，四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．
43．如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点 P以每
秒2cm的速度沿图甲的边框按从 B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的
△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若 AB＝6cm，试回答下列问题
（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a是多少？
（3）图甲中的图形面积的多少？
（4）图乙中的b是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：
BC＝2cm/秒×4秒＝8cm；
故图甲中的BC长是8cm．
（2）由（1）可得，BC＝8cm，则：a＝ ×BC×AB＝24cm2；
图乙中的a是24cm2．
（3）由图可得：CD＝2×2＝4cm，DE＝2×3＝6cm，
则AF＝BC+DE＝14cm，又由AB＝6cm，
则甲图的面积为AB×AF﹣CD×DE＝60cm2，
图甲中的图形面积为60cm2．
（4）根据题意，动点 P 共运动了 BC+CD+DE+EF+FA＝8+4+6+2+14＝
34cm，
其速度是2cm/秒，则b＝ ＝17秒，
图乙中的b是17秒．44．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延
长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图 3所示，求
DM的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝ ∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵ ，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2 ，
∴DM＝ BD＝ ．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝ CF＝3，
∴MH＝ CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝ ＝ ．
45．如图，直线l ：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，
1
直线l 经过O，C两点，点D在l 上．
2 2
（1）①直接写出点C的坐标为 （ 2 ， 1 ） ；②求直线l 的解析式；
2
（2）如图1，若S ＝2S ，求点D的坐标；
△BOC △BCD
（3）如图2，直线l 经过D，E（0，﹣ ）两点，分别交x轴的正半轴、l 于
3 1
点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．【答案】（1）①C（2，1），②y＝ ；（2）（1， ）或（3， ）；
（3）﹣ ．
【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，
∴点C的坐标与k的取值无关，
∴x＝2时，y＝1，
∴C（2，1），
故答案为：（2，1）；
②设l 的解析式为：y＝ax，
2
把C（2，1）代入y＝ax得：a＝ ，
∴l 的解析式为y＝ ，
2
（2）如图，取OB的中点H，连接CH，
∵C（2，1），
∵S ＝2S ，
△BOC △BCD
当点D在线段OC上时，
则点D为OC的中点，∴D（1， ）；
当点D在线段OC的延长线时，
∴S ＝ ，
△BCD
即OB＝ ，|x |＝3，
D
∴D（3， ），
综上所述，符合条件的点D坐标为（1， ）或（3， ）．
（3）过点C作CH∥EF，过点O作OH⊥OC，分别过点 C，H作CM⊥OB
于M，HN⊥OB于N，
∵∠EDO＝45°，
∴∠OCH＝45°，
∴OC＝OH，
又∵∠MOC＝∠NHO，∠OMC＝∠ONH，
∴△COM≌△OHN（AAS），
∴CM＝OH，OM＝NH，
由C（2，1）得：H（1，﹣2），
∴y ＝3x﹣5，
CH
由E（0，﹣ ）得：y ＝3x﹣ ，
EF
∴P（ ，0），
过点F作FK⊥OA于K，∵PF＝PE，
∴△OPE≌△FPK（AAS），
∴F（1， ），
将F（1， ）代入l ：y＝kx﹣2k+1，
1
∴k﹣2k+1＝ ，
解得k＝﹣ ．
46．如图，正方形 ABCD 边长为 4，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 A、B 不重
合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：△ADF≌△DCE；
（2）若△DEF的面积为 ，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
【答案】（1）证明见解答部分；
（2）AF＝5或 ．
（3）MN的长度为 或 ．
【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，
∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）．
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF＝x，
∴BE＝CF＝4﹣x，
∴△DEF的面积＝S ﹣S ﹣S ﹣S
正方形 △ADE △EBF △DCF
＝4×4﹣ ×4•x﹣ （4﹣x）•x﹣ ×4•（4﹣x）
＝8﹣2x+ x2，
∴y＝ x2﹣2x+8＝ ，
解得，x ＝3，x ＝1，
1 2
∴AE＝3或AE＝1，
∴AF＝DE＝5或 ．
（3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝ME，
∵AB∥CD，
∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM，∴△DPM≌△EAM（AAS），
∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1，
当AE＝3时，BF＝EP＝3，
∴CF＝CP＝1，
∴PF＝ ，
∴MN＝ PF＝ ；
当AE＝1时，BF＝EP＝1，
∴CF＝CP＝3，
∴PF＝3 ，
∴MN＝ PF＝ ；
综上，MN的长度为 或 ．
47．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝ x的图象上
运动（不与 O重合），连接 AP．过点 P作PQ⊥AP，交 x轴于点 Q，连接
AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；
如果不是，请说明理由．
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝ x的图象上
∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°
∵A（0，2）
∴AH＝AO•sin60°＝
∴AP≥
（2）
①当点P在第三象限时，如图2，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°
∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°
∴Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
（3）设P（m， m），则l ：y＝ x+2，
AP
∵PQ⊥AP
∴k ＝
PQ
∴l ：y＝ （x﹣m）+ m
PQ
∴Q（ ，0）
∴OP2＝ m2，OQ2＝ m2﹣ m+
PQ2＝ m2﹣ m+
①OP＝OQ时，则 m2＝ m2﹣ m+
整理得：m2﹣4 m+3＝0
解得m＝2 ±3
∴Q （2 +4，0），Q （2 ﹣4，0）
1 2
②当PO＝PQ时，则 m2＝ m2﹣ m+
整理得：2m2+
解得：m＝ 或m＝﹣
当m＝ 时，Q点与O重合，舍去，∴m＝﹣
∴Q （﹣2 ，0）
3
③当QO＝QP时，
则
整理得：m2﹣
解得：m＝
∴Q （ ）
4
∴点 Q 的坐标为（2 +4，0）或（2 ﹣4，0）或（﹣2 ，0）或（
）．
48．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），
P是x轴上的动点．
（1）求k的值．
（2）连结PB，当∠PBA＝90°时，求OP的长．
（3）过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线x＝2上．是否存在
点Q，使得△PMQ是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的
点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k的值是﹣ ；
（2）OP＝1；（3）Q点坐标为：（2， ）或（2，2）或（2，﹣2）或（2，﹣4）．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴k的值是﹣ ；
（2）设P（m，0），
∵A（4，0），B（0，2），
∴PA2＝（m﹣4）2，PB2＝m2+4，AB2＝20，
∵∠PBA＝90°，
∴PB2+AB2＝PA2，即m2+4+20＝（m﹣4）2，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，0）；
∴OP＝1；
（3）存在，Q点坐标为：（2， ）或（2，2）或（2，﹣2）．
∵过点Q作平行于y轴的直线，点Q在直线x＝2上，设直线x＝2交x轴于
点E（2，0），
∴设Q（2，t），
∵A（4，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y＝﹣ x+2，
设点P的坐标为（m，0），
∵过点P作AB的平行线，交y轴于点M，
∴直线PM的解析式为：y ＝﹣ x+ m，
PM
∴PM2＝ ，PQ2＝（m﹣2）2+t2，MQ2＝22+（ ﹣t）2，
①当△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ＝90°时，如图1，则PM＝PQ，
∴ m2＝（m﹣2）2+t2，
∵∠POM＝∠PEQ＝90°，
∴∠PMO+∠MPO＝90°，
∵∠QPE+∠MPO＝90°，
∴∠PMO＝∠QPE，
∴△PMO≌△QPE（AAS），
∴OP＝EQ＝t，PE＝OM＝ m，
∵OP+PE＝2，
∴t+ m＝2，
联立方程组得 ，
解得： ，
∴Q（2， ）；
②当△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ＝90°时，如图2，
则PM＝MQ，
∴ m2＝22+（ ﹣t）2①，
过点M作MF⊥直线x＝2，垂足为F，
则MF＝2，∠MFQ＝90°＝∠MOP，
∴∠MPO+∠PMO＝90°，
∵∠PMO+∠BMQ＝∠QMF+∠BMQ＝90°，
∴∠PMO＝∠QMF，
∴△MPO≌△MQF（AAS），
∴OM＝MF＝2，QF＝OP，∴M（0，﹣2），F（2，﹣2），
∴P（﹣4，0），
∴OP＝4，
∴QF＝4，
∴t﹣（﹣2）＝4，
∴t＝2，
∴Q（2，2）；
③当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图3，
则QM＝PQ，
过点Q作QH⊥y轴于点H，
则∠QHM＝∠QEP＝∠PQM＝90°，
∵QE∥y轴，
∴∠HQE＝180°﹣∠QHM＝90°，
∴∠MQH+∠MQE＝∠PQE+∠MQE＝90°，
∴∠MQH＝∠PQE，
∴△QMH≌△QPE（AAS），
∴QE＝QH＝2，
∴t＝2，
∴Q（2，2）；
④当△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM＝90°时，如图4，
则QM＝PQ，
过点Q作QH⊥y轴于点H，
则∠QHM＝∠QEP＝∠PQM＝90°，
∴∠MQH+∠MQE＝∠MQE+∠PQE＝90°，
∴∠MQH＝∠PQE，
∴△QMH≌△QPE（AAS），
∴QE＝QH＝2，MH＝PE，
∴t＝﹣2， m+2＝m﹣2，
∴m＝8，
∴Q（2，﹣2）；⑤当△PMQ是等腰直角三角形，∠QPM＝90°时，如图4，
则PM＝PQ，
过点Q作QT⊥y轴于点T，
则∠QTP＝∠POM＝90°，
∴∠MPO+∠QPT＝∠MPO+∠PMO＝90°，
∴∠QPT＝∠PMO，
∴△QPT≌△PBO（AAS），
∴QT＝OP，AT＝OM，
∴﹣t＝m，m﹣2＝ m，
∴m＝4，t＝﹣4
∴Q（2，﹣4）；
综上所述，Q点坐标为：（2， ）或（2，2）或（2，﹣2）或（2，﹣4）．
声明：试
