第19 讲导数与恒成立、存在性问题
（知识清单+3 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
恒成立最值转化：∀x ,f ( x)≥0⇔f ( x)min≥0
解答题
12 分
存在性问题：∃x ,f ( x)≥0⇔f ( x)max≥0
解答题
12 分
分离参数恒成立：a≥f ( x)⇔a≥f ( x)max
解答题
12 分
双变量恒成立，导数求最值定参数范围
解答题
12 分
导数单调性、最值证明恒成立不等式
解答题
12 分
存在性速解：∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
填空题
5 分
含参恒成立，分类讨论求最值边界
解答题
12 分
分离参数：a≤f ( x)⇔a≤f ( x)min
解答题
12 分
恒成立与不等式综合，多区间最值求参数
解答题
12 分
恒成立+存在性混搭，双最值嵌套应用
解答题
12 分
存在性参数范围：f ( x)min≤a≤f ( x)max
解答题
12 分
存在性参数范围：f ( x)min≤a≤f ( x)max
解答题
12 分
【知识点01】导数恒成立与存在性问题核心定义
1. 恒成立定义（任意性）
若对于区间 D 内任意一个x，不等式 f ( x)≥a（或 f ( x)≤a）始终成立，则称该不等式在区间 D 上恒成立。符号
语言：∀x∈D。
2. 存在性（能成立/有解）定义
若区间 D 内至少存在一个x，使得不等式 f ( x)≥a（或 f ( x)≤a）成立，则称该不等式在区间 D 上能成立。符号
语言：∃x∈D。
【例1】判断命题：① ∀x∈ℝ, x
2≥0；② ∃x∈ℝ, x +1=0 的真假。
解析：① 对任意实数，平方恒非负，为真命题（恒成立）；
② 存在 x =−1 使等式成立，为真命题（存在性成立）。
【知识点02】恒成立问题等价转化核心公式
已知函数 f ( x) 在区间 D上可导、存在最值，高考通用转化结论：
∀x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)min≥a
∀x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)max≤a
不等式对所有自变量成立，只需函数最苛刻的最值满足条件：大于等于恒成立看最小值，小于等于恒成立看最大值。
【例2】已知 f ( x)=2 x +1，x∈[0,3]，若 f ( x)≥m 恒成立，求 m 的取值范围。
解析：f
'( x)=2>0，函数在 [0,3] 单调递增
f ( x)min= f (0)=1
由恒成立结论：m≤1
即 m∈(−∞,1]
【知识点03】存在性（能成立）问题等价转化核心公式
存在性问题与恒成立问题最值相反，是高考高频易错点：
∃x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)max≥a
∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
核心解读
只需区间内有一个自变量满足不等式即可，大于等于看最大值，小于等于看最小值。
【例3】已知 f ( x)= x
2−1，x∈[1,2]，若 ∃x 使得f ( x)≤k 成立，求 k 范围。
解析：f
'( x)=2 x >0，x∈[1,2] 单调递增
f ( x)min= f (1)=0
存在性条件：k ≥0
即 k ∈[0,+∞)
【知识点04】分离参数法核心原理
1. 原理定义
将含参不等式 F( x ,a)≥0 变形为「参数单独在一侧，函数在另一侧」的形式，将参数范围问题转化为已知函数的最
值问题。
2. 标准结论
a≥f ( x) 在 D 上恒成立 ⇒a≥f ( x)max
a≤f ( x) 在 D 上恒成立 ⇒a≤f ( x)min
a≥f ( x) 在 D 上能成立 ⇒a≥f ( x)min
a≤f ( x) 在 D 上能成立 ⇒a≤f ( x)max
【例4】若 ∀x∈(0,+ ∞)，2 x + 1
x ≥a 恒成立，求 a 的取值范围。
解析：令 f ( x)=2 x + 1
x ，f
'( x)=2−1
x
2
令 f
'( x)=0，得 x =
❑√2
2
x∈(0,
❑√2
2 )递减，x∈(
❑√2
2 ,+ ∞)递增
f ( x)min= f (
❑√2
2 )=2❑√2
故 a≤2❑√2，即 a∈(−∞,2❑√2]
【知识点05】含参恒成立分类讨论核心依据
1. 适用场景
参数无法完全分离、分离后函数复杂、出现分式分母含参等情况，必须采用分类讨论。
2. 高考标准讨论顺序
① 一次项、常数项参数符号；② 二次函数开口方向；③ 判别式正负；④ 极值点零点大小；⑤ 零点与区间位置关系
3. 核心解题逻辑
分类讨论参数范围 → 确定函数单调性 → 求解最值 → 验证恒成立条件 → 合并有效参数范围
【例5】已知 f ( x)=a x
2−2 x，∀x∈[1,2],f ( x)≤0 恒成立，求 a 范围。
解析：① 当a=0 时，f ( x)=−2 x ≤0 在 [1,2] 恒成立，符合条件；
② 当 a>0 时，抛物线开口向上，区间右端点 f (2)= 4 a−4，存在正数，不满足恒成立；
③ 当 a<0 时，开口向下，对称轴 x = 1
a <0，函数在 [1,2] 单调递减，f ( x)max= f (1)=a−2≤0，恒成立；
综上：a∈(−∞,0]
【知识点06】双变量恒成立、存在性混搭核心知识点
设函数 f ( x), g( x) 分别在定义域 D1, D2 上有最值，四类核心等价关系（高考必考）：
1. ∀x1∈D1,∃x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)min≥g( x)min
2. ∃x1∈D1,∀x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)max≥g( x)max
3. ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)min≥g( x)max
4. ∃x1∈D1,∃x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)max≥g( x)min
【例6】已知 f ( x)= x
2，x∈[1,2]；g( x)= x +1，x∈[1,2]，满足 ∀x1,∃x2,f ( x1)≥g( x2)，验证条件。
解析：f ( x)min=1,g( x)min=2
1≥2 不成立，故该命题不成立。
【知识点07】无参数不等式恒成立证明知识点
1. 核心思路
无参数不等式证明 f ( x)> g( x)( x∈D)，核心为构造差值函数。
2. 标准步骤
① 构造 F( x)= f ( x)−g( x)；② 求导分析单调性；③ 求 F( x) 区间最值；④ 证明 F( x)min>0。
【例7】证明：x>0 时，e
x> x +1。
解析：令 F( x)=e
x−x−1( x>0)
F
'( x)=e
x−1，x>0 时 F
'( x)>0
F( x) 在 (0,+∞) 单调递增
F( x)> F(0)=e
0−0−1=0
即 e
x> x +1，得证。
【题型一】利用导数研究不等式恒成立问题
【例1】（2024·陕西·模拟预测）
，有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，求导可得函数的单调性，即可求解最值
，进而
即可.
【详解】由
在
上恒成立，令
，
则
．令
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，
，故
在
上单调递减；
则
，所以
，
故选:C．
【例2】（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
时，
有唯一的零点
B．
时，
存在极小值
C．
时，
存在极大值
D．若
，则
的范围为
【答案】AC
【分析】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当
可判断D.
【详解】对于A，
，
当
时，
，有唯一零点；
当
时，
恒成立，函数
单调递增，
当
时，
，当
时，
，由零点存在定理可得
有唯一的零点，
综上
时，
有唯一的零点，故A 正确；
对于B、C，令
，可得
，
易得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
存在极大值，故B 错误，C 正确；
对于D，因为
，所以
，
由B 选项可得当
，函数取得极大值，此时
，
所以
，故D 错误.
故选：AC.
【例3】（2026·陕西咸阳·二模）已知
，若对于任意
，不等式
恒成立，
则
的取值范围为________.
【答案】
【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数
分离出来，转化为
或
在
上恒成立的形式，因此利用导数法求函数
、
在区间
的最值即可
【详解】左侧不等式：
，整理得
设
，求导得
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增
的最大值在端点处取得，经计算
，
最大值为
，故
右侧不等式：
，整理得：
设
，求导得
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增
最小值在
处：
，故
综上，
的取值范围为
【变式1】已知函数
，
，若
，
恒成立，则实数
k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.
【详解】
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
在
上的最大值是
．
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
上的最小值是
，
若
，
，
恒成立，则
，即
，
所以
，所以实数k 的取值范围是
．
故选:D．
【变式2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
，若
，
，则a 的取值范
围是_________.
【答案】
【分析】按照
，
，
，分类解不等式，通过参变分离求最值即可求解.
【详解】当
时，
恒成立，此时
.
当
时，由
，得
，所以
恒成立，即
.
当
时，由
，得
，即
.
设
（
），则
（
），
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，则
.
综上，a 的取值范围是
.
【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线斜率为1，求实数a 的值；
(2)若
在定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义知函数
在
的导数值是切线的斜率，进而得a 的值；
（2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】（1）函数
的定义域为
.
则
.因为曲线
在
处的切线斜率为1，
所以
，解得
；
（2）函数
的定义域为
.
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，所以
．
【题型二】分离参数法
【例4】（2026·河南·三模）已知关于
的不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对任意的
，
，因为
，令
，
，则问题转
化为对任意的
，
恒成立，构造函数
，
，求导，利用导数分析
的单调性，求出
最大
值即可求解．
【详解】
对任意的
恒成立，即对任意的
，
恒成立，
，
令
，
，
，则对任意的
，
恒成立，
令
，
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，所以
的最小值为
.
【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】利用
将原不等式变形，结合重要不等式
进行求解，推得
，并验证该范围恒成立，
求得实数
的取值范围即可.
【详解】因为
，所以原不等式转化为
，
将
代入，得：
，整理得：
，
设
，则
，令
，可得
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以对任意
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
当
时，
，
不等式变为：
，
因为
，所以必须满足：
，即
，
当
时，原不等式为：
，即：
，
令
，则不等式化为
，显然恒成立，
当且仅当
（即
）时取等号，
当
时，在
（即
）处，左边为
，右边为
，不等式不成立，
所以实数
的取值范围为
.
【例6】（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记函数
的最大值为
，证明：
.（参考数据：
）
【答案】(1)
（或
）
(2)证明见解析
【分析】（1）先分离参数得：
，设
，求函数
的最小值即可.
（2）利用导数讨论函数
的单调性，得出
的最大值
，构造函数
，用导数分析函数单调性，可得
即可.
【详解】（1）由
，得
，
令
，则
，
设
，
，
则
，因为
，所以
.
所以
在
单调递增，
所以
.
所以
时，
，可知
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
故
（或
）.
（2）由
可知，
的定义域为
，
设
，
，所以
在
上单调递减，
，
存在
，使得
，即
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
在
处取得唯一的极大值，也是最大值，.
所以
，
令
，
则
在区间
上单调递增，
故
，
所以
.
【变式1】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知
，函数
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
【答案】D
【分析】由题意函数
恒成立，可得到
为正奇数，讨论
的范围，参变分离转化成恒成立问题，定
义新函数求导求最小值，从而得到
的最大值.
【详解】当
为正偶数时，当
时，
，不合题意，所以
为正奇数，
则当
时，
恒成立，只需研究
时，
恒成立即可，
当
时，
成立，则当
时，
，因为此时
，所以恒成立.
当
时，
恒成立，
设
，则
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，又因为
为正奇数，
所以
的最大值为7.
故选：D
【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范
围是__________.
【答案】
【分析】利用参变分离可得
，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得.
【详解】因为关于
的不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
令
，则
，
令
，则
，
易得
在
上单调递增，
又
，
所以存在
，使得
，即
，
则
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
故
，
所以
在
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
【变式3】（2026·河北保定·三模）已知函数
．
(1)当
时
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若对于任意的
，存在
使得
成立，求实数
的值；
(3)若
有三个不同的零点
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析．
【分析】(1)根据
列出不等式，分离参数，利用
恒成立，则
，求导判断
的单调性和最
值进行计算
的取值范围；
(2)根据题意分析，对于任意的
，存在
使得
成立，可化为两个函数在定义域为
上的值域包含问题，通过讨论
的取值范围判断是否符合题意，从而确定
的取值；
(3)含参函数零点问题可以通过分离参数转化为两个函数图象的交点问题，通过(1)的分析，可确定三个根的取值范围，
从而进行证明．
【详解】（1）因为
当
时恒成立：
当
时，
恒成立；
当
，不等式
恒成立等价于不等式
恒成立；
则
；
令
，则
；
令
，则
；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
；
故a 的取值范围为
．
（2）因为
，令
；
即对任意的
，存在
，使得
，
即
在
上的值域包含
在
上的值域；
因为
，
，故
；
当
时，
，
单调递减，
则
的值域为
；
的值域为
，
因为
的最大值等于
，因此
不可能属于
的值域，
故
在
上的值域不可能包含
在
上的值域，舍去；
当
时，
，
单调递增，则
的值域为
；
的值域为
，则
，
故
且
，解得
，故
；
当
时，令
，解得
；
当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减；
故
，
，
此时
的值域无法包含
的值域，舍去；
综上，
．
（3）证明：由(1)可知，
有三个不同的零点等价于
与
有三个不同的交点；
，求导得：
；
当
时，
，
单调递增，
；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
；则
；
设
，则三个零点满足
，
，
则：对于
：
，
，
，
故
；
则：对于
：
，
，则
，故
，
因为
，故
；
令
，则
，令
，求
的最大值：
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
故
，故
；
对于
：需证
；
因为
，可得：
，
，
作差可得
，则
；
要证
，即证
，即
；
令
，则
，即证
，
即证
时，
；
令
，则
，
故
在
时单调递减，故
，故
；
综上：
．
【点睛】对于含参的问题，常采用分离参数的方法，构造新函数，通过求导研究新函数的性质，从而解决问题．
【题型三】导数与存在性问题
【例7】（2026·湖北·模拟预测）已知
，函数
，若存在
值，使得
对任意
成立，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求
，令
，可得
，则可化为证明
与
仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，构造函数
，题目等价于存在
，使得
，即
，
利用导数即可求出
的最小值.
【详解】
，
，
令
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
当
时，
，画出
大致图像如下：
当
时，
与
仅有一个交点，
令
，则
，且
，
当
时，
，则
，
单调递增，
当
时，
，则
，
单调递减，
为
的极大值点，故
存在唯一的极值点；
，此时
，
，
，
，
，
令
，
，
若存在a，使得
对任意
成立，
等价于存在
，使得
，即
，
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，故
，
实数b 的取值范围
，
的最小值为
.
故选：D
【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）若对于
，都
，使得
成立，则
实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】对已知等式进行变形，根据条件得出
的值域是
的值域的子集，进而得到关于
的不
等式，通过构造函数并分析其单调性来求解
的取值范围.
【详解】
,即
,
对于
，总
等式成立，
即
的值域是
的值域子集．
而函数
在
上时，
，
在
恒成立即可．
|
,
或
.
令
,
.
在
单增，且
,
在
递减，
递增，
.
②令
,
,
令
,
,
令
,
,
函数
在
递减，
递增，
,
,
在
递增，
不恒成立．
综上：
.
故答案为：
.
【例9】已知函数
，
为
的导函数.
(1)讨论
的极值；
(2)若存在
，使得不等式
成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得
，设
，求得
，分
和
，两种情况讨
论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
（2）根据题意转化为存在
，使得
，构造函数
，求得
，分
、
和
，结合函数
的单调性和极值、最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数
，
可得函数
的定义域为
，且
，
设
，则
，
①当
时，可得
，所以
在
上单调递增，所以
没有极值；
②当
时，若
，则
，
在
上单调递减，
若
，则
，
在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，且极小值为
，在
上没有极大值，
综上，当
时，
没有极值；当
时，
的极小值为
，无极大值.
（2）由题意知，存在
，使得
，
即存在
，使得
，
构造函数
，则
，
当
，即
时，
在
上恒成立，
单调递增，
所以
，可得
，与
矛盾，不满足题意；
当
，即
时，若
，则
，
单调递减，
若
，则
，
单调递增，此时
，
由
，可得
，所以
，
因为
，所以不等式
不成立；
当
，即
时，
在
上恒成立，
单调递减，
所以
，可得
，满足题意.
综上，实数a 的取值范围为
.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能
直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存
在性问题的区别．
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知
，若存在
，使得
成立，则实
数
的取值范围是_________.
【答案】
【分析】先用导数证明不等式
，然后对
和
分类讨论，即可得出结果.
【详解】设
，则
，从而当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增，故对任意
有
，即
.
一方面，当
时，由于
，故存在
使得
成立；
另一方面，当
时，由于对任意
都有
（这里用到
，
，
）
，
所以对任意
都有
.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：对于求取值范围问题，本质上就是要确定一个集合，使得命题成立的充要条件是参数属于该集
合. 故本题中我们从两个方面入手，证明了存在
使得
的充要条件是
，即可解决问题.
【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，函数
存在唯一的极值点；
(3)若存在
，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）只需求得
，
即可得解；
（2）只需证明当
时，
存在唯一的变号零点，分离参数，转换为函数图象交点问题即可；
（3）存在
，使得
成立，等价于
，利用导数分析函数单调性，进一步
求得最值即可得解.
【详解】（1）当
时，
，所以
，切点为
．
因为
，所以切线斜率
．
所以切线方程为
，即
．
（2）因为
，所以
；
令
，得
．
要证明当
时，函数
存在唯一的极值点，
即证明当
时，
存在唯一的变号零点，
即证明当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点．
令
，则
．令
，得
．
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
因为当
时，
；
；当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．画出
的大致图象如下：
所以当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点．
由上可知，当
时，函数
存在唯一的极值点．
（3）
对任意
成立，等价于
．
由（2）可知，当
时，直线
与函数
的图象只有一个交点．
令
，则
，且
，
当
时，
，则
，
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
在
上单调递增．
所以当
时，
有唯一的极小值
．
所以
，且
．
所以
，
存在
，使得
成立，等价于
．
设
，则
．
因为
，
当
时，
，
在
单调递增；当
时，
，
在
单调递减．
所以
．
所以
，所以实数b 的取值范围是
．
【变式3】（2026·浙江台州·二模）已知
，函数
.
(1)当
时，求函数
的极小值；
(2)证明：当
时，对任意
，
，都有
；
(3)若存在
，
，
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；
（2）首先应用导数确定
为增函数，再得到
为增函数，利用单调性即可证明；
（3）设
，
，从而得到
能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得.
【详解】（1）由
，得
.
令
，解得
，
，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
.
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
因此，
的极小值为
；
（2）当
时，
，其中
时取等号，
所以
为增函数，
对任意的
，
，不妨设
，则
，
又
，
所以
为增函数，得
，即
，
故
；
（3）由题意，不妨设
，
，
因为
，所以
，
整理得
，
，
令
，
，
.
①当
时，
，
此时
.
②当
时，令
，解得
，
因此，
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，
法一：因为
，
又因为
，得
，即
所以
，
记
，
，
则
，
因为
，所以
，
即
，
因此，当
时，
，
又
，
综上，
，
法二：求
最小值的第二种解法.
令
，因为
，
，所以
，
下证：
，
因为
，
只需证：
，
只需证：
，
令
，则
，
因为
，
所以
，即
恒成立，
因此，
，
令
，则
，对于
，
，
所以
，当且仅当
时，
.
所以a 的取值范围是
.
【解题大招01】恒成立最值判定技巧
核心口诀：恒成立问题，要求区间内全部满足，取最严苛最值
万能公式：∀x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)min≥a
∀x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)max≤a
【例1】已知 ∀x∈[1,3]，f ( x)= x
2−4 x +2≥m 恒成立，求实数 m 的取值范围。
解析：由恒成立技巧可得：m≤f ( x)min( x∈[1,3])
求导：f
'( x)=2 x −4，令 f
'( x)=0，得 x =2
x∈[1,2) 函数单调递减，x∈(2,3] 函数单调递增
极小值 f (2)=−2，端点值 f (1)=−1，f (3)=−1
故 f ( x)min=−2，得 m≤−2
取值范围：m∈(−∞,−2]
【解题大招02】存在性最值判定技巧
核心口诀：存在性问题，只需区间内局部满足，取最宽松最值
万能公式：∃x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)max≥a
∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
【例2】已知 ∃x∈[0,2]，使得 f ( x)= x
2−2 x ≤k 成立，求 k 的取值范围。
解析：由存在性技巧可得：k ≥f ( x)min( x∈[0,2])
求导：f
'( x)=2 x −2，极值点 x =1
f ( x)min= f (1)=−1
故 k ≥−1，取值范围：k ∈[−1,+ ∞)
【解题大招03】分离参数秒杀技巧
技巧精髓：参数单独分离，转化为无参函数求最值，规避复杂分类讨论，适配80%基础、中档题型
解题步骤：移项分离参数→构造单变量函数→导数求最值→锁定参数范围
【例3】∀x∈(0,+ ∞)，x−ln x ≥ax 恒成立，求 a 的取值范围。
解析：由 x>0，分离参数得：a≤1−ln x
x
令 g( x)=1−ln x
x ，则 a≤g( x)min
求导：g
'( x)= ln x−1
x
2
令 g
'( x)=0，得 x =e
x∈(0,e)，g
'( x)<0，函数递减；x∈(e ,+ ∞)，g
'( x)>0，函数递增
g( x)min= g(e)=1−1
e
故 a∈(−∞,1−1
e ]
【解题大招04】含参分类讨论技巧
技巧精髓：参数无法分离时，按「参数正负→极值点位置→区间范围」有序讨论，不重不漏
【例4】f ( x)=ax−1
x ，∀x∈[1,2]，f ( x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围。
解析：由 x∈[1,2]，f ( x)≥0⇒a≥1
x
2，可辅助验证分类结果
求导：f
'( x)=a+ 1
x
2
① a≥0 时，f
'( x)>0，f ( x) 在 [1,2] 单调递增
f ( x)min= f (1)=a−1≥0⇒a≥1
② a<0 时，x→+∞，f ( x)→−∞，不满足恒成立
综上：a∈[1,+∞)
【解题大招05】差值构造证明技巧
技巧精髓：不等式恒成立证明，统一构造差值函数 F( x)= f ( x)−g( x)，转化为证明最值大于等于0
【例5】证明：x>0 时，x>ln ( x +1) 恒成立。
证明：构造差值函数：F( x)= x−ln ( x +1)( x>0)
求导：F
'( x)=1−
1
x +1 =
x
x +1 >0
F( x) 在 (0,+∞) 上单调递增
F( x)> F(0)=0−ln 1=0
即 x>ln ( x +1)，原不等式得证。
【解题大招06】双变量混搭秒杀技巧
技巧精髓：熟记四大固定模型，无需临场推导，直接匹配最值关系
四大模型：∀x1∃x2⇒f min≥gmin,∃x1∀x2⇒f max≥gmax
∀x1∀x2⇒f min≥gmax,∃x1∃x2⇒f max≥gmin
【例6】f ( x)= x
2, x ∈[1,2]，g( x)=2
x , x ∈[0,1]，∀x1∈[1,2],∃x2∈[0,1]，使 f ( x1)≥g( x2)，验证条件。
解析：匹配模型：∀x1∃x2⇒f min≥gmin
f ( x) 单调递增，f min= f (1)=1
g( x) 单调递增，gmin= g(0)=1
1≥1，条件成立。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）“曲线
恒在直线
的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
,设
，利用导数求出函数的最小值，令最小值大于零，得出
的取值范围，
再进行判断即可.
【详解】由曲线
恒在直线
上方，可得
，
设
，则
恒成立，
因为
，所以
在R 上单调递增，且当
时，
，
故当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值即最小值
，
令
，得
.
所以“曲线
恒在直线
的上方”的充要条件是
，故A 错误；
对B：
是
的既不充分也不必要条件，故B 错误；
对C：由
可推出
，但反之不成立，故C 正确；
对D：
是
的既不充分也不必要条件，故D 错误；
故选：C
2．（2026·广东佛山·模拟预测）若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断
的范围.
【详解】因为
，当
时，能够得出
.
设
，
，那么得到
，
.
设
，
.
因为
，
，
，
所以
在
上单调递增，
上单调递减，最大值为
.
因此
.
若
，
对于任意
恒成立.
若
，
，所以
对于任意
恒成立.
综上所述，
.
二、多选题
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式
恒成立，则实数k 的可能取值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
【答案】ACD
【分析】由题知不等式
恒成立，过点
作曲线
的切线，求出两条切线斜率即可得解.
【详解】
由题知，不等式
恒成立，设
，
，
即直线
恒在函数
图象的上方，直线
恒过点
，
，当
时，
，当
时，
，
∴
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
∴当
时，
，
，当
时，
，
在同一坐标系中作出函数
与直线
的图象，
设直线
与函数
的图象相切时切点为
，
，解得
或
；
∴当直线
与函数
的图象相切时切线斜率为2 或
，由图知，
，
故选：ACD．
三、填空题
4．（2026·四川成都·二模）函数
．若
在区间
上恒成立，则整数
的最
小值是__________．
【答案】
【分析】利用特值法判断
成立的必要条件，再根据导数判断函数单调性，即可证明其充分性.
【详解】由
，要使
在区间
上恒成立，则
，
当
时，
，
此时
在
上恒成立，
故
在区间
上单调递增，
此时
，也即
在
上恒成立，
故整数
的最小值为．
5．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数
．若
对任意
恒成立，则实数
的值为_____
【答案】1
【分析】先将不等式整理，构造函数
，通过导数分析其单调性，分
和
讨论；再构造
，求导分析其最值，得到
.
【详解】函数
，所以
对任意
恒成立，
所以
恒成立，所以
恒成立，
令
，所以
，
当
时，
，
单调递增，且
，
所以
，
，不满足题意；
当
时，
，
单调递增，
，
单调递减，
所以当
时，
成立，
令
，
，
当
单调递减，当
，
单调递增，
所以
，
所以当
时，满足
成立，则实数
的值为.
四、解答题
6．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数
，其导函数为
.
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域；
（2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调
递增，最终利用端点处的最大值来确定参数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，则
.
令
，则
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，且
.
所以
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
所以
，所以
的值域为
.
（2）当
时，
，则
恒成立，所以
.
当
时，由
，得
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，则
.
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，故
在
上单调递减，
又
，所以
，故
在
上单调递减.
因为
，
所以存在
，使得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
由于
，于是当
时，
，此时
，
所以
在
上单调递增，
在
上的最大值为
，
所以
，
综上，实数
的取值范围是
.
7．（2026·重庆·模拟预测）设函数
（
）满足
恒成立.
(1)求
的值；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于
，
恒成立即
恒成立，
，从而得到
(必要条件)，然后再验证
当
时，通过导数求得函数
最小值，再证明
（充分条件）；
（2）利用第一问可知
，把不等式转化为证明不等式
.
【详解】（1）由于
，所以，
恒成立即
恒成立，
处取最小值，
，故由
（必要条件）；
验证充分性：当
时，
；令
，得
，
令
，得
，令
，得
；
故
在
上单调递减，
在
上单调递增，
故
，即
恒成立.
综上所述，
（2）由（1）知
恒成立，故
；
又
，
所以，
，
故
，即
.
8．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若存在
，对任意
恒成立，求实数
的最大值.
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）借助导数计算即可得；
（2）令
，
，借助导数计算可得该函数单调递减，则
，结合
的范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知
，
，
令
，得
令
，得
，令
，得
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）令
，可得
，
令
，
，因为
，所以
，
所以
在
单调递减，
要使得对任意的
恒成立，
所以
，即
，
因为存在实数
，使得
成立，
所以
，即
，
所以
的最大值为
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河北·一模）已知函数
，
，若对任意的
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将原式转化为
，以此构造函数
，由题意得
，
参变分离后可得
，由导数计算
的最小值即可求解.
【详解】由题意得
，即
，
设
，则
在
上单调递增，
即
上恒成立，
则
恒成立，即
，
设
，则
，令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以
.
二、多选题
2．（2025·湖南岳阳·二模）已知不等式
在
上恒成立（当且仅当
时等号成立），下列不等式
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】将
替换为
即可判断A，根据
和
，取
即可求解B，取
得
，即可相加求解C，利用放缩法即可求解D.
【详解】对于A，将
替换为
，则
，所以
，所以A 正确；
对于B，由A 可得
，故
，又由题设得
，
故
，即
，故B 正确；
对于C，由A 令
得
，
即
，所以C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据恒成立，构造函数，求解导数，判断单调性，求出函数的最值即可.
【详解】原不等式等价于
恒成立，
设
，
，因为
，所以
，
令
，
，
为增函数，
又
，
，所以存在唯一
，使得
，
即
，
.
当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；
所以
的最小值为
.
实数
的取值范围为
.
故答案为：
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）若
恒成立，则实数a 的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可．
【详解】易知
，
令
，则
，
所以
．当
时，
，
当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
由
，得函数
的最小值为
，
因为
，所以
．
所以实数a 的取值范围为
.
四、解答题
5．（2026·山东滨州·二模）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，根据导数求得函数
，结合题意可得
成立，令
，求导，根据导数计算即可求解.
【详解】（1）若
，则
，
，
则
，
，
所以过点
的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，函数
有最小值，即
，
若存在
，使
，则
成立，
即
，即
，
令
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，函数
有最小值，即
，
所以
在区间
恒成立，
所以函数
在区间
上单调递增，
因为
，
所以当
时，
成立，故
的取值范围为
.
6．已知函数
.
（1）当
时，求
的极值；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求整数a 的最大值.
【答案】（1）
的极大值为
，无极小值；（2）4.
【分析】（1）将
代入，先求导，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可得到答案.
（2）由题意分离参数得
，设
，则所求问题转化为求
，求出
，
结合零点存在定理，得出函数的单调性，得出其最值，再得出其范围，即可求出
的最小整数；
【详解】（1）当
时，
，
定义域为
，注意到
当
时，
单调递增
当
时，
单调递减
∴
的单调递增区间为
，递减区间为
在
时取得极大值且极大值为
，无极小值.
（2）原不等式
恒成立
变形有
即
在
恒成立.
设
原问题等价于
，令
则
，
在
单调递增
由零点存在定理有在存
使
即
当
时，
单调递减
当
时，
单调递增
，利用
，
的最大值为4.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数增减性，分离参数法和构造函数法求解存在性问题，解答本题的关键
是由的导数得出单调性，进一步得出其最值
，利用
，可得
，得出答案，属于难题.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】记
，由
，可知只要
时
恒成立即可，从而将问题转化为
在
恒成立，
令
，结合导数求出
的最值即可求解.
【详解】原不等式等价于
，记
，
注意到
，这说明只要
时
，则当
时也有
.
故下只考虑
时的情况，要使
，
只需
在
恒成立，
令
，
.
因为
，故
，经验证，满足题意.
故选：D
二、填空题
2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式
恒成立，则
的最小值为__________．
【答案】
/
【分析】先利用导数分析函数单调性，由不等式恒成立条件推导出参数
的约束关系，再通过指数与对数的互化，
将目标表达式转化为单变量二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值.
【详解】设
，
，原不等式恒成立，等价于
，
则
，
若
，则
，
在
上单调递减，
当
时，
，不满足
，舍去；
若
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因此，
在
处取得最小值：
，
所以
，即
，则
，
当
时，
，
;
当
时，两边同乘
，可得
，此时
，无最小值；
当
时，两边同乘
，可得
，
设
，
，则
，
当
时，
，
，
综上可得，
的最小值为
.
三、解答题
3．（2026·陕西商洛·二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若函数
存在单调递增区间，求实数
的取值范围；
(3)若
R，对任意的
恒成立，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解；
（2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案；
（3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性
【详解】（1）当
时，
，函数定义域为
故
，
又
，所以切线方程为
.
（2）由题意得
若
不存在单调增区间，则
恒成立，即
恒成立，
令
，
当
时
，当
时
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，所以
即
因此所求实数
的取值范围为
.
（3）由（2）知
所以
在
单调递减，又
，
，
所以必存在正数
，使得
，即
由（2）知当
时，
即
，当
时，
即
，
当
时，
即
，
由上可知
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
所以
，即
，
令
因为
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，
所以
的最小值为
4．（2024·辽宁·一模）已知函数
，
（其中a，b 为实数，且
）
(1)当
时，
恒成立，求b；
(2)当
时，函数
有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，利用导数分类讨论
的最大值；
（2）分离常数转化为关于
的方程
有两个不同的解，设
，利用导数求函数
的极大值
，则
，
当
时，设
，验证有两解即可.
【详解】（1）设
，则其定义域为
，
当
时，
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，对于
恒成立，
即
恒成立，所以
合理．
当
时，令
，即
，
解得
（舍），
当
时，
，
单调递增；
又有
，所以当
时，
，不合题意．
当
时，令
，即
，
解得
（舍），
当
时，
，
单调递减；
又有
，所以当
时，
，不合题意．
综上所述，
．
（2）由题意，方程
有两个不同的解，
即关于
的方程
有两个不同的解，
设
，则
，
设
，由
可知
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以存在
使得
，即
，所以
，
所以当
时，
，即
，进而函数
单调递增；
当
时，
，即
，进而函数
单调递减，
所以函数
的极大值为
要使得关于
的方程
有两个不同的解，则
，
当
时，设
，
则
，可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
所以
有两个不同的零点，符合题意，
所以
的最大整数值为
．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数
能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与
存在性问题的区别．
5．（2026·广东广州·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
有且仅有1 个零点，求
的值；
(3)若存在
，使得
对任意
恒成立，证明：
．
【答案】(1)
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）先求定义域，再对函数
求导，利用导数即可得到单调区间；
（2）由
有且仅有1 个零点，分离参数得到
有且仅有1 个解，令
， 利用
导数得到
的单调性和最小值
，所以
.
（3）由
对任意
恒成立，得到
，则只需证明
即可，利用导数得到
最大值为
.因此
，再令
，得到
时
取得最大值
，因此
，即
，故
得证.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
求导得到
，
令
，则当
时
，
所以
在
内单调递减，且
，
即
在
内单调递减，且
，
所以当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
综上所述，
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）因为
有且仅有1 个零点，
所以方程
有且仅有1 个解，
即
有且仅有1 个解，
令
，
，
则
，
令
，则
，
所以
在区间
上单调递增，
又因为
，
所以当
时，
，即
，
单调递减；
当
时，
，即
，
单调递增；
所以函数
在
处取得极小值也是最小值
，
当
时，
，
时，
，
因为
有且仅有1 个解，
所以
.
（3）因为
对任意
恒成立，
所以
，即
，
因此
，
要证
，只需证明
即可，
对函数求导得到
，
令
，则
，
所以
在区间
单调递减，
即
在区间
单调递减，
存在唯一极大值点
，满足
，即
，
在
内
函数
单调递增，
内
函数
单调递减，
所以当
时取得极大值也是最大值
.
因此
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
时取得最大值
，
因此
，
所以
，所以
，
故
得证.
