文档文本内容
专题08 基本不等式小题（含考点交汇）
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）......................................................4
最新高频经典题（5 题）......................................................7
最新高考真题回顾（5 题）...................................................10
最新模考基础练（5 题）.....................................................13
最新模考能力练（5 题）.....................................................15
最新模考压轴练（5 题）.....................................................18
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2025·湖北黄冈·一模）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】由题可得
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】
.
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
【典例】2．（2025·广东·二模）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】由条件可得
，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，即
，即
，
且
，则
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B
【典例】3．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知
，
，且
，则
的最
小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】A
【分析】由题意
，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，
又
，
，所以
，所以
，当且仅当
，即
，
时等号
成立，
所以
，即
的最小值是4．
故选：A．
【典例】4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，结合函数的单调性可得
，进而可求
的最小值.
【详解】函数
的定义域为
，
可得函数
在
上单调递增，
又
，
由
，得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B.
【典例】5．（2025·辽宁·三模）（多选）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的最大值为
C．若
，则
的最小值为1
D．若
，则
的最大值为
【答案】BCD
【分析】通过消元转化为二次函数求最值判断A 选项,通过平方后用基本不等式判断B 选项,通过变形将
转化为
再利用基本不等式求最值, 变形
，转化为
为整体的一元函数最值问题求解,利用基本不等式或双勾函数
求最值即可.
【详解】由题意得
，A 项错误；
，所以
（当且仅当
时取等号），B 项正
确；
，当
且仅当
时取等号，C 项正确；
，
又因为
，
所以
，
设
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
，D 项正确．
故选:BCD．
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数
，
，
，
，其中
最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数函数单调性可求得
，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，
即可得出结论.
【详解】易知
，所以可得
，
即
；
再由基本不等式可得
，即
；
显然
，即
；
因此可得
，即最小的是.
故选：C
【典例】7．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带
制作
、
两种类型的灯笼，其中
型灯笼每个需要0.5 米彩带，
型灯笼每个需要1 米彩带．活动规定：
两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60 米长的彩带制作
型灯笼
个，
型灯笼
个．若
要使该同学的得分最高，则实数
，
的值分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】依题意可得
，再利用基本不等式计算可得
【详解】依题意
，
且
，即
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，由
，解得
，
故当
，
时该同学的得分最高.
故选：A
【典例】8．（2025·甘肃白银·三模）过点
作直线与圆
相切，斜率的最大值为
，若
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．12
B．9
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出
或
，再应用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设直线的方程为
，圆心
到直线的距离为
，解得
或
，
所以
，所以
，
所以
.
当且仅当
时取最小值
.
故选：A.
【典例】9．（2025·全国·模拟预测）（多选）样本数据0，2，3，
，
，7 的平均数为3，方差为
，
中位数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据平均数计算可判断A；根据基本不等式化简计算可判断B；由方差计算公式列式化简即可判
断C，根据中位数计算公式分类讨论即可判断D.
【详解】对于A，由题意可知
，解得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
当
时，有
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故B 错误；
对于C，方差
，
由
可知，当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
综上所诉，
，故C 正确；
对于D，当
时，样本数据的中位数
，
当
时，设
，由
可知，
，
按照从小到大的顺序排列，中间两个数可以是
或
，
此时中位数
，综上所述，中位数
，故D 正确.
故选：ACD
【典例】10．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）已知
，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．
的最小值为5
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用作差比较法，可判定A 错误；根据基本不等式等腰成立的条件，可判定B 错误；转化为不等
式
，求得不等式的解集，可判定C 正确；化简得
，构成函数
，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，可判定D 正确.
【详解】对于A，由
，
因为
，可得
，所以
，即
，所以A 错误；
对于B，由
，
当且仅当
时，显然不成立，所以B 错误；
对于C，由不等式
两边同除
，可得
，
即
，即
，因为
，解得
，所以C 正确；
对于D，由不等式
，可得
，
即
，构造函数
，
可得
，所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，所以D 正确.
故选：CD.
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（25-26 高三上·山东济南·月考）函数
的图象恒过定点
，
若点
在直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】由对数函数的定点可知点
坐标，将点
坐标代入直线方程，得到
的关系，利用基本不等式
求得结果.
【详解】∵对数函数
经过定点
，
则令
，即
，即点
，
∴
，即
，
∵
，∴
，
∴
，
当且仅当
时，取等号，
∴
的最小值为5.
故选：A.
【典例】12．（25-26 高三上·重庆·月考）若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据
，将原式乘以
，进行化简后，利用基本不等式的性质求出最
小值即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以根据基本不等式的性质可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
取最小值为
.
故选：C.
【典例】13．（25-26 高三上·天津·月考）已知
，
，
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解.
【详解】令
，则
，
则
可转化为
，求
最小值即求
的最小值.
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
因此
的最小值为
.
故答案为：
.
【典例】14．（25-26 高三上·云南曲靖·月考）已知
，
且
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】先将
两边取对数， 运用对数运算法则
，将式子化简为
，
将
运用对数运算法则及换底公式化简为
，运用“1”的代换和基本不等式求出最
小值即可.
【详解】由
，等式两边取对数可得
化简可得：
即
，
，
当且仅当“
”，即
时最值成立；
故
的最小值为
故答案为：
【典例】15．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知
，且
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由题意，根据基本不等式可得
，利用作差法注意检验四个选项，结合指数函数
以及对数函数的单调性，可得答案.
【详解】由
，
，则
，当且仅当
时，等号成立，
对于A，由
，则
，所以
，故A 正确；
对于B，由
，即
，则
，所以
，
由函数
在
上单调递增，且
，即
，则
，
所以
，即
，故B 错误；
对于C，由
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，故C 正确；
对于D，由
，且函数
在
上单调递减，
则
，所以
，故D 错误.
故选：AC.
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
【典例】17．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
【典例】18．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出
不符合题意，
符合题意．
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
【典例】19．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
，借助基本不等式
即
可得到答案．
【详解】由题，
，则
，
所以
（当且仅当
时，等号成立）．
故选：C．
【典例】20．（2021·浙江·高考真题）已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于
的个数的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得
，从而可判断三个代数式不
可能均大于
，再结合特例可得三式中大于
的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
最新模考基础练（
5 题）
21．（2025·陕西汉中·一模）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．25
C．36
D．64
【答案】B
【分析】根据基本不等式可得出关于
的不等式，即可解得
的最小值.
【详解】因为
，所以
，
即
，解得
（
舍去），
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：B.
22．（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当
时，满足
，此时
；
由
，且
，
，得
，当且仅当
时等号成立.
故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A.
23．（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由基本不等式可得：
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
所以
的最大值为
；
故选：B
24．（2025·湖南·一模）已知
依次成等差数列，
依次成等比数列，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】A
【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得
，从而有
，再利
用基本不等式，即可求解.
【详解】
成等差数列，
成等比数列，
所以
，且
，则
，
当且仅当
时取等号，
故选：A.
25．（2025·安徽合肥·三模）已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】由题意得
，
当且仅当
时，即
时，
取得最小值9．
故选：D.
最新模考能力练（
5 题）
26．（25-26 高三上·江西上饶·月考）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】设
，结合基本不等式可得
，再结合
可得
，可得
，
即可求解.
【详解】由题意，
，设
，
则
，当且仅当
时等号成立，
因为
，所以
，解得
，
当
时，
，即
时等号成立，
故
的最大值为2.
故选：B.
27．（2025·浙江台州·一模）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】可利用配凑法与“1 的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【详解】由题可知，
，又因为
,
则
,
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此
的最小值为4，
故
的最小值为3.
故选：D.
28．（2025·四川德阳·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据
，得
，利用基本不等式求得其最小值.
【详解】由
，
，且
，得
.
当且仅当
，即
，即
，或
时，等号成立.
所以，当
，或
时，
取得最小值，最小值为4.
故选：A.
29．（25-26 高三上·河南·月考）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，则得
且
，由
，利用基本不等
式推得
，解不等式即得.
【详解】因
，设
，则
，由
可得
，
则有
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即得
，解得
，即
的最小值为
.
故选：D.
30．（2025·安徽芜湖·模拟预测）（多选）已知
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为3
D．
【答案】BD
【分析】利用基本不等式即可判断AB；C 利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D 构造函数
，通过求导研究其单调性.
【详解】对于A，
，则
，等号成立时
，
因
，则
，故A 错误；
对于B，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，这与已知
不符合，故等号不成立，故C 错误；
对于D，
，
设
，求导得
，
则
在
上单调递减，则
，即
，
所以
，所以
，故D 正确．
故选：BD．
最新模考压轴练（
5 题）
31．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】对
进行变形，结合
，运用基本不等式计算即可.
【详解】
,
由于
，
当且仅当
，即
取等号.
则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对
进行变形，然后结合
进行配凑放缩，即
可求出最值.
32．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知
均为正实数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质，利用已知条件
结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断．
【详解】选项A：
，当且仅当
时取等号，
又
，
，
均为正实数，
，即
，当且仅当
时取等号，故A 正确；
选项B：
，
，
，当且仅当
，即
时，
，
而
，故B 错误；
选项C：
，令
，则
，等式成立，此时
，故C
错误；
选项D：
，
，变形可得
，
设
，则
，故
同号，
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立；
当
时，
，
，则
，与
矛盾，故
不
符合题意.
，当且仅当
时等号成立，故D 正确．
故选：
．
33．（2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，设
，得到
，结合条件得到
，根据
求出
；D 选项，由
，结合条件得到
；B 选项，先得到
，由D 知，
，故
，求出
；C 选项，
，
，
等号成立的条件均为
，故
.
【详解】A，正实数
，
满足
，
设
，则
，
因为
，所以
，整理得
，
将其看作关于
的一元二次方程，则
，解得
，故
，A 正确；
D，因为
，所以
，故
，
又
，故
，即
，
，
当且仅当
时，等号成立，D 正确；
B，因为
，所以
，由D 知
，故
，
当且仅当
时，等号成立，解得
，故
，B 错误；
C，通过以上分析得
，
，等号成立的条件均为
，
故
，当且仅当
时，等号成立，C 正确.
故选：ACD
34．（2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式计算可得A 正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B 正确，将表达式
化简计算可得
，解不等式可得
，即可得C 错误，D 正确.
【详解】对于A，由
可得
，
因此
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，即A 正确；
对于B，将表达式
化简可得
，
将方程参数化可知
，
；
所以
，其中
；
又
，所以
，可得B 正确；
对于C，由
可得
，
即
，
因此
，解得
，
当且仅当
时，等号成立，即C 错误，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：在求解
的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式
计算即可得出结论.
35．（2025·四川成都·一模）在锐角
中，若
，则
的最小值是
【答案】8
【分析】由
可得
，在
中，利用和角的正切公式化简推出
，于是得到
，再利用基本不等式即
可推得
，从而得到
的最小值.
【详解】由
，得
，
因为
为锐角三角形，所以
均大于0，
所以
，
又
，
所以
，
解得
，当且仅当
，即
，即
时取
等号，解得
或
，
所以
的最小值是8.
故答案为：8.
