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专题 02 基本不等式求最值
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题型01 配凑法..............................................................................1
题型02 常数代换法..........................................................................2
题型03 变形后常数代换法....................................................................3
题型04 消元法..............................................................................3
题型05 齐次化求最值........................................................................4
题型06 双换元法............................................................................4
题型07 与其他知识点交汇....................................................................5
题型 01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题 ，命题 ，则
（ ）
A．命题 与 均为真命题
B．命题 与 均为真命题
C．命题 与 均为真命题D．命题 与 均为真命题
3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
题型 02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
利用常数 代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多
称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1） 求
（2） 求
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若 ，且 则 的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
3．（24-25高三上·重庆·期中）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．124．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．2 C．9 D．8
题型 03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如 ，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
2、形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
3．（2024·河北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．13 B． C．14 D．
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）A．12 B． C．16 D．
题型 04 消元法
【解题规律·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知 ， 为正实数且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
题型 05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有 等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量
型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在 处取最小值，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为 .题型 06 双换元法
【解题规律·提分快招】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·湖北·一模）已知实数 满足 ，则 最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数 满足 且 ，则 的最小值为
4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数 、 满足 ，则 的最小值为 ．
题型 07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知 三点不共线，点 不在平面 内，
，若 四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为
，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点 是 的中线 上一点（不包含端点）且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最小值是
三、填空题
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，当 取最
小值时， .
5．（2024·河南新乡·一模）在 中，角 的对边分别为 ， 的面积
，则 的最小值为 ，此时 的周长为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ，若 ， 且
，则 的最小值为 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
若 且 ， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 满足 ， ，且 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三·全国·专题练习）设 均为正实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
14．（2024高三·全国·专题练习）对任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数 、 满足 ，则 的最小值为 ．
18．（2024高三·全国·专题练习）已知点 为 的重心， 分别为 ， 边上一点， ， ，
三点共线， 为 的中点，若 ，则 ； 的最小值为 .
19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形 的周长为24，将 沿 向
折叠，AB折过去后与DC交于点P．设 ，则 （用x表示），当
的面积最大时， ．
20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小
值为 ．
21．（2024·湖北·一模）已知正实数 满足 ，则 的最大值为 .
