第18 讲 函数的综合应用 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：函数与数列的综合..................................................................................................3
考点二：函数与不等式的综合..............................................................................................5
考点三：函数中的创新题......................................................................................................9
考点四：最大值的最小值问题............................................................................................14
考点五：函数特定方程与区间问题....................................................................................15
考点六：函数的图象变换....................................................................................................16
考点七：V 型函数与平底函数.............................................................................................17
四、高考真题....................................................................................................................................18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年
份
题号与题型
分
值
考察
类型
考察内容与方式
202
6
6（单选）、19（解答）
22
分
直接
结合导数求函数最值、基于新定义判断抽
象函数性质并证明单调性
202
6
4（单选）
5
分
间接
利用导数求切线方程
202
5
8（单选）、19（解答）
22
分
直接
构造函数比较对数与多项式大小、结合导
数求最值与证明三角不等式
202
5
5（单选）
5
分
间接
利用函数的周期性与奇偶性求值
202
4
6（单选）、8（单
选）、10（多选）、18
（解答）
33
分
直接
分段函数单调性求参、抽象函数递推推
理、导数研究函数性质、新定义“金字塔
函数”综合探究
202
4
13（填空）
5
分
间接
利用导数求公切线方程并求解参数
近三年高考对函数的综合应用考查频次极高，分值占比大.常以客观题压轴或解答题
压轴的形式出现，既有直接考查构造函数、新定义探究，也有与导数、不等式等知识的深
度交汇.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性的综合运用，以及基
于导数工具的极值、最值求解与不等式证明.
· 命题趋势：创新题型（如新定义函数、抽象函数方程）频繁出现，对学生的阅读理
解能力和即时学习转化能力要求不断提高.
· 试题特点：综合性强，常将函数与方程、不等式、数列等模块深度融合，注重考查
化归与转化、数形结合等核心数学思想.
3. 备考策略
· 夯实函数基础性质，熟练掌握利用导数工具研究函数单调性、极值与最值的标准流
程.
· 强化构造函数解题的意识，面对复杂方程或不等式时，能够敏锐地分离变量或提取
同构特征.
· 针对新定义与创新题，加强阅读理解训练，学会将陌生概念翻译为熟悉的数学语言
（如对称性、单调性等）.
二、知识清单
1. 函数 f ( x)=∑
i=1
n
| x -ai| 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 f ( x)=| x|+| x -1|+| x -3|，图（2）函数
g( x)=| x|+| x -1|+| x -2|+| x +1|
· 当 n 为奇数时，函数 f ( x)=∑
i=1
n
| x -ai| 的图象是一个“∨”型，且在“最中间的
点”取最小值；
· 当 n 为偶数时，函数 f ( x)=∑
i=1
n
| x -ai| 的图象是一个平底型，且在“最中间水平
线段”取最小值；
若 ai(i∈N
*) 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 x =a中 对称，偶数的图象关
于直线 x = x左中+ x右中
2
对称.
2. 若 f ( x) 为 [m,n] 上的连续单峰函数，且 f (m)= f (n)，x0 为极值点，则当 k ,b
变化时，g( x)=|f ( x)-kx -b| 的最大值的最小值为 |f (n)- f ( x0)|
2
，当且仅当
k =0,b= f (n)+ f ( x0)
2
时取得.
三、典题精练
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
例1.已知函数f ( x)=e
x - x -1，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1= 1
2，an+1= f (an)，则下列
有关数列{an}的叙述正确的是（ ）
A. a5<|4 a2-3a1|
B. a7≤a8
C. a10>1
D. S100>26
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
例2.（2026·江西五市·三月）（多选）若f ( x)=( x -1)
2-2ln 2- x
x
+1，数列{an}的前n项和为
Sn，且S1= 1
10，2Sn=nan+1，则下列说法正确的是（ ）
A. f ( x)关于点(1,1)成中心对称
B. 数列{an}是等差数列
C. ∑
i=1
19
f (ai)=19
D. 数列{an}的通项公式为an= n
5
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
例3.（2026·山东济宁·二模）已知实数a>0，设函数f ( x)=e
ax +1cos x.
（1） 若a=1，讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 若x∈(0, π
2 )，证明：函数f ( x)有唯一极大值点x0，且asin 2 x0>e
- 1
a；
（3） 记函数f ( x)在(0,+∞)内的从小到大的第n(n∈N
*)个极值点为xn，判断数列{f ( xn)}
是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
【考点一 方法总结】
· 处理函数迭代生成的数列问题，核心在于研究函数图象与直线y = x的相对位置关
系，利用单调性确定数列的增减性，并结合有界性进行放缩求和.
· 当遇到复杂对数型或分式型函数求和时，优先检验函数的奇偶性或对称性.若存在
对称中心，则可将求和项首尾配对，转化为常数求和.
· 证明含有极值点的不等式时，通常利用极值点满足的导数为零的条件进行代换
（即“极值点偏移”或“隐零点”代换），将超越式转化为多项式或单变量函数，再利用
单调性证明.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
例4.（2025·河北名校·一模）（多选）已知函数f ( x)的定义域为R，且∀x , y ∈R，
f ( x)f ( y )= f ( xy )+ x
2 y
2( x
2+ y
2)，则（ ）
A. f （0）=0
B. f ( x + 1
x )>f (2sin x)
C. 函数g( x)= f ( x)
x
2 的值域为[1,+ ∞)
D. 关于x的方程|
f ( x)
x
3 |+ x - ln| x|-3=0有且仅有一个实数根
考法5：构造函数比较大小或解不等式
例5.（2026·河北名校·一模）（多选）设x>0且x≠1，y >0，若x ln y = x
2-1，则下列大小关
系可能成立的有（ ）
A. x
2< y
B. logx
2 y <1
C. x
2> y
D. logx
2 y >1
考法6：双变量不等式恒成立求参数
例6.（2026·安徽合肥·三模）已知函数f ( x)=( x +k )ln x -e( x -1)，k ∈R.
（1） 当k =0时，求f ( x)的单调递减区间；
（2） 若在区间(e ,+ ∞)上，f ( x)为增函数，求k的取值范围；
（3） 若x>1时，f ( x)的最小值为0，求k.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
例7.（2026·浙江Z20·三诊）已知函数f ( x)= x +a
e
x (a∈R).
（1） 当a=1时，求函数f ( x)的最值；
（2） 讨论方程f ( x)= f (- x)的解的个数；
（3） 若方程f ( x)= f (- x)存在两个解x1, x2，且满足x1<0< x2，证明：|f
'( x1)|>|f
'( x2)|.
考法8：函数交点与面积最值
例8.（2026·师大附中·一模）已知O为坐标原点，函数y =e
x与函数y =kx +2的图象有两个不
同的交点A ,B，当S△AOB取最小值时，k =＿＿＿＿＿＿.
【考点二 方法总结】
· 处理抽象函数方程，赋值法是探路先锋.求出解析式后，将其转化为具体函数的性
质研究，利用导数分析单调性与极值，是解决零点与不等式问题的通用手段.
· 比较双变量代数式大小时，若已知条件为等式，常通过代数变形将两变量分离至
等号两侧，构造形式相同的函数，利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关
系.
· 处理含参函数的单调性与极值问题，分类讨论是核心.讨论的标准通常是导函数的
零点是否存在，以及零点与定义域区间的相对位置关系.
· 研究方程解的个数或证明不等式，常将问题转化为两个函数图象的交点问题.通过
构造差函数，利用导数确定其单调性与极值，进而判断零点分布.
· 在函数图象交点与几何图形面积综合题中，将面积表示为单变量函数是关键.若直
接求导困难，可考虑利用方程组的结构特征进行隐函数求导，寻找极值点.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
例9.（2026·合肥一六八·一模）已知函数f ( x)= log2 x.
（1） 若函数y = f (ax -3a+1)在区间[2,4 ]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2） 若h( x)= f (-1+
2
1- x )，且h(2m-1)+h(- 2
3 )<0，求实数m的取值范围.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
例10.（2024·深圳光明·五月）（多选）已知函数f ( x)是定义域为R的可导函数，
g( x)= f ( x)-2 x. 若f ( x)是奇函数，且g( x)的图象关于直线x =1对称，则（ ）
A. f （2）=2
B. 曲线y = f ( x)在点(1,f （1）)处的切线的斜率为2
C.
g
'(4 + x)= g
'( x)（g
'( x)是g( x)的导函数）
D. f ( x)的图象关于点(2,2)对称
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
例11.（2026·金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义
域内的任意x1，x2，当x1< x2时，都有f ( x1)≤f ( x2)，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列选
项中，不是“阶梯形函数”的是（ ）
A. f ( x)=[ x ]（不超过x的最大整数）
B. f ( x)=-
1
e
x+1
C. f ( x)= x +cos x
D. f ( x)= x
3+sin x
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
例12.（2026·山东日照·二模）已知函数y = f ( x)定义域为I，D⊆I. 若存在t ∈D，对任意
x∈D，当x<t时，都有f ( x)<f (t )，则称t为y = f ( x)在D上的“凸点”.
（1） 求函数y = 1
3 x
3-2 x
2+3 x在[0,5]上的最大“凸点”；
（2） 若函数f ( x)=(2+ax)ln(1+ x)-2 x在[0,2]上不存在“凸点”，求a的取值范围；
（3） 设D ={1,2,⋯,m}(m∈N
*)，且f （1）=0，f ( x)- f ( x -1)≤1，证明：y = f ( x)在D
上的“凸点”个数不小于f (m).
【考点三 方法总结】
· 研究复合函数的单调性，必须严格遵循“同增异减”法则，同时不可忽视内层函
数的值域必须满足外层函数的定义域这一隐含条件.
· 抽象函数的对称性推导依赖于代数恒等式的灵活变形.若f (a+ x)= f (b- x)，则关
于直线x = a+b
2 对称；若f (a+ x)+ f (b- x)=c，则关于点( a+b
2
, c
2 )中心对称.
· 破解新定义问题，首要是将陌生定义“翻译”为熟悉的数学语言.如“夹在两条平
行直线之间”实质上是要求函数f ( x)-kx具有有界性.
· 新定义往往是对某种已知性质的重新包装.“凸点”本质上是对函数局部最大值或
单调递增区间的刻画.结合导数工具精确划分单调区间是解题基础.
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
例13.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在(-∞,+∞)上的函数y = f ( x)，其导函数为f
'( x)，
对∀x∈(-∞,+∞)，满足f
'( x)=2f ( x)+e
2 x，f （1）=e
2，点A ,B分别为曲线y = f ( x)和直
线x - y -1=0上的动点，则| AB|的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
例14.已知函数f ( x)=|
x -2
x +2 -ax -b|，若对任意的实数a,b，总存在x0∈[-1,2]，使得
f ( x0)≥m成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. (-∞, 1
4 ]
B. (-∞, 1
2 ]
C. (-∞, 2
3 ]
D. (-∞,1]
【考点四 方法总结】
· 遇到形如根号下平方和的代数式，应敏锐地联想到两点间距离公式或点到直线的
距离公式.通过构造几何模型，利用数形结合化繁为简.
· 处理“最大值中的最小值”这类双层最值问题，数形结合是最高效的手段.通常固
定一个函数图象，平移或旋转另一个函数图象，在相切或对称的临界位置寻找最优解.
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
例15.函数f ( x)的定义域为D，若满足：①f ( x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使得
f ( x)在[a,b]上的值域为[ a
2 , b
2 ]，则称函数f ( x)为“成功函数”. 若函数f ( x)= logm(m
x+2t )
（其中m>0，且m≠1）是“成功函数”，则实数t的取值范围为（ ）
A. (0,+ ∞)
B. (-∞, 1
8 ]
C. [ 1
8 , 1
4 )
D. (0, 1
8 )
考法16：根据函数不动点求参数
例16.若存在一个实数t，使得F(t )=t成立，则称t为函数F( x)的一个不动点. 设函数
g( x)=e
x+(1- ❑√e)x -a(a∈R ,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数f ( x)满足
f (- x)+ f ( x)= x
2，且当x ≤0时，f
'( x)< x. 若存在x0∈{x∣f ( x)+ 1
2 ≥f (1- x)+ x}，且x0为函
数g( x)的一个不动点，求实数a的取值范围.
【考点五 方法总结】
· 当已知函数在某区间上的值域时，若函数单调，可直接利用端点值列方程组；若
不单调，则需结合极值点列式.换元法是处理指数型方程的常用技巧.
· 函数的不动点问题即方程f ( x)= x的解的问题.当涉及参数时，参数分离法结合导
数求值域是最稳妥的通法.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
例17.将函数f ( x)= ln( x +1)( x ≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α ])，得到
曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为
（ ）
A. π
B. π
2
C. π
3
D. π
4
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
例18.定义域为R的函数f ( x)满足f ( x +2)=2f ( x)-1，当x∈[0,2)时，
f ( x)={
x
2- x , x∈(0,1)
1
x , x∈[1,2) . 若x∈(0,4 ]时，t
2- 7t
2 ≤f ( x)≤3-t恒成立，则实数t的取值范围是
（ ）
A. [1,2]
B. [1, 5
2 ]
C. [ 1
2 ,2]
D. [2, 5
2 ]
【考点六 方法总结】
· 函数图象的旋转变换问题，核心在于理解“仍为函数图象”的几何意义，即任意
垂直于x轴的直线与图象至多有一个交点，这等价于切线倾斜角的范围限制.
· 处理分段周期或递推函数，关键是利用递推式将未知区间上的函数值转化为已知
区间上的函数值.求出各段极值后，取全局最值解不等式.
考点七：V 型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
例19.（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)=|2
x -m|在[1,2]上单调，则m的取值范围是（
）
A. (0,2]
B. [ 4 ,+ ∞)
C. (-∞,2]∪[ 4 ,+∞) D.
(0,2]∪[ 4 ,+∞)
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
例20.已知a1,a2,a3与b1,b2,b3是6个不同的实数，若关于x的方程
| x -a1|+| x -a2|+| x -a3|=| x -b1|+| x -b2|+| x -b3|解集A是有限集，则集合A中，最
多有＿＿＿＿＿＿个元素.
【考点七 方法总结】
· 含绝对值函数的单调性问题，零点分段法是根本.剥离绝对值后，确保各分段区间
内的单调性一致，且在分界点处满足单调性的衔接要求.
· 多个绝对值相加减构成的函数，其图象必然是折线.分析最外侧射线的斜率与走势，
以及折点的相对位置，是判断此类函数图象交点个数的捷径.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a的最大值为1，则a=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
2.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)的定义域为R，且当x<0时，f ( x)=2
x. 对任意x0∈R，
定义集合D( x0)={d ∈R∣f ( x0+d )>f ( x0)}.
（1）若当x ≥0时，f ( x)=1- x，求D(-1)；
（2）若f ( x)是奇函数，f ( x1)≤f ( x2)，且x1 x2≠0，证明：D( x2)⊆D( x1)；
（3）设f ( x)满足：①若f ( x1)≤f ( x2)，则D( x2)⊆D( x1)；②当0< x<1时，f ( x)<f （0）.
（i）证明：f （0）≥1；
（ii）证明：f ( x)在区间(0,+ ∞)单调递增.
3.（2025·全国一卷）若实数x , y , z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x , y , z的大小关系
不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
4.（2025·全国一卷）
（1）设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
（2）给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值.
5.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
6.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x -1)+ f ( x -2)，且当x<3时
f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. f （10）>100
B. f （20）>1000
C. f （10）<1000
D. f （20）<10000
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则（ ）
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
8.（2024·全国一卷）若函数φ( x)的图象关于直线x =1对称，且φ( x)存在唯一的极值点，则
称φ( x)为“金字塔函数”.
（1）请判断函数h( x)= 1
4 x
4- 1
3 x
3+ 1
2 x
2- x是否为“金字塔函数”.（无需说明理由）
（2）证明：当n∈N
*时，函数g( x)=
1
( x
2-2 x +2)
n+1恒为“金字塔函数”.
（3）已知函数f ( x)=e
x+e
2- x+a x
2+bx -a(a≠0)为“金字塔函数”，求a的取值范围.
9.（2026·全国一卷）曲线y =5 x +8ln x在点(1,5)处的切线方程为（ ）
A. y =3 x +2
B. y =5 x
C. y =8 x -3
D. y =13 x -8
10.（2025·全国一卷）设f ( x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x ≤3时，f ( x)=5-2 x，
则f (- 3
4 )=（ ）
A. - 1
2
B. - 1
4
C. 1
4
D. 1
2
11.（2024·全国一卷）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，
则a=＿＿＿＿＿＿.
