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压轴专题05：平面向量的几何代数化与等和线、极化恒等式、
奔驰定理破解难题
压轴分析
高考数学中，平面向量压轴题的难点，很少在于单一的数量积或坐标运算，而在于 “几何关系”
与“代数运算”之间的双向转化与灵活选择。真正的压轴难点在于，题目往往给出一个复杂的几何
图形和模糊的条件（如“点在直线某侧”、“取得最值”），要求学生自行判断使用何种向量工具
进行建模和简化。命题人常通过以下方式设置障碍：隐藏的等量关系：图形中隐藏着共线、垂直、
等模或定比分点关系，需要学生自行发掘并翻译为向量等式。
最值的多路径性：同一最值问题，可能通过坐标法、基底法、等和线或极化恒等式等多种路径求
解，选择不当则计算量陡增。
几何意义的识别困难：如数量积可能代表投影长度与模的积，也可能代表极化恒等式下的中线与对
边关系，能否快速识别其几何意义是破题关键。
其核心是检验学生能否打破“向量就是算坐标”的思维定式，建立“见向量，先观图；析关系，再
择法”的解题习惯。
解题的关键在于建立“几何翻译—模型匹配—代数执行”的三步思维链：
几何翻译 (核心破局)：审题后第一件事是精确作图，在图上标出所有已知点、向量和关系。将文
字描述（如“重心”、“垂心”、“点在动直线上”）转化为具体的向量表达式或等量关系。
模型匹配 (智慧选择)：根据图形特征和所求目标，迅速匹配最合适的向量模型：
图形规则或有明显垂直 → 优先考虑建系坐标法。
图形不规则或已知线段比例 → 优先考虑基底分解法（选好不共线基底）。
求向量线性表示系数的和或差的取值范围 → 立即想到等和（差）线模型。
数量积的最值或范围，且涉及定点与动点 → 优先尝试极化恒等式，化动为静。
涉及三角形内部点与面积比 → 考虑奔驰定理（向量形式）进行快速转化。
代数执行 (严谨计算)：选定模型后，进行精确的代数推导或计算，最后务必回归几何意义检验结
果的合理性。
掌握“以图导算，以算释形”的思想路径，在面对复杂的向量综合题时，方能从纷繁的图形和条件
中，精准定位解题的“钥匙”，实现高效、准确的破解。
知识总结
1. 平面向量的系数和（等和线）（等值线）
如图，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称
点
，由（i）的分析知：存在存在
使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相
似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径
之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，
过
作
边的垂线
，设点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因此只需求出
的范围便知
的范围
2. 极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形
中,
则
在上述图形中设平行四边形
对角线交于
点, 则对于三角形来说:
3. 奔驰定理
如图，已知P 为
内一点，则有
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长
与
边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论
是
内的一点,且
,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到
对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边
垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，
三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外
接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”
相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点
在
内部，有以下四个推论：
①若
为
的重心，则
；
②若
为
的外心，则
；或
③若
为
的内心，则
；备注：若
为
的内心，则
也对.
④若
为
的垂心，则
，或
4. 投影法
如图，
对于
，其中
是
在
上的投影，
在Rt△PBH 中
，故
，
考虑到
可能为钝角，故写成
.
5. 向量矩形法
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下
两个重要的向量关系：①
；②
.
证明：①连接
，根据极化恒等式
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积相等.
典例精讲
【典例1】
（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）（多选）设向量
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
与
的夹角小于
，则
B．
的最小值为
C．与
共线的单位向量只有一个，为
D．
时，
在
上的投影向量为
会一题通一类
1．（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）已知向量
，
，
，
，
，则
下列说法正确的是（ ）
A．存在
，
使得
B．任意正数a，b，
与
不共线
C．若
，则
D．若
，则
【典例2】
（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·浙江丽水·一模）已知平面向量
满足
，则
的最大值是 ．
2．（2025·四川资阳·一模）已知向量
，
，满足
，
，
，向量
与
的夹角为
，则
的最小值是 .
3．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量
，
，满足
，
，
，若对于任
意的向量
，均有
的最小值为
，则
的取值范围是 ．
4．（2025·湖南长沙·一模）已知动直线与圆
相切，并与圆
相交于点
，点
为抛物线
上一动点，
为坐标原点，则
的取值范围为 .
【典例3】
（2025·北京海淀·一模）已知向量
，
，则
的最大值为 ；
与
的夹角的
取值范围是 ．
会一题通一类
1．（2025·山东青岛·二模）平面向量满足
，
，则
的最小值为
.
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量
，
（
），记
与
的夹角是
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川遂宁·二模）若点
为
的外心，且满足
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】
（24-25 高三上·四川·期中）点P 在边长为1 的正三角形
的外接圆上，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（24-25 高一下·河南南阳·期中）已知正三角形
的边长为
，点
，
都在边
上，且
，
，
为线段
上一点，
为线段
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
2．（2025·北京海淀·三模）已知
为等腰直角三角形，
为直角，直角边长为2，点P 在三角形
所在平面上，向量
为单位向量，点D 满足
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．
C．5
D．6
3．（2025·安徽·模拟预测）向量
与
在
上的投影向量均为
，
，当
最
大时，则
（ ）
A．
B．6
C．12
D．16
【典例5】
如图，在
中，
，
，D，F 分别为
，
的中点，P 为
与
的交点，且
．
若
，则
；若
，
，
，则
．
会一题通一类
1．（2025·江苏·三模）设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别是与
、
同向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.已知在如图所示的
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，且
，点
、
、
分别为
、
、
的中点，则
的最大值为 .
2．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，
内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探
究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，
，点P 在线段CH 上，且
，
则
的值为 ；若点Q 为线段CD 上的动点，则
的最小值为 ．
【典例6】
（多选）如图，
中，
，点E 在线段AC 上，AD 与BE 交于点F，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（24-25 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在等腰梯形
中，E 为腰
的中点，
，
，N 是梯形
内（包含边界）任意一点，
与
交于点O，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为0
D．
的最大值为
【典例7】
（2025 高三·全国·专题练习）（多选）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为
，如
图所示，点C 在以O 为圆心的劣弧
上运动，若
，则
的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
会一题通一类
1．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在
中，
，点
在以
为直径的
半圆（
外）内及边界上运动，若
，记
的最大值与最小值分别为
，则
.
2．（2025·湖北黄冈·二模）（多选）设平面向量
的夹角为
，若
，
且
，则（ ）
A．当
时，
三点共线
B．当
时，
平分
C．当
时，
的最大值为2
D．当
时，
的取值范围为
热点预测
1．（2025·广东茂名·一模）向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹
角最大时，
（ ）
A．8
B．5
C．
D．
2．（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知平面向量
，且
，向量
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江金华·一模）设
为两个非零向量
所成的角，已知对任意
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（2025·吉林松原·模拟预测）在菱形
中，
分别是边
的中点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·新疆·模拟预测）已知点P 是圆
上的一点，过点P 作圆M：
的切线，切点分别为A，B，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．6
6．（2025·广东佛山·一模）（多选）在
中，
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
7．（24-25 高三上·海南·月考）（多选）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
为
平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若
为斜三角形，则
B．若
，则
为
的内心
C．已知
中，
，
，
，
为
的外心，若
，则
的值
为
D．在
中，
，
，若
与线段
交于点
，且满足
，
，
则
的最大值为
8．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
9．（2025·湖南长沙·三模）已知向量
，则当
取得最大值时，
．
10．（2025·天津河北·二模）如图，在
中，点D，E 在边BC 上，且
，点F，M 分
别在线段AB，AD 上，且
，直线FM 交AE 于点G，且
，则
．
若直线MC 交AE 于点N 且
是边长为1 的等边三角形，则
．
模拟训练
一、单选题
11．（2025·河南·一模）已知
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
12．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
是
的右支上一点，
在
轴上的射影为
，
为坐标原点.若
，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·山东聊城·模拟预测）已知
为坐标原点，
与
为单位向量，
，
在定直线
上，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·湖南·三模）过点
作一直线与抛物线
交于
，
两点，若抛物线
在
，
两点处的切线交于点
，且点
满足
，则
的值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
15．（2025·重庆九龙坡·三模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
,
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
为
图象与
轴交点且满足
为等边三角形，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
17．（2025·四川广安·模拟预测）已知在
中，角
，边
.点
在线段
上满足
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·河北·模拟预测）在边长为2 的等边
中，点
为
内切圆上一点，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
19．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量
满足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，
图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形
的边长
为4，P 是正八边形
边上任意一点，则以下结论正确的个数是（ ）
①
的最大值为
②
在
方向上的投影向量为
③
④若函数
，则函数
的最小值为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
二、多选题
21．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥
中，给定下列四个条件：①
；
②
；③
；④
.下列组合
条件中，一定能断定三棱锥
是正三棱锥的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
22．（2025·山东·模拟预测）在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线长度之比为
的菱形称
为“白银菱形”．如图，在白银菱形
内，有三个全等的小白银菱形
．若
，则（ ）
A．
与
共线
B．
C．
D．
23．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）已知
，
与
夹角为
，若
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上的投影向量为
B．当
时，
C．当
时，
D．
的最大值为0
24．（24-25 高一上·辽宁大连·期末）如图，已知
分别是
边
上的点，且满足
，
，
与
交于
，连接
并延长交
于
点．若
，则实数
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
25．（23-24 高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：如图所示，已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
则
三、填空题
26．（2025·江苏盐城·三模）如图，将边长为1 的正五边形
的各边延长，得到一个正五角星.若
点
在正五角星的内部（含边界），则
的最小值为 .
27．（2025·河南·二模）已知点
在抛物线
上，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
，
，则
的最小值为 .
28．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知圆
和定点
，若点P、Q 分别为圆O 外和圆O
上两点，且满足
，
，则
的最小值为 ．
29．（2025·天津河西·模拟预测）已知
是边长2 为正三角形，
是
的中心，过点
的动直
线交
于点
，交
于点
，设
，
，
，
，则
；
的最小值为 ．
30．（2025·四川南充·一模）在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满足
，则
的最大值为 ．
