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专题32 因式分解的应用（和拼图有关）
1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
2．我们已经知道，乘法公式可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释其正确性，实际上还有很多
代数恒等式也可用这种形式说明其正确性．例如图1可以用来解释：2a(a+b)=2a2+2ab．
（1）试写出图2所表示的代数恒等式： ；
（2）试在图3的方框内画出一个平面图形，使它的面积能表示： (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．
3．阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表
示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)
(a+b)=a2+3ab+2b2．
（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；
（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间
不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是
________________________．4．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大
正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画
出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=_____________
(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长
方形，可得到恒等式_____________
(3)如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长
（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．A．xy = B．x+y=m C．x2－y2=m·n D．x2+y2 =
5．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以
用来解释 ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进
行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 的大正方形，两
块是边长都为 的小正方形，五块是长为 ，宽为 的全等小长方形，且 ．（以上长度单位：
）
（1）观察图形，可以发现代数式 可以分解因式为_________
（2）若每块小长方形的面积为 ，四个正方形的面积和为 试求图中所有裁剪线（虚线
部分）长之和．
6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2
+2ab + b2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C．（1）根据图B完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大
正方形，则这个大正方形的边长为 ；
（3）现要拼出一个面积为 的长方形，则需要 号卡片 张， 号卡片 张，
号卡片 张．
（4）比较图A中的两个正方形面积之和 与两个长方形面积之和 的大小关系，并说明理由 ．
7． 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释
，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.
（1）图B可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：
①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片
张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为
6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解.
8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释
，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3
号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），
使该矩形的面积为 ，并利用你所画的图形面积对 进行因式分解．
9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具
有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形
面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关
系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片
张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把
多项式 分解因式，其结果是 ；
(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式 ＝ ．
10．阅读下列材料，并解答问题．
面积与代数恒等式
通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式 ，人们经常称作用面积解
释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如可用图2表示
．
请根据阅读材料，解答下列问题:（1）请写出图3所表示的代数恒等式： ；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示： ；
（3）请仿照上述方法另写一个含有 ， 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，如图1可以验证一个代数恒等式（a+b）2＝（a
﹣b）2+4ab．
（1）如图2，用若干张A，B，C的卡片拼成一个长方形面积为（2a+b）（a+b），那么需要A，
B，C卡片各多少张？
（2）如果用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形，那么这个长方形的边长分别是 和
．
12．如图，有足够多的边长为 的小正方形（ 类），长为 、宽为 的长方形（ 类）及边长为
的大正方形（ 类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，
比如图②可以解释为 ．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 ，画出
图形，并根据图形回答： ______________．
(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 ，
①你画的图中需 类卡片___________张；
②可将多项式 分解因式为_______________；
(3)如图③，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ．若用 表示四个相同的长方形的两边长
，观察图形并判断下列关系式：① ；② ；③ ；④
，其中正确的是____________．
13．一天小明和小丽玩纸片拼图游戏，他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形
来解释某些等式，例如，由图2，我们可以得到 ．(1)由图3可以解释的等式是_________；
(2)用边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9
张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_________；
(3)小丽用5个长为b，宽为a的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为S，右下角的面积为S，当BC的长变化时，S﹣S 的值
1 2 2 1
始终保持不变，求a与b的数量关系．
14．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B
类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形
来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．
【初步运用】
（1）仿照例子，图③可以解释为： ；
（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a＋3b）、
（a＋5b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张；
【拓展运用】
若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a2＋5ab＋3b2，通过操
作你会发现拼成的长方形的长宽分别是 ，将2a2＋5ab＋3b2改写成几个整式积的形式为
．
15．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实
际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如 就可以用如下
的图形面积来表示．（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： ；
（2）请仿照上述方法另写出一个含有a，b的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与
之对应的几何图形．
16．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公
式： ．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不
化简）：
方法1： _________________；
方法2∶ _________________．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?
（3）①已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值．
②已知 ， ，请利用（2）中的等式，求 的值．
17．阅读理解：数形结合作为一种数学思想方法，应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解
形”，借助于数（式）的计算来说明图形的某些性质；第二种情形是“以形助数”，借助图形的
直观性来说明数（式）之间数量关系．本学期学习的整式乘法法则，可借助图形的面积，分别从
整体、局部来计算同一个图形的面积来构建等式，进而解释、验证整式乘法法则．
解决问题：如图1，利用A、B、C三种纸片各若干，可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图2
可以解释等式 ．(1)图3可以解释等式： ；
(2)观察图4，请你写出 、 和 之间的数量关系是 ；
(3)利用5张B种纸片拼成如图5的大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为
S．
①若CD＝7时，试用含a、b的代数式表示S；
②设CD＝x，且当x取不同数值时，S永远为定值，求a与b之间的数量关系．
18．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的
面积可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
（1）请你写出图2所表示的一个等式：________．
（2）小明同学用图3中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张宽、长分别为 、
的长方形纸片拼出一个面积为 长方形，则 ________．
【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个边长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写
出一个代数恒等式：________．
