文档文本内容
第18 讲 平面向量的数量积及其应用
易错分析
易错点一 混淆向量数量积运算与数乘运算
题型方法
题型一 求平面向量的数量积
题型二 求平面向量的投影向量
题型三 平面向量的垂直问题
题型四 平面向量的模的问题
题型五 平面向量的夹角问题
知识点01 向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹
角．
知识点02 平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a 与b 的数量积，记作 .
知识点03 平面向量数量积的几何意义
题型梳理
知识清单
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A 和终点B，
分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a 向向量b
，A1B1叫做向
量a 在向量b 上的 ．记为 .
知识点04 向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
知识点05 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝__________
模
|a|＝_______
|a|＝_________
夹角
cos θ＝_____
cos θ＝___________
a⊥b 的充要条件
a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角或0.
(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a 与b 的夹角为钝角或π.
【易错点一】混淆向量数量积运算与数乘运算
【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量
满足
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【举一反三】【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知向量
，
满足
，且
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知
与
的夹角
，则
.
【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
，求
的长.
【题型一】求平面向量的数量积
【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
解题技巧
易错分析
题型方法
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义
【举一反三】【变式1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知菱形
中，点
，则
．
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，对任意的单位向量
恒成立，求
的
最大值．
【题型二】求平面向量的投影向量
【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）向量
，
，则向量
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河北·模拟预测）设非零向量
、
的夹角为
，
，
在
方向上的投影向量为
，则
．
【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
.
(1)求
与
的夹角
；
(2)求
在
上的投影向量的模.
【题型三】平面向量的垂直问题
【例3】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
【变式2】（2023·海南海口·模拟预测）已知向量
，
不共线，
，
，写出一个符合条件的向量
的
坐标： .
【变式3】（2020·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
【题型四】平面向量的模的问题
【例4】（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知平面向量
满足
，则实数
的值为 ．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
．
(1)
，
时，求CD 的长度；
(2)若CD 为角C 的平分线，且
，求
的面积．
【题型五】平面向量的夹角问题
【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)
【举一反三】【变式1】（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·上海徐汇·二模）已知
是正方形，点
是
的中点，点
在对角线
上，且
则
的大小为 .
【变式3】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在
中，已知
，
，
，
，
点
为
边的中点，
，
相交于点
．
(1)求
；
(2)求
．
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知
为
的高，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（2025·湖南永州·模拟预测）已知
，求
与
在上的投影长度的比值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
二、多选题
6．（2025·河北·模拟预测）已知平面向量
，
，若
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
与
的夹角
B．
C．
D．
在
方向上的投影向量为
好题必刷
7．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量
，且
在
方向的投影向量为，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
8．（2025·陕西汉中·一模）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
方向上的投影向量坐标是
三、填空题
9．（2025·浙江嘉兴·二模）已知向量
，若
，则
．
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知向量
，
，则
在
上的投影向量的坐标为 .
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，
，
为
所在平面内的动点，且
，则
的最小值为 ．
四、解答题
12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量
，
，
．
(1)求
的坐标，
的值；
(2)若
，求实数k 的值；
(3)若
，求实数k 的值．
13．（2025·安徽·三模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)设
的垂心为
，若
.
①求
的值；
②求
的值.
14．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知a，b，c 为
的内角A，B，C 所对的边，向量
，且
(1)求C；
(2)若
，
的面积为
，且
，求线段
的长．
15．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量
，
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求向量
与
的夹角的余弦值．
16．（2025·河北张家口·三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
的外接圆面积为
，且
，
，求
的长.
