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§5.4 平面向量中的综合应用
重点解读 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，
体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的
模、数量积、向量夹角、系数的范围等．
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(
)
A．若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的垂心
B．若AP＝λ，则直线AP必过△ABC的外心
C．若|OA|＝|OB|＝|OC|，则O为△ABC的外心
D．若NA＋NB＋NC＝0，则N是△ABC的重心
答案 ACD
解析 对于A，由题意可得PA·PB－PB·PC＝PB·(PA－PC)＝PB·CA＝0，
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；
对于B，如图设AE＝，AF＝，则|AE|＝|AF|＝1，
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，
则AQ＝AE＋AF＝＋，
所以AP＝λ＝λAQ，
又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；
对于C，因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外
心，故C正确；
对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意NA＋NB＝2ND＝－NC，则NC＝
2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．
(2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足OA＋OB＋OC＝0，|AB|＝，则△ABC的面积为(
)
A. B. C. D．2
答案 B解析 设AB的中点为D，
则OA＋OB＋OC＝0可化为2OD＋OC＝0，
即为OC＝－OD，
∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB，
∴△ABC为等腰三角形，
由垂径定理得|OA|2＝|OD|2＋|AD|2，
设△ABC外接圆的半径为R，
则R2＝2＋2，
解得R＝1，CD＝1＋，
∴S ＝|AB||CD|＝××＝.
△ABC
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题―――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(3，)，且满足 ＋＝，则|AC|等于( )
A．2 B．6 C. D．2
答案 D
解析 由AB＝DC＝(3，)，
得四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－⇒cos〈m，n〉＝－，
所以〈m，n〉＝120°，
因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，
因此四边形ABCD是菱形，而|AB|＝2，
所以|AC|＝|AB|＝2.
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( )
A．3 B．3 C．3 D．6
答案 A
解析 因为CD＝2DB，
所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
设AB＝x，x>0，
则|AD|2＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，
解得x＝6(舍负)，即AB＝6，
所以|BC|＝|AC－AB|
＝
＝＝3.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交
于点M，N，若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3 C．1 D.
答案 A
解析 由题意知，AP＝AB＋BP＝AB＋＝AB＋＝＋，又AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，
∴AP＝＋，
由M，P，N三点共线，得＋＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋
≥＋2＝3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2024·开封模拟)已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|＝
1，则PB·PC的取值范围是( )
A. B.
C．[1,4] D．[1,7]
答案 B
解析 方法一 如图，建立平面直角坐标系，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
∴B(，0)，C，∴PB＝(－cos θ，－sin θ)，PC＝，
∴PB·PC＝(－cos θ)－sin θ＝－cos θ－sin θ
＝－3sin，
∵θ∈[0,2π]，∴sin∈[－1,1]，
∴PB·PC∈.
方法二 如图，建立平面直角坐标系，则A，B，C，
设P(x，y)，
则点P在以A为圆心，1为半径的圆上，
即点P的轨迹方程为2＋y2＝1，
而PB＝，PC＝，
故PB·PC＝x2－x＋y2－y＝2＋2－，
综上，只需求出定点与圆2＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可，
而圆心A与定点的距离d＝＝，
故定点与圆上点的距离的范围为，
∴PB·PC∈.
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，]
C．[，＋1] D．[2－，2＋]
答案 A
解析 a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－
1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________．
答案
解析 方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)，
∵(c－a)⊥(c－b)，
∴x(x－1)＋y(y－1)＝0，
得2＋2＝，
则点(x，y)在以点P为圆心，为半径的圆上，|c|＝≤OP＋＝.
方法二 如图，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，
则AC＝c－a，BC＝c－b，
则AC⊥BC，又OA⊥OB，
则四边形OBCA四点共圆，
则(OC) 为圆直径AB，
max
又AB＝＝，
∴|c| ＝(OC) ＝.
max max
(2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，AP＝sin2θ·AB＋
cos2θ·AC(其中θ∈R)，则( )
A.AB·AC的取值范围是(0,4)
B．点P经过△ABC的外心
C．点P所在轨迹的长度为2
D.PC·(PA＋PB)的取值范围是
答案 ABD
解析 由AB·AC＝AC2，又斜边AB＝2，则|AC|∈(0,2)，则AB·AC∈(0,4)，A正确；
若O为AB中点，则AO＝AB，故AP＝sin2θ·AO＋cos2θ·AC，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，
P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，所以B正确，C错误；
又PA＋PB＝2PO，则PC·(PA＋PB)＝2PC·PO＝－2|PC||PO|，
又|PC|＋|PO|＝|OC|＝1，
则|PC||PO|≤2＝，当且仅当|PC|＝|PO|＝时，等号成立，
所以PC·(PA＋PB)＝－2|PC||PO|∈，D正确．
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积S
等于( )
A. B．5 C．10 D．20
答案 B
解析 因为AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，
所以AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，
又|AC|＝＝，|BD|＝＝2，
所以四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝××2＝5.
2．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，
则MD·MC的最小值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为
坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)，
设M(x,0)，－6≤x≤6，
则MD＝(3－x,4)，MC＝(6－x,0)，
所以MD·MC＝(3－x,4)·(6－x,0)＝x2－9x＋18，
因此，当x＝时，MD·MC取得最小值－.
3．(2023·绵阳模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段
AB为圆C的直径，则|PA＋PB|的最小值为( )
A. B．3 C．4 D．3
答案 B
解析 因为C为AB的中点，
所以PA＋PB＝2PC，从而|PA＋PB|＝|2PC|＝2|PC|，
可知|PC|的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝＝，
所以|PA＋PB| ＝2×＝3.
min
4．(2023·上饶模拟)如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝
1，点P在线段EF上，则PA·PB的最小值是( )
A. B．－ C．－ D．－
答案 B
解析 由题意可得，
PA·PB＝(PO＋OA)·(PO＋OB)＝(PO＋OA)·(PO－OA)＝|PO|2－|OA|2＝|PO|2－1，
为使PA·PB最小，只需|PO|最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点，
又EF＝1，因此|PO| ＝＝，
min
所以PA·PB的最小值为－.
5．(2024·沈阳模拟)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的
夹角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 已知a，b是单位向量，
由|xa＋b|≥，
得(xa＋b)2≥，则x2＋2(a·b)x＋≥0，
依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0，
解得－≤a·b≤，
而cos〈a，b〉＝＝a·b，
则－≤cos〈a，b〉≤，
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以≤〈a，b〉≤，
所以向量a，b的夹角的取值范围为.
二、多项选择题
6．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有( )
A．若AD＝(AB＋AC)，则点D是边BC的中点
B．若AD＝，则直线AD过△ABC的垂心C．若AD＝2AB－AC，则点D在边BC的延长线上
D．若AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半
答案 ABD
解析 对于A，∵AD＝(AB＋AC)，
即AD－AB＝AC－AD，即BD＝DC，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，AD·BC＝
＝(－|BC|＋|BC|)＝0，即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵AD＝2AB－AC，
即AD－AB＝AB－AC，即BD＝CB，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵AD＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
设AM＝2AD，
则AM＝2AD＝2xAB＋2yAC，且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，且|AM|＝2|AD|，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确．
7.(2024·六安模拟)正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半
圆上任意一点，AP＝λAD＋μAE，则( )
A．μ最大值为1
B．λ最大值为2
C.AP·AD最大值是8
D.AP·AE最大值是8＋4
答案 ACD
解析 如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，π]，
又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，D(－2,4)，C(2,4)，
则AP＝(2cos θ＋2,2sin θ)，AD＝(0,4)，AE＝(4,2)，
∵AP＝λAD＋μAE，
即(2cos θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2)
∴解得
∵θ∈[0，π]，则－1≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1，
∴μ＝∈[0,1]，
λ＝＝，
其中sin φ＝，cos φ＝，φ为锐角，
当sin(θ－φ)＝1，即θ＝＋φ时，
λ取最大值，故A正确，B错误；
AP·AD＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(0,4)＝8sin θ∈[0,8]，故C正确；
AP·AE＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(4,2)＝4sin θ＋8cos θ＋8＝4sin(θ＋α)＋8，
其中sin α＝，cos α＝，α为锐角，
当sin(θ＋α)＝1，即θ＝－α时，AP·AE取最大值8＋4，故D正确．
三、填空题
8．已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________．
答案 3
解析 |a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|＝1＋2＝3，当a－b与b方向相同时，等号成立．
9．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝DC，若P为BD上一点，且满
足AP＝λAB＋μAC，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
答案
解析 ∵λ，μ为正实数，AD＝DC，
故AC＝4AD，∴AP＝λAB＋4μAD，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，
当且仅当λ＝，μ＝时取等号，
故λμ的最大值为.
10．(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋
b·e|的最大值为________．
答案 2
解析 ∵a·b＝|a|＝|b|＝2，
设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos θ＝2，
∴cos θ＝，
又θ∈[0，π]，则θ＝，
不妨设a＝(2,0)，b＝(1，)，
再设e＝(cos α，sin α)，
则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|＝|(3，)·(cos α，sin α)|
＝|3cos α＋sin α|＝≤2，
即|a·e＋b·e|≤2，
∴|a·e＋b·e|的最大值为2.
