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压轴专题06 数列压轴小题
压轴分析
新高考数列压轴题的核心，是考查从非常规递推关系中识别并构造可解模型的能力。
典型命题路径是给出复杂递推式（如分式型an+1=
pan
q an+r 或混合型)，要求学生求解通项或证明性
质。
解题关键在于定向变形：通过取倒数、取对数、待定系数配凑等手段，将其转化为等差、等比或可
累加/累乘的标准结构。当直接变形困难时，需先计算初始项，观察猜想规律，再用数学归纳法严
谨证明一这正是近年考查热点。
涉及数列单调性、不等式或最值问题时，需将通项an视为离散函数，借助函数思想分析，同时注意
其离散特性。掌握变形试解-猜想-证明"的探究路径，方能从复杂形式中洞察本质数列模型。
知识总结
1. 数列作为特殊函数的性质对应
函数性质
数列中的对
应
判断方法与核心要点
单调性
数列的递
增/递减
作差法：计算 an+1−an 的符号
作商法（正项数列）：比较
an+1
an
与 1
关键：得出的结论仅对 n∈ℕ
∗ 成立
有界性
数列存在上
界/下界
利用不等式放缩、数学归纳法，或借助对应的连续函数 f ( x)（若 an= f (n)）在
x ≥1 时的值域进行判断
周期性
数列值周期
重复
验证是否存在最小正整数 T 使得 an+T =an 对一切 n 成立。常用于简化求值问
题（如求 a2023）。
最值
数列的最大
项/最小项
离散最值特性：不能直接对通项公式求导。需结合单调性变化：当数列先增后减
时，最大项在"拐点"处；或通过比较有限个候选项（如 a1,a2,...ak）得出。
零点/符号数列各项的
正负
研究对应函数 f ( x) 的正负区间，但需注意 n 只能取正整数，因此数列的符号
变化点可能滞后或提前于函数的零点。
2. 核心题型与破解策略
题型特征
核心考查点
破解策略与步骤
判断或证明单
调性
函数单调性在
离散点的体现
首选作差法（通用）或作商法（正项）。若差或商的形式复杂，可构造函数
f ( x)，利用导数判断 f ( x) 在 x>0 的单调性，再推出 an= f (n) 的单调
性。
求数列的最大
（小）项
离散最值问题
1. 判断数列单调性。
2. 若单调，则最值在端点（ a1 或 an 当 n→∞ 时）。
3. 若不单调，解不等式 an≥an−1 且 an≥an+1 找最大项候选 n，再比较 an
与相邻项。
已知单调性求
参数范围
函数性质对参
数的约束
将单调性条件 an+1>an（或 <）转化为关于 n 和参数的不等式。通常需将
该不等式视为对 所有正整数 n 成立，从而转化为函数 g(n) 的最值问题
（注意 n 的离散性）。
数列不等式的
证明
函数放缩与数
学归纳的结合
1. 观察不等式结构，联想常见的函数不等式（如 e
x> x +1,ln x ≤x−1）。
2. 将数列项视为函数值，进行放缩。
3. 对于与 n 相关的命题，常使用数学归纳法完成最终证明。
周期数列的识
别与应用
函数的周期性计算前几项，寻找循环规律。若递推式形如 an+k =an，则周期为 k。可大幅
简化求项问题。
3. 重要思想方法
1. 函数引领，离散验证：遇到数列问题，首先写出其通项公式 an= f (n)，用函数思想分析趋势、性
质。但在执行比较、求最值等操作时，必须回归正整数定义域，进行离散的、有限的操作（如比
较 an 和 an+1）。
2. 数学归纳法：证明与正整数 n 相关的数列性质（如通项公式、不等式、整除性）的标准工具。必
须严格遵循三步（奠基、假设、递推）格式。
3. 放缩法：证明数列不等式或收敛性的关键。技巧在于将数列项适度放大或缩小，化成可求和（如
等比数列）或易于比较的形式。放缩的度需要经验把握。
4. 解题流程指引
分析题目：
↓
明确所求：是单调性？最值？范围？还是证明不等式？
↓
定位性质：
若涉及增减趋势 → 采用作差法/作商法，或借助函数导数。
若涉及最大/小值 → 先判单调性，不单调则解相邻项不等式组。
若涉及所有n 成立的不等式/范围 → 常需分离参数，转化为求函数的最值问题。
↓
执行与验证：
若用了函数思想，最后要说明"由函数性质及n 为正整数知..."。
若求最值，确认候选项是否均为正整数。
掌握"以函观数，以离散性为界"的思维，便能将复杂的数列性质问题，化归为熟悉的函数分析与严谨的离
散推理相结合的模式，从而有效破解压轴小题。
典例精讲
【典例1】
（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列
的前n 项和为
，且
，
则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
是等比数列
C．
D．
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选）已知数列
满足：
，
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
为等比数列
D．若
，
35．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选）已知数列
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，
B．若数列
为常数列，则
或
C．若数列
为递增数列，则
D．当
时，
【典例2】
（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等
于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
会一题通一类
1．（2025·重庆·三模）数列
满足
，则
的前100 项和
．
2．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足：
，
，令
，数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）设
是数列
的前
项和，
，则
（1）
；
（2）
．
【典例3】
（2025·湖南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
会一题通一类
1．（2025·安徽·二模）记数列
的前
项和为
，若
，则
的值不可能为
（ ）
A．96
B．98
C．100
D．102
2．（25-26 高三上·黑龙江·期中）单调递增的等差数列
满足
，当公差
取最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】
（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）已知数列
满足
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
，使得
为常数列
B．若
，则
C．若
，使得
时，
D．若
，则
为递增数列
会一题通一类
1．（2025 高三·全国·专题练习）记等比数列
的前
项和与前
项积分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
为单调数列
B．
为递增数列
C．
有最大值
D．
有最小值
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
是递增数列
C．存在正整数
，使得
D．存在正整数
，使得
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是递增数列
【典例5】
（25-26 高二上·江苏镇江·期中）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．数列
是递减数列
B．当
时，
最大
C．使得
成立的最小自然数
D．数列
中的最小项为
会一题通一类
1．（2025·辽宁·模拟预测）记
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
，则使
成立的
的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知数列
的各项均为正数，
，则前40 项和的最小值
为 .
3．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知数列
满足递推公式
，
．设
为数列
的前
项和，则
的最小值是 ．
【典例6】
（2025·辽宁·一模）已知在数列
中，
，则
的前
项中
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知等差数列
的前
项和
满足：
，则数列
的最小项是第（ ）项.
A．2026
B．2027
C．4048
D．4049
2．（2025·河北唐山·模拟预测）数列
的前
项和为
，
的前
项和为
，则数列
（ ）
A．有最大项也有最小项
B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项
D．有最大项但无最小项
【典例7】
（2025·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，若对
，
，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列
的首项为1，
,
是
的前n 项和，且
，（
），若存在
，使得
成立，则实数m 的取值范围
为 ．
【典例8】
（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025 年2 月7 日在哈尔滨盛大开
幕，场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长
可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长
为1 的正三角形
，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作
正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线
；重复上述两步，形成雪花曲线
，记雪花
曲线
的周长为
，则数列
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）（多选）在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一
书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，
第
行的所有数字之和为
，若去除所有为1 的项，依次构成数列
：2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5，
，则下列说法正确的是（
⋯
）
A．
B．
C．第
项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
2．（25-26 高三上·湖北·月考）（多选）如图，曲线
上的点
与
轴非负半轴上的点
，
构成一系列斜边在
轴上的等腰直角三角形，记为
，
，
，
（
为坐标原点）．设
的斜边长为
，点
，
的面积为
，则下列说法中
正确的是（ ）
A．数列
的通项公式
B．数列
的通项公式
C．
D．
【典例9】
（2025·江苏常州·模拟预测）（多选）已知函数
，数列
满足
，则（ ）
A．方程
的解集为
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
会一题通一类
1．（2025·广东·模拟预测）（多选）正整数数列
满足：
，则下列正确的有
（ ）
A．若
，
，则
的可能取值有6 个
B．若
，则
时，
C．若
，则
时，
D．若
有最大值，则
从某一项开始恒为常数
2．（2025·北京大兴·三模）已知数列
的前
项和为
，
且
（
），给
出下列四个结论：
①长度为
，
，1 的三条线段可以围成一个内角为
的三角形；
②
，
；
③
，
；
④
．
其中正确结论的序号是 ．
【典例10】
（2025·山东聊城·三模）（多选）对于数列
，设区间
内偶数的个数为
，则称数列
为
的“
数列”，则（ ）
A．若数列
是数列
的“
数列”，则
B．若数列
是数列
的“
数列”，则
是常数列
C．若数列
是数列
的“
数列”，则
是等比数列
D．若数列
是数列
的“
数列”，则数列
的前项的和为
会一题通一类
1．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知数列
是无穷数列，
是数列
的前
项和.若
是递减数列，则称数列
具有“和性质”，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
具有“和性质”
B．若数列
具有“和性质”，则
，
C．若数列
满足
，则数列
具有“和性质”
D．若数列
，
具有“和性质”，且
，
，则数列
具有“和性质”
热点预测
1．（25-26 高三上·广东佛山·月考）已知数列
的首项
，前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
是等差数列
C．
是递减数列
D．
2．（2025·河北沧州·一模）记
为数列
的前
项和，
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．0
B．40
C．80
D．120
3．（2025·北京昌平·二模）在数列
中，
，则（ ）
A．当
时，对于任意的正整数
B．当
时，存在正整数
，当
时，
C．当
时，对于任意的正整数
D．当
时，存在正整数
，当
时，
4．（2025·山西吕梁·模拟预测）（多选）已知正项数列
满足
为数列
的前
项和，则（ ）
A．数列
为递增数列
B．
C．
D．
5．（2025·上海嘉定·二模）设数列
满足
，记其前n 项和为
，前n 项
积为
．则下列结论正确的是（ ）
A．数列
和数列
均不是周期数列
B．数列
是周期数列，数列
不是周期数列
C．数列
不是周期数列，数列
是周期数列
D．数列
和数列
均为周期数列
6．（2025·河南许昌·模拟预测）（多选）已知数列
满足
，
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
为
中的最小项
B．对任意的
，
，都有
C．存在
，使得
，
，
成等差数列
D．对任意的
，
，都有
7．（2025·云南·一模）（多选）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的
连续量问题转化为求离散量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立
体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的
堆垛问题．现有一堆货物，从上向下数，第一层有1 个货物，第二层比第一层多2 个，第三层比第二层多
3 个，以此类推，记第n 层货物的个数为
，前n 层货物的总数为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．集合
中共有25 个奇数
C．设
，则
的前100 项和为2550D．
8．（2025·湖北黄冈·模拟预测）（多选）已知数列
是斐波那契数列
，这
一数列以如下递推的方法定义：
，
，
（
）.数列
对于确定的正整数
，
若存在正整数
使得
成立，则称数列
为“
阶可分拆数列”.以下说法正确的是（ ）
A．若数列
是首项为2，公差为2 的等差数列，则
为“3 阶可分拆数列”
B．若数列
满足
（
，
），则对
，不存在正整数
，使得数列
为“
阶可分拆数列”
C．若数列
的前
项和为
（
），且数列
为“1 阶可分拆数列”，则实数
D．若数列
满足
，前
项和为
，则当
且
时，
9．（2025·云南·模拟预测）数列
满足：
，且
，则
.
10．（2025·安徽·二模）已知等差数列
的公差为
，若集合
，则
．
模拟训练
一、单选题
11．（2025·北京朝阳·二模）设无穷数列
的前n 项和为
，定义
，
则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，则
D．当
时，
12．（2025·安徽·三模）记
为数列
的前n 项和，若
，且
的值为1，2，3 的可能性相
同，则
是奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数
零点时给出一个数列
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数
有两个零点1，
2，数列
为
的牛顿数列．设
，已知
，
的前
项和为
，则
等于
（ ）
A．2025
B．2026
C．
D．
14．（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列
是公比为2 的等比数列，且
．集合
，集合
的元素个数构成数列
，则数列
的前100 项的和为（ ）
A．480
B．642
C．840
D．5050
15．（2025·江西宜春·模拟预测）在等比数列
中，
，若不等式
成立，则
的最小值为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．27
16．（2025·广东广州·模拟预测）已知
是首项为2，公比为2 的等比数列，记
，
其中
，记数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．9143
B．9145
C．10009
D．10154
二、多选题
17．（2025·河南·模拟预测）记
为数列
的前
项和，且
为等差数列，
为等比数
列，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在正整数
，对于任意的正整数
，均有
C．对于任意的正整数
，均有
D．存在正整数
，使得
18．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列
满足
，
，且
，若记数列
的前
项的积为
，
，
的前
项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是等比数列
B．
C．当
为奇数时，
D．当
为偶数时，
19．（2025·福建泉州·模拟预测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多
瓦数列被以下递推的方法定义：数列
的前n 项和为
，且满足：
，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶数
D．
20．（2025·湖南长沙·三模）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则下列结论正
确的是（ ）
A．若
是递增数列，且
、
、
成等差数列，则
B．若
，且
是递增数列，
是递减数列，则
C．若
，则存在数列
，使得当
时，
D．若
，则存在数列
，使得当
时，
21．（2025·四川达州·模拟预测）设
的整数部分为
，小数部分为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列
为等比数列
B．数列
为递增数列
C．
D．整数
的个位数字可以是8
22．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知在数列
中，
，数列
的前
项和为
，且满足
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等比数列
C．数列
是等差数列
D．若
，则
23．（25-26 高三上·湖北·期中）数列
满足
，且
，数列
的前
项和为
，从
的前
项中任取两项，它们的和为奇数的概率为
，数列
的前
项积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·江西·二模）记
为数列
的前
项和，且
现定义
，
(
)，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
25．（2025·浙江·一模）等比数列
满足
，则当
时，
取到最小值.
26．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，则
的最小值为 ．
27．（2025·湖北黄石·模拟预测）无穷数列
由
个不同的数组成，
为
的前
项和，若对任意
，则整数
的最大值为 .
28．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
的通项公式是
，记
为
在区间
内的项的个数，则使得不等式
成立的
的最小值为 .
29．（2024·浙江·一模）若
，已知数列
中，首项
，
，
，则
.
30．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列
满足
，则
．（
表示不大于
的最大整数）
31．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义：对于数列
，若存在
，使得对任意
，均有
，则称
为“
-分界数列”.若
，且
是“1-分界数列”，则
的取值范围为 .
