文档文本内容
第20 讲导数压轴综合
（知识清单+5 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
含参零点综合、基础不等式证明、恒成立参数范围、极值与双变量基础综合
解答题
12 分
隐零点最值证明、指对同构恒成立、基础导数放缩、双零点不等式证明
解答题
12 分
放缩+隐零点综合、极值点偏移变式、含参放缩综合、导数数列跨模块压轴
解答题
12 分
基础综合题型+技巧压轴题型+创新跨模块题型全覆盖
解答题
12 分
【知识点01】隐零点问题
隐零点是导数压轴基础核心考点，针对含 e
x、ln x 的超越型函数，导函数零点无法通过常规解方程显性求出。核心
解题思想为设而不求、整体代换，无需解出零点具体值，仅利用零点满足的方程代入原式化简，进而求解函数最值、
证明不等式。
通用解题步骤：①求导判断导函数单调性；②零点存在定理锁定零点区间；③设零点 x0 且不求解；④利用
f
'( x0)=0 整体代换；⑤化简原函数求最值/证不等式。
【例1】已知函数 f ( x)=e
x−ln x，求证：f ( x)>2。
【知识点02】极值点偏移问题（对称构造思想）
极值点偏移针对单极值点函数，若函数满足 f ( x1)= f ( x2)( x1≠x2)，正常对称函数满足x1+ x2=2 x0（x0 为极值点），
若不相等则出现偏移。分为右偏移 x1+ x2>2 x0、左偏移 x1+ x2<2 x0。
核心解题技巧：对称构造辅助函数，将双变量不等式转化为单变量单调性问题，规避双变量复杂运算，是高考导数压
轴经典难点。
【例2】已知 f ( x)= ln x−x，若 f ( x1)= f ( x2)( x1≠x2)，证明：x1+ x2>2。
【知识点03】指对同构问题
指对同构是导数压轴提速大招，针对式子同时含指数 e
x、对数 ln x 的复杂题型。核心原理是通过代数变形，将零散
式子统一为 f (t ) 单一函数结构，利用函数单调性秒杀恒成立、最值、参数范围问题，规避复杂求导与隐零点运算。
三大必背同构公式：
x e
x =e
x + ln x，e
x
x =e
x−ln x，x ln x = ln x⋅e
ln x
【例3】已知 x>0，e
x−ln x ≥ax 恒成立，求实数 a 的最大值。
【知识点04】导数放缩证明问题
导数放缩是高考压轴证明核心技巧，无需复杂构造求导，利用固定的基础放缩不等式，将超越式简化为一次、二次代
数式，快速完成不等式证明。所有放缩公式可直接用于高考答题，需严格牢记取等条件，避免放缩过度。
四大核心高考标准放缩公式：
e
x≥x +1( x =0取等)，ln x ≤x −1( x =1取等)
e
x≥ex( x =1取等)，ln ( x +1)≤x( x =0取等)
【例4】证明：当 x>0 时，x e
x−ln x> 3
2。
【知识点05】双零点双变量证明问题
针对函数存在两个不同零点x1, x2 的压轴题型，核心难点为双变量无法直接求导。通用解题逻辑：利用零点定义作和、
作差，消去参数，再通过比值换元令 t = x1
x2
(t >1)，将双变量不等式转化为单变量函数单调性问题，实现降维解题。
【例5】已知函数 f ( x)= ln x−2 x 有两个零点 x1, x2，证明：x1+ x2>1。
【知识点06】含参导数压轴分类讨论问题
含参导数恒成立、存在性压轴，参数无法分离时必须使用分类讨论法。核心讨论逻辑：先根据参数正负划分单调性，
再根据极值点与定义域区间的位置关系划分临界，做到不重不漏，最终合并有效参数范围。
【例6】已知 f ( x)= x
2−ax，∀x∈[1,2]，f ( x)≥−1 恒成立，求 a 的取值范围。
【题型一】利用导数研究函数的零点
【例1】（2026·江苏苏州·三模）已知
，若
有两个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河南周口·三模）若函数
有且仅有2 个零点，则
______.
【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）曲线
在点
处的切线为．
(1)求直线的方程；
(2)若直线与曲线
在
轴右侧只有一个公共点，求实数
的值．
【变式3】（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)令
，求函数
在
上的零点个数．
【题型二】导数中的极值偏移问题
【例1】（多选）（2025·新疆乌鲁木齐·三模）设函数
的定义域为
，
的导函数
满足
，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
的最大值为1
B．
在点
处的切线为
C．若方程
有两个不同的解
，
，则
D．若
，
，
，则
【变式1】（2026·山东聊城·二模）设函数
，
(1)若
有极值点、无零点，求
的取值范围；
(2)若
的图象在区间
内存在两条互相垂直的切线，求
的取值范围；
(3)设
，若方程
有两个实数根
、
，且
，求证：
，且
．
【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线
与
轴相切，且切点为
格点．
（i）求
的值；
（ii）若
，且
，证明：
.
【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)求
在
上的极值；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在实数
使得函数
在
上有两个不同的零点
，证明：
．
【题型三】指对同构综合压轴
【例3】（2026·四川成都·三模）不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式
恒成立，则实数a 的取
值范围是________.
【变式2】（2026·河北沧州·二模）已知函数
．
(1)若
，
，求
的最小值；
(2)若
，当
时
，求a 的取值范围；
【变式3】（2024·山西长治·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
【题型四】导数放缩综合证明
【例4】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)若
，证明：
.
【变式1】（2025·江苏·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
对任意
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
．
【变式2】（2026·广西桂林·模拟预测）设函数
，函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围；
(3)设函数
的极小值点为
，证明：
．
【变式3】（2026·新疆·三模）已知
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对任意
，有
恒成立.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：对任意的正整数
.
【题型五】利用导数研究双变量问题
【例5】（多选）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
有1 个零点
C．对任意
，
，都有
D．若函数
在区间
上有且只有一个零点，则
【变式1】（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b 满足
，则
______________．
【变式2】（2026·四川成都·二模）已知函数
在
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)设
是方程
的两根，求证：
．
（注：
…是自然对数的底数）
【变式3】（2026·陕西西安·三模）已知函数
，当
时，
恒成立．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)已知函数
有两个极值点
，
证明：
．
(3)当
时，直线
与函数
图象的三个交点的横坐标从小到大依次为
，1，
判断
与0 的大小关系，并证明．
【解题大招01】隐零点「设而不求」法
1. 技巧原理
针对含 e
x、ln x 的超越型导数函数，导函数零点无法显性求解，无需强行解方程。核心思维：设零点、不求解、利
用零点方程整体代换化简原式，规避超纲运算，快速求最值、证不等式。
2. 标准解题步骤
① 确定函数定义域，求导判断导函数单调性；
② 利用零点存在性定理，锁定隐零点区间；
③ 设唯一零点 x0，列出核心方程 f
'( x0)=0；
④ 将零点方程整体代换原函数，消去指数、对数；
⑤ 化简求解最值或证明不等式。
【例1】已知函数 f ( x)=e
x−ln ( x +1)，证明：f ( x)>1。
【解题大招02】指对同构秒杀法
1. 技巧原理
针对同时含 e
x 与 ln x 的复杂恒成立、最值题型，通过代数变形，将零散式子统一为单一函数结构 f (t )，利用函数
单调性直接解题，大幅简化计算，秒杀复杂压轴题。
2. 三大必背同构公式
x e
x =e
x + ln x
e
x
x =e
x−ln x
x ln x = ln x⋅e
ln x
3. 标准解题步骤
① 观察式子指对结构，移项、同除变形；
② 凑出 f ( x + ln x) 统一结构；
③ 构造母函数判断单调性；
④ 利用单调性脱去外层函数，简化求解。
【例2】已知 x>0，不等式 x e
x≥ln x +kx 恒成立，求实数 k 的最大值。
【解题大招03】导数放缩证明法
1. 技巧原理
无需复杂多次求导、构造函数，利用高考官方认可的基础放缩不等式，将超越式转化为代数式，快速简化不等式，实
现秒杀证明，是近三年高考主流考法。
2. 高考四大核心放缩公式
e
x≥x +1( x =0取等)
ln x ≤x−1( x =1取等)
e
x≥ex( x =1取等)
ln ( x +1)≤x( x =0取等)
3. 标准解题步骤
① 观察式子结构，选取适配放缩公式；
② 对指数、对数项分别放缩；
③ 合并化简代数式；
④ 校验取等条件，证明严格不等式。
【例3】已知 f ( x)= x e
−x，f ( x1)= f ( x2), x1≠x2，证明：x1+ x2>2。
【解题大招04】双变量比值换元法
1. 技巧原理
针对函数双零点、双变量不等式问题，通过比值换元令 t = x1
x2
(t >1)，将双变量问题归一为单变量函数，彻底解决双
变量无法求导的难点。
2. 标准解题步骤
① 利用零点定义列出方程组，作差、作和消参；
② 设 x_1>x_2>0，令 t = x1
x2
(t >1)；
③ 将待证不等式转化为关于 t 的单变量不等式；
④ 构造函数求导，利用单调性证明结论。
【例4】已知 f ( x)= ln x−ax 有两个零点 x1, x2，证明：x1 x2>e
2。
【解题大招05】任意/存在最值模型法
1. 技巧原理
针对双函数任意、存在混搭恒成立问题，无需复杂讨论，直接套用固定最值模型，匹配对应最值关系，快速求解参数
范围。
2. 四大必考模型
∀x1,∃x2⇒f ( x)min≥g( x)min
∃x1,∀x2⇒f ( x)max≥g( x)max
∀x1,∀x2⇒f ( x)min≥g( x)max
∃x1,∃x2⇒f ( x)max≥g( x)min.
【例5】已知 f ( x)= x
2−2 x，x∈[0,3]，g( x)= ln x，x∈[1,e ]，若 ∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,e ]，使得
f ( x1)≥g( x2)，求参数成立条件。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于
的不等式
有且仅有3 个整数解，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河北保定·三模）已知函数
为指数函数，且满足以下条件：①
且x≠y，都有
；②函数
的图象关于直线
对称，且方程
有且仅有两个实数解.则
函数
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．若函数
，
，满足对
均有
，则
的取值不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．9
三、填空题
4．（2025·河南南阳·三模）已知函数
，
，若
恒成立，则
的最小值是
______．
5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为_____.
6．已知函数
，
，若
，则
的最小值为______.
四、解答题
7．（2026·陕西安康·三模）已知函数
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
．
（i）求
在
上的最大值和最小值；
（ii）若
，求实数
的取值范围．
8．已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
有两个不同的零点
，求a 的取值范围，并证明：
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数
，
与
的零点分别为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的
所有可能取值中最大
的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数
.若不等式
对
恒成立，则
实数
的取值范围___________.
三、解答题
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有极小值，且
，求a 的取值范围.
6．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数a 的值；
(3)设不同正数m，n 满足
，证明：
．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．已知两个不相等的正实数x，y 满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．（2025·湖南郴州·一模）已知实数
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为__________.
三、解答题
3．（2026·山西晋中·二模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
有两个不同的零点
．
①求实数
的取值范围；
②证明：
．
4．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数a 的值；
(3)已知
，当
时，函数
恰有两个不同的极值点
，证明：
．
5．（2026·四川成都·三模）设函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)已知函数
在区间
内存在极值点
.
①求
的取值范围；
②是否存在
，使
？若存在，比较
与
的大小；若不存在，请说明理由.
