第19 讲导数与恒成立、存在性问题
（知识清单+3 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
恒成立最值转化：∀x ,f ( x)≥0⇔f ( x)min≥0
解答题
12 分
存在性问题：∃x ,f ( x)≥0⇔f ( x)max≥0
解答题
12 分
分离参数恒成立：a≥f ( x)⇔a≥f ( x)max
解答题
12 分
双变量恒成立，导数求最值定参数范围
解答题
12 分
导数单调性、最值证明恒成立不等式
解答题
12 分
存在性速解：∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
填空题
5 分
含参恒成立，分类讨论求最值边界
解答题
12 分
分离参数：a≤f ( x)⇔a≤f ( x)min
解答题
12 分
恒成立与不等式综合，多区间最值求参数
解答题
12 分
恒成立+存在性混搭，双最值嵌套应用
解答题
12 分
存在性参数范围：f ( x)min≤a≤f ( x)max
解答题
12 分
存在性参数范围：f ( x)min≤a≤f ( x)max
解答题
12 分
【知识点01】导数恒成立与存在性问题核心定义
1. 恒成立定义（任意性）
若对于区间 D 内任意一个x，不等式 f ( x)≥a（或 f ( x)≤a）始终成立，则称该不等式在区间 D 上恒成立。符号
语言：∀x∈D。
2. 存在性（能成立/有解）定义
若区间 D 内至少存在一个x，使得不等式 f ( x)≥a（或 f ( x)≤a）成立，则称该不等式在区间 D 上能成立。符号
语言：∃x∈D。
【例1】判断命题：① ∀x∈ℝ, x
2≥0；② ∃x∈ℝ, x +1=0 的真假。
【知识点02】恒成立问题等价转化核心公式
已知函数 f ( x) 在区间 D上可导、存在最值，高考通用转化结论：
∀x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)min≥a
∀x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)max≤a
不等式对所有自变量成立，只需函数最苛刻的最值满足条件：大于等于恒成立看最小值，小于等于恒成立看最大值。
【例2】已知 f ( x)=2 x +1，x∈[0,3]，若 f ( x)≥m 恒成立，求 m 的取值范围。
【知识点03】存在性（能成立）问题等价转化核心公式
存在性问题与恒成立问题最值相反，是高考高频易错点：
∃x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)max≥a
∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
核心解读
只需区间内有一个自变量满足不等式即可，大于等于看最大值，小于等于看最小值。
【例3】已知 f ( x)= x
2−1，x∈[1,2]，若 ∃x 使得f ( x)≤k 成立，求 k 范围。
【知识点04】分离参数法核心原理
1. 原理定义
将含参不等式 F( x ,a)≥0 变形为「参数单独在一侧，函数在另一侧」的形式，将参数范围问题转化为已知函数的最
值问题。
2. 标准结论
a≥f ( x) 在 D 上恒成立 ⇒a≥f ( x)max
a≤f ( x) 在 D 上恒成立 ⇒a≤f ( x)min
a≥f ( x) 在 D 上能成立 ⇒a≥f ( x)min
a≤f ( x) 在 D 上能成立 ⇒a≤f ( x)max
【例4】若 ∀x∈(0,+ ∞)，2 x + 1
x ≥a 恒成立，求 a 的取值范围。
【知识点05】含参恒成立分类讨论核心依据
1. 适用场景
参数无法完全分离、分离后函数复杂、出现分式分母含参等情况，必须采用分类讨论。
2. 高考标准讨论顺序
① 一次项、常数项参数符号；② 二次函数开口方向；③ 判别式正负；④ 极值点零点大小；⑤ 零点与区间位置关系
3. 核心解题逻辑
分类讨论参数范围 → 确定函数单调性 → 求解最值 → 验证恒成立条件 → 合并有效参数范围
【例5】已知 f ( x)=a x
2−2 x，∀x∈[1,2],f ( x)≤0 恒成立，求 a 范围。
【知识点06】双变量恒成立、存在性混搭核心知识点
设函数 f ( x), g( x) 分别在定义域 D1, D2 上有最值，四类核心等价关系（高考必考）：
1. ∀x1∈D1,∃x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)min≥g( x)min
2. ∃x1∈D1,∀x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)max≥g( x)max
3. ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)min≥g( x)max
4. ∃x1∈D1,∃x2∈D2,f ( x1)≥g( x2)⇔f ( x)max≥g( x)min
【例6】已知 f ( x)= x
2，x∈[1,2]；g( x)= x +1，x∈[1,2]，满足 ∀x1,∃x2,f ( x1)≥g( x2)，验证条件。
【知识点07】无参数不等式恒成立证明知识点
1. 核心思路
无参数不等式证明 f ( x)> g( x)( x∈D)，核心为构造差值函数。
2. 标准步骤
① 构造 F( x)= f ( x)−g( x)；② 求导分析单调性；③ 求 F( x) 区间最值；④ 证明 F( x)min>0。
【例7】证明：x>0 时，e
x> x +1。
【题型一】利用导数研究不等式恒成立问题
【例1】（2024·陕西·模拟预测）
，有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
时，
有唯一的零点
B．
时，
存在极小值
C．
时，
存在极大值
D．若
，则
的范围为
【例3】（2026·陕西咸阳·二模）已知
，若对于任意
，不等式
恒成立，
则
的取值范围为________.
【变式1】已知函数
，
，若
，
恒成立，则实数
k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
，若
，
，则a 的取值范
围是_________.
【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线斜率为1，求实数a 的值；
(2)若
在定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.
【题型二】分离参数法
【例4】（2026·河南·三模）已知关于
的不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例5】（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为___________．
【例6】（2025·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记函数
的最大值为
，证明：
.（参考数据：
）
【变式1】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知
，函数
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范
围是__________.
【变式3】（2026·河北保定·三模）已知函数
．
(1)当
时
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若对于任意的
，存在
使得
成立，求实数
的值；
(3)若
有三个不同的零点
，证明：
．
【题型三】导数与存在性问题
【例7】（2026·湖北·模拟预测）已知
，函数
，若存在
值，使得
对任意
成立，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2025·陕西西安·模拟预测）若对于
，都
，使得
成立，则
实数
的取值范围是______．
【例9】已知函数
，
为
的导函数.
(1)讨论
的极值；
(2)若存在
，使得不等式
成立，求a 的取值范围.
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知
，若存在
，使得
成立，则实
数
的取值范围是_________.
【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，函数
存在唯一的极值点；
(3)若存在
，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
【变式3】（2026·浙江台州·二模）已知
，函数
.
(1)当
时，求函数
的极小值；
(2)证明：当
时，对任意
，
，都有
；
(3)若存在
，
，
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
【解题大招01】恒成立最值判定技巧
核心口诀：恒成立问题，要求区间内全部满足，取最严苛最值
万能公式：∀x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)min≥a
∀x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)max≤a
【例1】已知 ∀x∈[1,3]，f ( x)= x
2−4 x +2≥m 恒成立，求实数 m 的取值范围。
【解题大招02】存在性最值判定技巧
核心口诀：存在性问题，只需区间内局部满足，取最宽松最值
万能公式：∃x∈D ,f ( x)≥a⇔f ( x)max≥a
∃x∈D ,f ( x)≤a⇔f ( x)min≤a
【例2】已知 ∃x∈[0,2]，使得 f ( x)= x
2−2 x ≤k 成立，求 k 的取值范围。
【解题大招03】分离参数秒杀技巧
技巧精髓：参数单独分离，转化为无参函数求最值，规避复杂分类讨论，适配80%基础、中档题型
解题步骤：移项分离参数→构造单变量函数→导数求最值→锁定参数范围
【例3】∀x∈(0,+ ∞)，x−ln x ≥ax 恒成立，求 a 的取值范围。
【解题大招04】含参分类讨论技巧
技巧精髓：参数无法分离时，按「参数正负→极值点位置→区间范围」有序讨论，不重不漏
【例4】f ( x)=ax−1
x ，∀x∈[1,2]，f ( x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围。
【解题大招05】差值构造证明技巧
技巧精髓：不等式恒成立证明，统一构造差值函数 F( x)= f ( x)−g( x)，转化为证明最值大于等于0
【例5】证明：x>0 时，x>ln ( x +1) 恒成立。
【解题大招06】双变量混搭秒杀技巧
技巧精髓：熟记四大固定模型，无需临场推导，直接匹配最值关系
四大模型：∀x1∃x2⇒f min≥gmin,∃x1∀x2⇒f max≥gmax
∀x1∀x2⇒f min≥gmax,∃x1∃x2⇒f max≥gmin
【例6】f ( x)= x
2, x ∈[1,2]，g( x)=2
x , x ∈[0,1]，∀x1∈[1,2],∃x2∈[0,1]，使 f ( x1)≥g( x2)，验证条件。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·云南昆明·一模）“曲线
恒在直线
的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东佛山·模拟预测）若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式
恒成立，则实数k 的可能取值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
三、填空题
4．（2026·四川成都·二模）函数
．若
在区间
上恒成立，则整数
的最
小值是__________．
5．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数
．若
对任意
恒成立，则实数
的值为_____
四、解答题
6．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数
，其导函数为
.
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
7．（2026·重庆·模拟预测）设函数
（
）满足
恒成立.
(1)求
的值；
(2)求证：
.
8．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若存在
，对任意
恒成立，求实数
的最大值.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河北·一模）已知函数
，
，若对任意的
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2025·湖南岳阳·二模）已知不等式
在
上恒成立（当且仅当
时等号成立），下列不等式
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为______.
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）若
恒成立，则实数a 的取值范围为______．
四、解答题
5．（2026·山东滨州·二模）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若存在
，使
，求
的取值范围.
6．已知函数
.
（1）当
时，求
的极值；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求整数a 的最大值.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式
恒成立，则
的最小值为__________．
三、解答题
3．（2026·陕西商洛·二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若函数
存在单调递增区间，求实数
的取值范围；
(3)若
R，对任意的
恒成立，求
的最小值．
4．（2024·辽宁·一模）已知函数
，
（其中a，b 为实数，且
）
(1)当
时，
恒成立，求b；
(2)当
时，函数
有两个不同的零点，求a 的最大整数值．（参考数据：
）
5．（2026·广东广州·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
有且仅有1 个零点，求
的值；
(3)若存在
，使得
对任意
恒成立，证明：
．
