第20 讲 三次函数的图象和性质 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精讲......................................................................................................................................2
考点一：三次函数的单调性问题..........................................................................................2
考点二：三次函数的最值、极值问题..................................................................................4
考点三：三次函数的切线问题..............................................................................................5
考点四：三次函数的对称问题..............................................................................................7
考点五：三次函数的零点问题..............................................................................................9
考点六：三次函数的综合问题............................................................................................11
四、高考真题....................................................................................................................................12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2024
10（多选）
6
直接
三次函数的极值、单调性及图象分析
2023
—
—
—
—
2022
—
—
—
—
近三年全国一卷中，三次函数的图象和性质考查了一次.题目以多选题形式出现，综
合性较强，要求学生能够熟练运用导数工具分析三次函数的关键特征.
2. 命题角度与特色
核心考点：三次函数的单调性、极值点以及图象的几何特征.
命题趋势：常以多选题形式出现，结合导数工具对三次函数的图象走势、极值点分布
及函数值大小比较进行综合考查.
试题特点：注重数形结合思想的应用，要求学生能够熟练通过导数获取三次函数的关
键特征，并能灵活运用其图象进行分析.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数研究三次函数单调性与极值的基本方法.
· 强化数形结合意识，能够根据解析式快速画出三次函数的草图并分析其性质.
· 注意总结三次函数图象的对称性及极值点分布规律，提高解题速度.
二、知识清单
设三次函数为f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a,b,c ,d ∈R 且a≠0)，其性质有：
1.基本性质：
① 定义域为R.
② 值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
③ 单调性和图象：
图像特征
a>0, Δ>0
a>0, Δ≤0
a<0, Δ>0
a<0, Δ≤0
图像
2. 三次方程f ( x)=0的实根个数
设三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)，其导函数为二次函数：
f
'( x)=3a x
2+2bx +c(a≠0)，判别式为：Δ= 4 b
2-12ac = 4(b
2-3ac)，设f
'( x)=0的两根为
x1, x2，结合函数草图易得：
① 若b
2-3ac≤0，则f ( x)=0恰有一个实根.
② 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)>0，则f ( x)=0恰有一个实根.
③ 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)=0，则f ( x)=0有两个不相等的实根.
④ 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)<0，则f ( x)=0有三个不相等的实根.
【说明】
· f ( x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴只相交一次，即f ( x)在R上为
单调函数（或两极值同号），所以b
2-3ac≤0（或b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)>0）.
· f ( x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴有两个公共点且其中之一为
切点，所以b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)=0.
· f ( x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴有三个公共点，即f ( x)
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b
2-3ac>0且f ( x1)⋅f ( x2)<0.
3.对称性
① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b
3a ,f(- b
3a)).
② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
三、典题精讲
考点一：三次函数的单调性问题
考法1：根据单调性求参数
例1.已知三次函数f ( x)= 1
3 x
3-(4 m-1)x
2+(15m
2-2m-7)x +2在R上是增函数，则m的取值
范围是（ ）
A. m<2或m>4
B. - 4<m<-2
C. 2<m<4
D. 2≤m≤4
【答案】D
【解析】f
'( x)= x
2-2(4 m-1)x +15m
2-2m-7，由题意得x
2-2(4 m-1)x +15m
2-2m-7≥0恒
成立，∴Δ= 4(4 m-1)
2- 4(15m
2-2m-7)=64 m
2-32m+ 4 -60m
2+8m+28= 4(m
2-6m+8)≤0，
∴2≤m≤4，对应选项D.
考法2：结合韦达定理求参数范围
例2.（2026·湖北·5 月模拟）（多选）已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx +d在(-∞,0]上是增函数，
在[0,2]上是减函数，且方程f ( x)=0有实数根α，β，2(α <2≤β)，则（ ）
A. c =0
B. b≤-3
C. f （1）≥3
D. |α - β |≥3
【答案】ABD
【解析】f
'( x)=3 x
2+2bx +c，因为f ( x)在(-∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，故0为f ( x)
的极大值点，所以f
'（0）=0，所以c =0，故A 正确.此时f ( x)= x
3+b x
2+d，则
f
'( x)=3 x
2+2bx，依题意可得f （2）=0，即8+ 4 b+d =0，故d =- 4(b+2)，令f
'( x)=0，解得
x =0或x =- 2b
3 ，因为f ( x)在(-∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，所以- 2b
3 ≥2，解得
b≤-3，故B 正确.f （1）=1+b+d =1+b- 4(b+2)=-3b-7≥2，故C 错误.因为α，β，
2(α <2≤β)是方程f ( x)=0的三个实数根，所以f ( x)=( x -α )( x - β)( x -2)，所以
f ( x)= x
3-(2+α + β )x
2+(2α +2 β +αβ)x -2αβ，所以{
b=-2-α - β
d =-2αβ
，所以{
α + β =-b-2
αβ =- 1
2 d
，所以
|α - β |=
❑√(α + β)
2- 4 αβ =
❑√(-b-2)
2+2d =
❑√(b+2)
2-8(b+2)=
❑√(b-2)
2-16，b≤-3，∴
b-2≤-5，∴(b-2)
2≥25，∴(b-2)
2-16≥9，∴❑√(b-2)
2-16≥3，即|α - β |≥3，故D 正确.
【考点一 方法总结】
· 处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利
用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
· 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的
关系简化运算.
考点二：三次函数的最值、极值问题
考法3：求三次函数的最值与极值
例3.已知函数f ( x)=- 1
3 x
3+ x
2+2ax，g( x)= 1
2 x
2- 4.
（1）若函数f ( x)在[0,+∞)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）设G( x)= f ( x)- g( x).若0<a<2，G( x)在[1,3]上的最小值为h(a)，求h(a)的零点.
【答案】（1）a>- 1
2；（2）1
12
【解析】（1）∵f ( x)在[0,+∞)上存在单调递增区间，∴f
'( x)=- x
2+2 x +2a>0在[0,+∞)上有
解.又f
'( x)是对称轴为x =1的二次函数，所以f
'( x)在[0,+∞)上的最大值大于0.而f
'( x)的最大值为
f
'（1）=1+2a，∴1+2a>0，解得：a>- 1
2.
（2）G( x)= f ( x)- g( x)=- 1
3 x
3+ 1
2 x
2+2ax + 4，∴G
'( x)=- x
2+ x +2a.由G
'( x)=0得：
x1= 1- ❑√1+8a
2
，x2= 1+ ❑√1+8a
2
.则G( x)在(-∞, x1)，( x2,+∞)上单调递减，在( x1, x2)上单调递
增.又∵当0<a<2时，x1<0，1< x2<3，∴G( x)在[1,3]上的最大值点为x2，最小值为G（1）或
G（3）.而G（3）-G（1）=- 14
3 + 4 a.1°当- 14
3 + 4 a<0，即0<a< 7
6时，
h(a)=G（3）=6a- 1
2 =0，得a= 1
12，此时，h(a)的零点为1
12.2°当- 14
3 + 4 a≥0，即7
6 ≤a<2时，
h(a)=G（1）= 25
6 +2a=0，得a=- 25
12（舍）.综上h(a)的零点为1
12.
考法4：结合导数求区间范围
例4.（2026·浙江·5 月联考）若函数f ( x)= x
3-3 x在区间(m,m+2)上存在最小值-2，则实数
m的取值范围是__.
【答案】[-1,1)
【解析】f
'( x)=3 x
2-3=3( x -1)( x +1)，令f
'( x)=0，得x =-1或x =1，当x<-1或x>1时，
f
'( x)>0，f ( x)单调递增，当-1< x<1时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减，所以f ( x)在x =1处取得极小
值，且极小值为f （1）=-2，又f (-2)=-8+6=-2，因为f ( x)在区间(m,m+2)上存在最小值
-2，所以{
m<1
m+2>1
m≥-2
，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是[-1,1).
考法5：结合不等式解集求参数
例5.（2025·河南·5 月联考）已知函数f ( x)= x
3-9 x
2+ax +b(a,b∈R)，且不等式f ( x)>0的
解集为{x∣x>m，且x≠n}(m,n∈R)，m+n=3，则f ( x)的极大值为（ ）
A. 0
B. 36
C. 72
D. 108
【答案】D
【解析】因为不等式f ( x)>0的解集为{x∣x>m，且x≠n}，则
f ( x)=( x -n)
2( x -m)= x
3-(2n+m)x
2+(2mn+n
2)x -mn
2，故2n+m=9，又m+n=3，故n=6，
m=-3，故f ( x)=( x -6)
2( x +3)，则f
'( x)=2( x -6)( x +3)+( x -6)
2=3 x( x -6)，令f
'( x)=0，解
得x =0或x =6，故f ( x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,6)上单调递减，在(6,+∞)上单调递增，故
x =0是函数f ( x)的极大值点，f ( x)的极大值为f （0）=(0-6)
2×(0+3)=108.
【考点二 方法总结】
· 求三次函数在闭区间上的最值时，先求导确定单调性，比较极值点与区间端点的
函数值大小，必要时需对参数进行分类讨论.
· 已知函数在某区间上存在最值，需先求出函数的极值点，并结合端点值确定包含
极值点的区间范围，从而列出关于参数的不等式组.
· 根据不等式的解集形式，可以反向构造出函数的因式分解形式，利用恒等式求出
参数，再通过导数求极值.
考点三：三次函数的切线问题
考法6：求三次函数的切线方程
例6.已知函数f ( x)= x
3- x.
（1）求曲线y = f ( x)在点M (t ,f (t ))处的切线方程；
（2）设常数a>0，如果过点P(a,m)可作曲线y = f ( x)的三条切线，求m的取值范围.
【答案】（1）y =(3t
2-1)x -2t
3；（2）-a<m<a
3-a
【解析】（1）∵函数f ( x)= x
3- x，∴f
'( x)=3 x
2-1.切线方程为y - f (t )= f
'(t )( x -t )，即
y =(3t
2-1)x -2t
3.
（2）由已知关于t的方程m=(3t
2-1)a-2t
3，即m=-2t
3+3at
2-a(a>0)有三个不等实根.令
g(t )=-2t
3+3at
2-a，则g
'(t )=-6t(t -a).可知g(t )在(-∞,0)递减，在(0,a)递增，在(a,+∞)
递减.g(t )的极小值为：g（0）=-a，极大值为g(a)=a
3-a.所以-a<m<a
3-a.
考法7：根据过某点的切线条数求参数
例7.（2026·安徽·4 月模拟）过曲线C : y = x
3-2ax +b外一点A(-1,1)做C的切线恰好可做两
条，则（ ）
A. 2a-b=1
B. a-b=0
C. a+b=0
D. 2a+b=1
【答案】D
【解析】设切点为P( x0, y0)，据题意：这样的切点有两个，即关于x0的方程有且仅有两根.∵
y
'|x = x0=3 x0
2-2a，∴y =(3 x0
2-2a)( x - x0)+ y0⇒y =(3 x0
2-2a)( x - x0)+( x0
3-2a x0+b)，为过切
点P( x0, y0)的切线，又A(-1,1)在此切线上，∴
1=(3 x0
2-2a)(-1- x0)+( x0
3-2a x0+b)⇒-2 x0
3-3 x0
2+2a+b-1=0⇒2a+b=2 x0
3+3 x0
2+1，令
f ( x)=2 x
3+3 x
2+1，又A(-1,1)不在曲线C上，⇒2a+b≠2，由f ( x)的图像可知2a+b=1.
考法8：结合对称中心求切线与最值
例8.（2026·江西·二模）已知函数f ( x)= x
3-3 x
2+3 x.
（1）求函数f ( x)的图象在点x =0处的切线方程；
（2）若f ( x)-1≤x
3+m在x∈[0,2]上有解，求m的取值范围；
（3）设f
'( x)是函数f ( x)的导函数，f
″( x)是函数f
'( x)的导函数，若函数f
″( x)的零点为x0，
则点( x0,f ( x0))恰好就是该函数f ( x)的对称中心.试求
f(
1
493)+ f(
2
493)+⋯+ f(
984
493)+ f(
985
493)的值.
【答案】（1）3 x - y =0；（2）[-7,+∞)；（3）985
【解析】（1）因为f
'( x)=3 x
2-6 x +3，所以所求切线的斜率k = f
'（0）=3.又因为切点为(0,0)，
所以所求的切线方程为3 x - y =0.
（2）因为f ( x)-1≤x
3+m，所以-3 x
2+3 x -1≤m.因为f ( x)-1≤x
3+m在x∈[0,2]上有解，所以
m不小于y =-3 x
2+3 x -1在区间[0,2]上的最小值.因为x∈[0,2]时，
y =-3 x
2+3 x -1=-3(x - 1
2)
2
- 1
4 ∈[-7 ,- 1
4]，所以m的取值范围是[-7,+∞).
（3）因为f
'( x)=3 x
2-6 x +3，所以f
″( x)=6( x -1).令f
″( x)=0可得x =1，所以函数f ( x)的对称中
心为(1,1).所以当x1+ x2=2时，有f ( x1)+ f ( x2)=2.故f （1）=1，
f(
1
493)+ f(
985
493)= f(
2
493)+ f(
984
493)=⋯= f(
492
493)+ f(
494
493)=2.所以
f(
1
493)+ f(
2
493)+⋯+ f(
984
493)+ f(
985
493)=985.
考法9：切线方程推导及新定义应用
例9.（2025·江西·5 月联考）已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx的图象上有三点A( x1,f ( x1))，
B( x2,f ( x2))，C(- b
3 ,f(- b
3))，且这三点互不重合.记曲线y = f ( x)在点C处的切线为l，若
点A ,B关于l对称，且点C在直线AB上，则称A ,B具有重构性.
①当b=3,c =0时，若A ,B具有重构性，则直线AB的一般式方程为__；
②当bc =9时，若曲线y = f ( x)上不存在具有重构性的两点，则b的取值范围是__.
【答案】①x -3 y +7=0；②(0,3]
【解析】①此时f ( x)= x
3+3 x
2.由题意可知直线AB是过点C且与l垂直的直线，而f (-1)=2，于是
C(-1,2).f
'( x)=3 x
2+6 x，f
'(-1)=-3，故直线AB的斜率k =-
1
f
'(-1)
= 1
3，于是
l AB: y -2= 1
3 ( x +1)，即x -3 y +7=0.经检验，直线符合题意.
②假设曲线y = f ( x)上有两点A ,B具有重构性，此时f ( x)= x
3+b x
2+ 9
b x，f(- b
3)= 2b
3
27 -3，故
C(- b
3 , 2b
3
27 -3).f
'( x)=3 x
2+2bx + 9
b，f
'(- b
3)= 9
b - b
2
3 .当f
'(- b
3)=0，即b=3时，AB⟂x轴，函
数的图象上不存在与x轴垂直的两点，故此时曲线y = f ( x)上不存在具有重构性的两点.当
f
'(- b
3)≠0时，直线AB的斜率
k =-
1
f
'(- b
3)
=
3b
b
3-27，于是l AB: y -(
2b
3
27 -3)=
3b
b
3-27(x + b
3)，即
y =
3b
b
3-27
x +
b
2
b
3-27
+ 2b
3
27 -3.联立{
y =
3b
b
3-27
x +
b
2
b
3-27
+ 2b
3
27 -3
y = x
3+b x
2+ 9
b x
，得
x
3+b x
2+(
9
b -
3b
b
3-27)x -
b
2
b
3-27
- 2b
3
27 +3=0，即(x + b
3)(x
2+ 2b
3 x + 9
b - 2b
2
9 -
3b
b
3-27)=0.显然
该方程的根为- b
3，-b± ❑√Δ
3
，其中Δ=(
2b
3 )
2
- 4(
9
b - 2b
2
9 -
3b
b
3-27).若要使A ,B不具有重构性，
则应令Δ≤0，即b
2
9 + 2b
2
9 - 9
b +
3b
b
3-27
≤0，即b
3-27
3b
+
3b
b
3-27
≤0.设t = b
3-27
3b
，即解t + 1
t ≤0，可
得t <0，即b
3-27
3b
<0，得到b∈(0,3).综上，b的取值范围是(0,3].
【考点三 方法总结】
· 求过某点的切线方程，通常设切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代
入，转化为关于切点横坐标的方程，切线条数即为该方程的实根个数.
· 过某点作曲线的切线有两条，等价于关于切点横坐标的方程有两个不相等的实数
根，通常转化为函数图象与水平直线的交点个数问题.
· 三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称
点函数值之和.
· 处理新定义问题，关键是理解新定义的几何意义或代数特征，将其转化为熟悉的
切线、对称、方程根的分布等问题.
考点四：三次函数的对称问题
考法10：求三次函数的对称中心
例10.给出定义：设f
'( x)是函数y = f ( x)的导函数，f
″( x)是函数y = f
'( x)的导函数.若方程
f
″( x)=0有实数解x = x0，则称( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)的“拐点”.经研究发现所有的三次
函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y = f ( x)的图象的
对称中心.若函数f ( x)= x
3-3 x
2，则f(
1
2023)+ f(
2
2023)+ f(
3
2023)+⋯+ f(
4044
2023)+ f(
4045
2023)=
（ ）
A. -8088
B. -8090
C. -8092
D. -8096
【答案】B
【解析】由f
'( x)=3 x
2-6 x，可得f
″( x)=6 x -6.令f
″( x)=0，可得x =1，又f （1）=1-3=-2，
所以y = f ( x)的图像的对称中心为(1,-2)，即f (1- x)+ f (1+ x)=- 4.所以
f(
1
2023)+ f(
2
2023)+ f(
3
2023)+⋯+ f(
4044
2023)+ f(
4045
2023)=[f(
1
2023)+ f(
4045
2023)]+[f(
2
2023)+ f(
4044
2023)]+⋯
考法11：结合导数求对称中心
例11.（2025·河南·5 月联考）曲线y =- x
3+3 x
2-1的对称中心的坐标为__.
【答案】(1,1)
【解析】设f ( x)=- x
3+3 x
2-1，函数f ( x)的对称中心为(a,b)，则f (a+ x)+ f (a- x)=2b，两边
求导得f
'(a+ x)- f
'(a- x)=0，即f
'(a+ x)= f
'(a- x)，所以函数f
'( x)的图象关于直线x =a对称.因
为f
'( x)=-3 x
2+6 x，故函数f
'( x)的图象关于直线x =1对称，则a=1.因为
f (1+ x)+ f (1- x)=-(1+ x)
3+3(1+ x)
2-1-(1- x)
3+3(1- x)
2-1=2，所以曲线y =- x
3+3 x
2-1的
对称中心为(1,1).
考法12：利用平移后为偶函数求参数
例12.（2026·江西·3 月一模）已知函数f ( x)= x
3-6 x
2+12，若函数g( x)=|f ( x -m)+n|为偶
函数，则（ ）
A. m=2，n=- 4
B. m=-2，n= 4
C. m=2，n= 4
D. m=-2，n=- 4
【答案】B
【解析】f ( x)= x
3-6 x
2+12，f
'( x)=3 x
2-12 x，f
″( x)=6 x -12=0⇒x =2，
f （2）=8-24+12=- 4，对称中心为(2,- 4).g( x)=|f ( x -m)+n|为偶函数，则f ( x -m)+n为
奇函数，对称中心为(0,0).f ( x)向右平移m，向上平移n，对称中心变为(2+m,- 4 +n).所以
2+m=0，- 4+n=0，解得m=-2，n= 4.
【考点四 方法总结】
· 三次函数的导函数是二次函数，二次函数的对称轴即为原三次函数对称中心的横
坐标.
· 利用二阶导数求出三次函数的对称中心，再结合对称性进行求和计算.
· 函数加绝对值后为偶函数，说明原函数为奇函数，即原函数的对称中心为原点.利
用平移规律可求出参数.
· 三次函数导函数的对称轴为x =- b
3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称
轴，可见，y = f ( x)图象的对称中心在导函数y = f
'( x)的对称轴上，且又是两个极值点的中
点，同时也是二阶导为零的点.
· y = f ( x)是可导函数，若y = f ( x)的图象关于点(m,n)对称，则y = f
'( x)图象关于直
线x =m对称.
· 若y = f ( x)图象关于直线x =m对称，则y = f
'( x)图象关于点(m,0)对称.
· 已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d的对称中心横坐标为x0，若f ( x)存在两个极值
点x1，x2，则有
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
=-a( x1- x2)
2= 2
3 f
'( x0).
考点五：三次函数的零点问题
考法13：利用极值乘积判断零点个数
例13.（2026·江西·5 月预测）（多选）设关于实数x的方程为x
3+3 px +q =0，则下列结论
正确的是（ ）
A. 若方程只有一个实数根，则q
2+ 4 p
3≥0
B. 若方程有两个实数根，则q
2+ 4 p
3=0
C. 若方程有三个实数根，则q
2+ 4 p
3<0
D. 若方程有三个实数根，则q
2+ 4 p
3>0
【答案】ABC
【解析】令f ( x)= x
3+3 px +q，则f
'( x)=3 x
2+3 p.若p≥0，则f
'( x)≥0，则f ( x)在R上单调递增，
因为x→-∞时f ( x)→-∞，x→+∞时f ( x)→+∞，则f ( x)在R上只有一个零点，此时满足
q
2+ 4 p
3≥0；若p<0，则当x<- ❑√- p或x>❑√- p时f
'( x)>0，f ( x)单调递增，当- ❑√- p< x<❑√- p
时f
'( x)<0，f ( x)单调递减.f (- ❑√- p)=- p ❑√- p-3 p ❑√- p+q =-2 p ❑√- p+q，
f (❑√- p)= p ❑√- p+3 p ❑√- p+q =2 p ❑√- p+q.若方程只有一个实数根，则f (- ❑√- p)<0或
f (❑√- p)>0，得{
q
2+ 4 p
3>0
q<0
或{
q
2+ 4 p
3>0
q>0
，满足q
2+ 4 p
3≥0，故A 正确；若方程有两个实数根，
则f (- ❑√- p)=0或f (❑√- p)=0，得{
q
2+ 4 p
3=0
q<0
或{
q
2+ 4 p
3=0
q>0
，满足q
2+ 4 p
3=0，故B 正确；若
方程有三个实数根，则f (- ❑√- p)>0且f (❑√- p)<0，即q>2 p ❑√- p且q<-2 p ❑√- p，因为p<0，所
以2 p ❑√- p<0，则q =0满足上述不等式，且q
2+ 4 p
3<0；若q>0，则q>2 p ❑√- p成立，由
q<-2 p ❑√- p得q
2+ 4 p
3<0；若q<0，则q<-2 p ❑√- p成立，由q>2 p ❑√- p得q
2+ 4 p
3<0，故C 正
确，D 错误.故选ABC.
考法14：根据零点个数求参数
例14.（2025·河北·一模）（多选）已知函数f ( x)=a x
3+bx +c(a≠0)，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若a=b=1，则f ( x)在R上单调递增
B. f ( x)的图象关于点(0,c)成中心对称
C. 若b=-3a=1，c =0，则f ( x)在(m
2-10,m)上有最小值的充要条件为-1<m<3
D. 若b=-3，c =1，a>1，则∀x∈[-1,1]，f ( x)≥0的充要条件为a≤4
【答案】AB
【解析】A 选项：当a=b=1时，f
'( x)=3 x
2+1>0，故f ( x)在R上单调递增，故A 正确；B 选项：
由f ( x)+ f (- x)=(a x
3+bx +c)+(-a x
3-bx +c)=2c可知，f ( x)的图象关于点(0,c)成中心对称，
故B 正确；C 选项：当b=-3a=1时，a=- 1
3，c =0，f ( x)=- 1
3 x
3+ x，f
'( x)=1- x
2.令f
'( x)=0，
得x =±1，可得f ( x)在(-∞,-1]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减.若
f ( x)在(m
2-10,m)上有最小值，则f (-1)一定为该区间内的最小值，又f (-1)= f （2），故
m
2-10<-1<m≤2，解得-1<m≤2，故C 错误；D 选项：当c =1，b=-3，a>1时，
f ( x)=a x
3-3 x +1，f
'( x)=3(a x
2-1).令f
'( x)=0，得x =± 1
❑√a，可得f ( x)在(-∞,- 1
❑√a]上单调
递增，在[- 1
❑√a , 1
❑√a]上单调递减，在[
1
❑√a ,+∞)上单调递增，则极小值点x = 1
❑√a ∈(0,1).最小值
可能在x =-1或x = 1
❑√a处取得.需满足{
f (-1)≥0
f(
1
❑√a)≥0，即{
4 -a≥0
1- 2
❑√a ≥0，解得a≤4，结合a>1，得
1<a≤4，故D 错误.故选AB.
【考点五 方法总结】
· 三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值
的乘积符号来判断.
· 根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0
的大小关系列出不等式求解.
考点六：三次函数的综合问题
考法15：由图象判断系数符号
例15.（2025·安徽·二模）函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d的图像如图所示，则（ ）
A. a<0
B. b<0
C. c<0
D. d <0
【答案】B
【解析】观察图象知，f （0）=d >0，函数f ( x)有3 个零点，设3 个零点为
x1, x2, x3( x1< x2< x3)，于是f ( x)=a( x - x1)( x - x2)( x - x3)，当x> x3时，f ( x)>0，而此时
( x - x1)( x - x2)( x - x3)>0，因此a>0.又f
'( x)=3a x
2+2bx +c，函数f ( x)有两个极值点α1,α2，且
α2>α1>0，即f
'( x)=0有两个不等实根，- 2b
3a =α1+α2>0，c
3a =α1α2>0，因此b<0,c>0.所以
a>0,b<0,c>0,d >0.
考法16：综合判断三次函数的性质
例16.（2025·江西·3 月联考）（多选）已知函数f ( x)= x
3-3 x
2-10 x，则下列说法正确的是
（ ）
A. f ( x)有3 个零点
B. f ( x)的图象关于点(1,-24)对称
C. f ( x)既有极大值又有极小值
D. 经过点(-2,0)且与f ( x)的图象相切的直线有2 条
【答案】ACD
【解析】f ( x)= x
3-3 x
2-10 x = x( x -5)( x +2)，令f ( x)=0，得x =0, x =-2, x =5，所以f ( x)有3
个零点，A 正确.因为三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d的图象关于点(- b
3a ,f(- b
3a))对称，所以
f ( x)的图象关于点(1,-12)对称，B 错误.f
'( x)=3 x
2-6 x -10，令3 x
2-6 x -10=0，Δ>0，记方
程的两个根为x1, x2( x1< x2)，则f ( x)在(-∞, x1)，( x2,+∞)上单调递增，在( x1, x2)上单调递减，
所以f ( x)既有极大值又有极小值，C 正确.设切线与f ( x)的图象相切于点(a,a
3-3a
2-10a)，
f
'(a)=3a
2-6a-10，所以切线方程为y =(3a
2-6a-10)( x -a)+a
3-3a
2-10a.因为切线经过点
(-2,0)，所以0=(3a
2-6a-10)(-2-a)+a
3-3a
2-10a，整理得
2a
3+3a
2-12a-20=(a+2)
2(2a-5)=0，该方程有两个解，所以经过点(-2,0)且与f ( x)的图象
相切的直线有2 条，D 正确.
考法17：三次函数性质的综合应用
例17.已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx +d在(-∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程
f ( x)=0有3 个实数根，它们分别是α , β ,2，则α
2+ β
2的最小值是（ ）
A. 5
B. 6
C. 1
D. 8
【答案】A
【解析】由f ( x)= x
3+b x
2+cx +d得f
'( x)=3 x
2+2bx +c，因为f ( x)在(-∞,0]上是增函数，在
[0,2]上是减函数，所以f
'（0）=0，所以c =0，此时f
'( x)=0的另外一个根- 2b
3 ≥2，所以
b≤-3.因为方程f ( x)=0有3 个实数根，它们分别是α , β ,2，所以f （2）=0，所以d =- 4(b+2)，
且f ( x)=( x -2)( x -α )( x - β )= x
3-(α + β +2)x
2+(2α +2 β +αβ)x -2αβ，所以{
b=-α - β -2
d =-2αβ
，则
{
α + β =-b-2
αβ =2b+ 4 ，所以α
2+ β
2=(α + β)
2-2αβ =(-b-2)
2-2(2b+ 4)=b
2- 4，因为b≤-3，所以
b
2≥9，所以α
2+ β
2的最小值是5.
【考点六 方法总结】
· 由三次函数图象判断系数符号：看x→+ ∞时的函数值符号确定a；看与y轴交点确
定d；看极值点横坐标的正负确定b,c.
· 综合判断三次函数的性质，需要熟练掌握三次函数的单调性、极值、零点、对称
中心以及切线方程的求法.
· 三次函数性质的综合应用，常结合导数研究函数的单调性、极值、最值，以及方
程根的分布、不等式恒成立等问题，有时需要构造函数或利用切线放缩.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数f ( x)的定义域为R，而f
'( x)=2( x -1)( x - 4)+( x -1)
2=3( x -1)( x -3)，
易知当x∈(1,3)时，f
'( x)<0，当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时，f
'( x)>0.函数f ( x)在(-∞,1)
上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故x =3是函数f ( x)的极小值点，正确.
对B，当0< x<1时，x - x
2= x(1- x)>0，所以1> x> x
2>0，而由上可知，函数f ( x)在(0,1)上单
调递增，所以f ( x)>f ( x
2)，错误.对C，当1< x<2时，1<2 x -1<3，而由上可知，函数f ( x)在
(1,3)上单调递减，所以f （1）>f (2 x -1)>f （3），即- 4<f (2 x -1)<0，正确.对D，当
-1< x<0时，f (2- x)- f ( x)=(1- x)
2(-2- x)-( x -1)
2( x - 4)=( x -1)
2(2-2 x)>0，所以
f (2- x)>f ( x)，正确.故选ACD.
