第20 讲 三次函数的图象和性质 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精讲......................................................................................................................................2
考点一：三次函数的单调性问题..........................................................................................2
考点二：三次函数的最值、极值问题..................................................................................4
考点三：三次函数的切线问题..............................................................................................5
考点四：三次函数的对称问题..............................................................................................7
考点五：三次函数的零点问题..............................................................................................9
考点六：三次函数的综合问题............................................................................................11
四、高考真题....................................................................................................................................12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2024
10（多选）
6
直接
三次函数的极值、单调性及图象分析
2023
—
—
—
—
2022
—
—
—
—
近三年全国一卷中，三次函数的图象和性质考查了一次.题目以多选题形式出现，综
合性较强，要求学生能够熟练运用导数工具分析三次函数的关键特征.
2. 命题角度与特色
核心考点：三次函数的单调性、极值点以及图象的几何特征.
命题趋势：常以多选题形式出现，结合导数工具对三次函数的图象走势、极值点分布
及函数值大小比较进行综合考查.
试题特点：注重数形结合思想的应用，要求学生能够熟练通过导数获取三次函数的关
键特征，并能灵活运用其图象进行分析.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数研究三次函数单调性与极值的基本方法.
· 强化数形结合意识，能够根据解析式快速画出三次函数的草图并分析其性质.
· 注意总结三次函数图象的对称性及极值点分布规律，提高解题速度.
二、知识清单
设三次函数为f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a,b,c ,d ∈R 且a≠0)，其性质有：
1.基本性质：
① 定义域为R.
② 值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
③ 单调性和图象：
图像特征
a>0, Δ>0
a>0, Δ≤0
a<0, Δ>0
a<0, Δ≤0
图像
2. 三次方程f ( x)=0的实根个数
设三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)，其导函数为二次函数：
f
'( x)=3a x
2+2bx +c(a≠0)，判别式为：Δ= 4 b
2-12ac = 4(b
2-3ac)，设f
'( x)=0的两根为
x1, x2，结合函数草图易得：
① 若b
2-3ac≤0，则f ( x)=0恰有一个实根.
② 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)>0，则f ( x)=0恰有一个实根.
③ 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)=0，则f ( x)=0有两个不相等的实根.
④ 若b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)<0，则f ( x)=0有三个不相等的实根.
【说明】
· f ( x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴只相交一次，即f ( x)在R上为
单调函数（或两极值同号），所以b
2-3ac≤0（或b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)>0）.
· f ( x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴有两个公共点且其中之一为
切点，所以b
2-3ac>0，且f ( x1)⋅f ( x2)=0.
· f ( x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y = f ( x)与x轴有三个公共点，即f ( x)
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b
2-3ac>0且f ( x1)⋅f ( x2)<0.
3.对称性
① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b
3a ,f(- b
3a)).
② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
三、典题精练
考点一：三次函数的单调性问题
考法1：根据单调性求参数
例1.已知三次函数f ( x)= 1
3 x
3-(4 m-1)x
2+(15m
2-2m-7)x +2在R上是增函数，则m的取值
范围是（ ）
A. m<2或m>4
B. - 4<m<-2
C. 2<m<4
D. 2≤m≤4
考法2：结合韦达定理求参数范围
例2.（2026·湖北·5 月模拟）（多选）已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx +d在(-∞,0]上是增函数，
在[0,2]上是减函数，且方程f ( x)=0有实数根α，β，2(α <2≤β)，则（ ）
A. c =0
B. b≤-3
C. f （1）≥3
D. |α - β |≥3
【考点一 方法总结】
· 处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利
用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
· 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的
关系简化运算.
考点二：三次函数的最值、极值问题
考法3：求三次函数的最值与极值
例3.已知函数f ( x)=- 1
3 x
3+ x
2+2ax，g( x)= 1
2 x
2- 4.
（1）若函数f ( x)在[0,+∞)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）设G( x)= f ( x)- g( x).若0<a<2，G( x)在[1,3]上的最小值为h(a)，求h(a)的零点.
考法4：结合导数求区间范围
例4.（2026·浙江·5 月联考）若函数f ( x)= x
3-3 x在区间(m,m+2)上存在最小值-2，则实数
m的取值范围是__.
考法5：结合不等式解集求参数
例5.（2025·河南·5 月联考）已知函数f ( x)= x
3-9 x
2+ax +b(a,b∈R)，且不等式f ( x)>0的
解集为{x∣x>m，且x≠n}(m,n∈R)，m+n=3，则f ( x)的极大值为（ ）
A. 0
B. 36
C. 72
D. 108
【考点二 方法总结】
· 求三次函数在闭区间上的最值时，先求导确定单调性，比较极值点与区间端点的
函数值大小，必要时需对参数进行分类讨论.
· 已知函数在某区间上存在最值，需先求出函数的极值点，并结合端点值确定包含
极值点的区间范围，从而列出关于参数的不等式组.
· 根据不等式的解集形式，可以反向构造出函数的因式分解形式，利用恒等式求出
参数，再通过导数求极值.
考点三：三次函数的切线问题
考法6：求三次函数的切线方程
例6.已知函数f ( x)= x
3- x.
（1）求曲线y = f ( x)在点M (t ,f (t ))处的切线方程；
（2）设常数a>0，如果过点P(a,m)可作曲线y = f ( x)的三条切线，求m的取值范围.
考法7：根据过某点的切线条数求参数
例7.（2026·安徽·4 月模拟）过曲线C : y = x
3-2ax +b外一点A(-1,1)做C的切线恰好可做两
条，则（ ）
A. 2a-b=1
B. a-b=0
C. a+b=0
D. 2a+b=1
考法8：结合对称中心求切线与最值
例8.（2026·江西·二模）已知函数f ( x)= x
3-3 x
2+3 x.
（1）求函数f ( x)的图象在点x =0处的切线方程；
（2）若f ( x)-1≤x
3+m在x∈[0,2]上有解，求m的取值范围；
（3）设f
'( x)是函数f ( x)的导函数，f
″( x)是函数f
'( x)的导函数，若函数f
″( x)的零点为x0，
则点( x0,f ( x0))恰好就是该函数f ( x)的对称中心.试求
f(
1
493)+ f(
2
493)+⋯+ f(
984
493)+ f(
985
493)的值.
考法9：切线方程推导及新定义应用
例9.（2025·江西·5 月联考）已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx的图象上有三点A( x1,f ( x1))，
B( x2,f ( x2))，C(- b
3 ,f(- b
3))，且这三点互不重合.记曲线y = f ( x)在点C处的切线为l，若
点A ,B关于l对称，且点C在直线AB上，则称A ,B具有重构性.
①当b=3,c =0时，若A ,B具有重构性，则直线AB的一般式方程为__；
②当bc =9时，若曲线y = f ( x)上不存在具有重构性的两点，则b的取值范围是__.
【考点三 方法总结】
· 求过某点的切线方程，通常设切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代
入，转化为关于切点横坐标的方程，切线条数即为该方程的实根个数.
· 过某点作曲线的切线有两条，等价于关于切点横坐标的方程有两个不相等的实数
根，通常转化为函数图象与水平直线的交点个数问题.
· 三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称
点函数值之和.
· 处理新定义问题，关键是理解新定义的几何意义或代数特征，将其转化为熟悉的
切线、对称、方程根的分布等问题.
考点四：三次函数的对称问题
考法10：求三次函数的对称中心
例10.给出定义：设f
'( x)是函数y = f ( x)的导函数，f
″( x)是函数y = f
'( x)的导函数.若方程
f
″( x)=0有实数解x = x0，则称( x0,f ( x0))为函数y = f ( x)的“拐点”.经研究发现所有的三次
函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y = f ( x)的图象的
对称中心.若函数f ( x)= x
3-3 x
2，则f(
1
2023)+ f(
2
2023)+ f(
3
2023)+⋯+ f(
4044
2023)+ f(
4045
2023)=
（ ）
A. -8088
B. -8090
C. -8092
D. -8096
考法11：结合导数求对称中心
例11.（2025·河南·5 月联考）曲线y =- x
3+3 x
2-1的对称中心的坐标为__.
考法12：利用平移后为偶函数求参数
例12.（2026·江西·3 月一模）已知函数f ( x)= x
3-6 x
2+12，若函数g( x)=|f ( x -m)+n|为偶
函数，则（ ）
A. m=2，n=- 4
B. m=-2，n= 4
C. m=2，n= 4
D. m=-2，n=- 4
【考点四 方法总结】
· 三次函数的导函数是二次函数，二次函数的对称轴即为原三次函数对称中心的横
坐标.
· 利用二阶导数求出三次函数的对称中心，再结合对称性进行求和计算.
· 函数加绝对值后为偶函数，说明原函数为奇函数，即原函数的对称中心为原点.利
用平移规律可求出参数.
· 三次函数导函数的对称轴为x =- b
3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称
轴，可见，y = f ( x)图象的对称中心在导函数y = f
'( x)的对称轴上，且又是两个极值点的中
点，同时也是二阶导为零的点.
· y = f ( x)是可导函数，若y = f ( x)的图象关于点(m,n)对称，则y = f
'( x)图象关于直
线x =m对称.
· 若y = f ( x)图象关于直线x =m对称，则y = f
'( x)图象关于点(m,0)对称.
· 已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d的对称中心横坐标为x0，若f ( x)存在两个极值
点x1，x2，则有
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
=-a( x1- x2)
2= 2
3 f
'( x0).
考点五：三次函数的零点问题
考法13：利用极值乘积判断零点个数
例13.（2026·江西·5 月预测）（多选）设关于实数x的方程为x
3+3 px +q =0，则下列结论
正确的是（ ）
A. 若方程只有一个实数根，则q
2+ 4 p
3≥0
B. 若方程有两个实数根，则q
2+ 4 p
3=0
C. 若方程有三个实数根，则q
2+ 4 p
3<0
D. 若方程有三个实数根，则q
2+ 4 p
3>0
考法14：根据零点个数求参数
例14.（2025·河北·一模）（多选）已知函数f ( x)=a x
3+bx +c(a≠0)，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若a=b=1，则f ( x)在R上单调递增
B. f ( x)的图象关于点(0,c)成中心对称
C. 若b=-3a=1，c =0，则f ( x)在(m
2-10,m)上有最小值的充要条件为-1<m<3
D. 若b=-3，c =1，a>1，则∀x∈[-1,1]，f ( x)≥0的充要条件为a≤4
【考点五 方法总结】
· 三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值
的乘积符号来判断.
· 根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0
的大小关系列出不等式求解.
考点六：三次函数的综合问题
考法15：由图象判断系数符号
例15.（2025·安徽·二模）函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d的图像如图所示，则（ ）
A. a<0
B. b<0
C. c<0
D. d <0
考法16：综合判断三次函数的性质
例16.（2025·江西·3 月联考）（多选）已知函数f ( x)= x
3-3 x
2-10 x，则下列说法正确的是
（ ）
A. f ( x)有3 个零点
B. f ( x)的图象关于点(1,-24)对称
C. f ( x)既有极大值又有极小值
D. 经过点(-2,0)且与f ( x)的图象相切的直线有2 条
考法17：三次函数性质的综合应用
例17.已知函数f ( x)= x
3+b x
2+cx +d在(-∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程
f ( x)=0有3 个实数根，它们分别是α , β ,2，则α
2+ β
2的最小值是（ ）
A. 5
B. 6
C. 1
D. 8
【考点六 方法总结】
· 由三次函数图象判断系数符号：看x→+ ∞时的函数值符号确定a；看与y轴交点确
定d；看极值点横坐标的正负确定b,c.
· 综合判断三次函数的性质，需要熟练掌握三次函数的单调性、极值、零点、对称
中心以及切线方程的求法.
· 三次函数性质的综合应用，常结合导数研究函数的单调性、极值、最值，以及方
程根的分布、不等式恒成立等问题，有时需要构造函数或利用切线放缩.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
