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小题满分练 8
一、选择题
1．(2022·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁ A)∩B等
U
于( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
答案 D
解析 因为A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，
故∁ A＝{x|－1≤x≤2}，
U
又B＝{x|ln x>0}＝{x|ln x>ln 1}＝{x|x>1}，
故(∁ A)∩B＝{x|1k
1 2
B．kb>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案 B
解析 由b＝＋1＝ln ＋1，
令f(x)＝ln x＋1－x，则f′(x)＝－1，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；
所以f(x)＝ln x＋1－x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，
则f()<0，因此ln ＋1－<0，所以bc.
综上，a>c>b.
二、填空题
13．(2022·潍坊模拟)为了解某社区居民2022年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该
社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8
根据上表可得线性回归方程y＝0.76x＋0.4，则t＝________.
答案 8.5
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝，将(，)
代入y＝0.76x＋0.4可得，
＝0.76×10＋0.4，
解得t＝8.5.
14．(2022·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当00恒成立，则a的取值范围为________．
答案 [1，＋∞)
解析 由余弦定理得cos A＝，
因为00得b2＋c2>a2，
所以若不等式2a＋b2＋c2－3>0，即b2＋c2>3－2a恒成立，则a2≥3－2a，
即(a＋3)(a－1)≥0，所以a≥1或a≤－3(舍)．
15．(2022·天津模拟)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．
答案 2
解析 因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝2，
当且仅当＝，且ab＝1，
即或时，等号成立．
16．(2022·潍坊模拟)已知正方体 ABCD－ABC D 的棱长为 1，空间一动点 P 满足
1 1 1 1
AP⊥AB，且∠APB＝∠ADB ，则tan∠APB＝________，点P的轨迹围成的封闭图形的面
1 1 1 1 1
积为________．
答案
解析 tan∠APB＝tan∠ADB ＝＝.
1 1由正方体ABCD－ABC D 知AB⊥平面ABCD ，
1 1 1 1 1 1 1
又点P满足AP⊥AB，
1 1
所以点P在平面ABCD 内运动，
1 1
如图，连接AB，交AB 于点O，连接PO.
1 1
由对称性知，∠APO＝∠BPO，
1
所以tan∠APB＝＝，
1
解得tan∠APO＝，
所以PO＝＝，
所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，为半径的圆，
所以面积S＝π×2＝.
