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小题满分练 8
一、选择题
1．(2022·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁ A)∩B等
U
于( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
答案 D
解析 因为A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，
故∁ A＝{x|－1≤x≤2}，
U
又B＝{x|ln x>0}＝{x|ln x>ln 1}＝{x|x>1}，
故(∁ A)∩B＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．
U
2．(2022·葫芦岛模拟)某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x(单位：℃)的关
系．现收集了7组观测数据(x，y)(i＝1,2，…，7)得到如图所示的散点图．
i i
由此散点图，在20 ℃至36 ℃之间，下面四个回归方程类型中，最适宜作为红铃虫产卵数
y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 C
解析 由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的升高，增长速度越来越快，所以y＝a
＋bex最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型．
3．(2022·中山模拟)已知{a}为正项等比数列，且aa ＝4，设T 为该数列的前n项积，则T
n 2 4 n 5
等于( )
A．8 B．16 C．32 D．64
答案 C
解析 因为{a}是正项等比数列，
n
所以a＝aa＝4，a＝2或a＝－2(舍去)，
2 4 3 3
T＝aaaaa＝a＝25＝32.
5 1 2 3 4 5
4．(2022·烟台模拟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(a－2b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )A. B. C. D.
答案 B
解析 由(a－2b)⊥a，可得(a－2b)·a＝a2－2ab＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝0，
则|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，
则cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0，π]，则〈a，b〉＝.
5．(2022·杭州模拟)古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作
最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器(内装一定量的细沙)，
其三视图如图所示(沙漏尖端忽略不计)，则该几何体的体积为( )
A. B. C．4π D．8π
答案 A
解析 由三视图知，几何体是底面直径为2的双锥体，且两个锥体的高为2，如图所示，
所以几何体体积为V＝2××2×π×12＝.
6．(2022·邯郸模拟)已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若
CA·CB＝0，则m的值为( )
A．－4或0 B．－4或4
C．0或4 D．－4或2
答案 A
解析 由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，
则圆心为C(0，－2)，半径为2，
由CA·CB＝0，得CA⊥CB，即圆心C到直线x－y＋m＝0的距离为2×＝，
即＝，即m＝0或m＝－4.
7．(2022·福州模拟)充电电池是电动汽车的核心零件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向，已知电池充入的电量E(单位：kW·h)与充电时间t(单位：min)满足函
数E(t)＝M(1－e－kt)，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两
个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80 kW·h，充电30 min充入了40 kW·h的电量；
电池B的容量为60 kW·h，充电15 min充入了20 kW·h的电量．设电池A的充电效率为k ，
1
电池B的充电效率为k，则( )
2
A．k>k
1 2
B．k<k
1 2
C．k＝k
1 2
D．k，k 的大小关系无法确定
1 2
答案 B
解析 由题意得40＝80(1－ )，则 ＝，
同理20＝60(1－ )，
则 ＝，
得 ＝<，
由指数函数单调性得－30k<－30k，即k<k.
2 1 1 2
8．(2022·哈师大附中模拟)若在区间[－1,1]内随机取一个实数t，则直线y＝tx与双曲线－y2
＝1的左、右两支各有一个交点的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 双曲线的渐近线斜率为±，则|t|<，即－<t<，故所求概率为P＝.
9．(2022·潍坊质检)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结
论正确的是( )
①复数z的虚部为i；
②＝－i；
③z2＝z－1；
④复数z的共轭复数为－＋i.
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
答案 B
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，所以
解得
即z＝＋i.
对于①，复数z的虚部为，故①错误；
对于②，＝＝－i，故②正确；
对于③，因为z2＝2＝－＋i，
z－1＝－＋i，
所以z2＝z－1，故③正确；
对于④，复数z的共轭复数为－i，故④错误．
10．(2022·成都模拟)若函数f(x)＝2sin＋m(0<ω<5)满足f ＋f ＝2，则
ω＋m的值为( )
A．1 B．3 C．4 D. 5
答案 B
解析 因为函数f(x)满足f ＋f ＝2，故函数f(x)关于点对称，
所以m＝1，且sin＝0，
即ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝3k－1(k∈Z)，
又0<ω<5，故当k＝1时，ω＝2.
故ω＋m＝3.
11．若数列{b}满足：若b ＝b(m，n∈N*)，则b ＝b ，则称数列{b}为“等同数列”．
n m n m＋1 n＋1 n
已知数列{a}满足a ＝5，且a ＝n(a －a)，若“等同数列”{b}的前n项和为S ，且b ＝
n 5 n n＋1 n n n 1
a＝b，b＝a，S＝a ，则S 等于( )
1 4 2 2 5 10 2 023
A．4 711 B．4 712 C．4 714 D．4 719
答案 D
解析 由a＝n(a －a)得＝，则＝＝＝…＝＝1，
n n＋1 n
故a＝n，所以b＝a＝b＝1，b＝a＝2，
n 1 1 4 2 2
所以b＝b＝2，因为S＝a ＝10，
5 2 5 10
所以1＋2＋b＋1＋2＝10，解得b＝4，同理得b＝b＝4，b＝b＝1，b＝b＝2，…，故数
3 3 6 3 7 4 8 5
列{b}是以3为周期的数列，
n
所以S ＝S ＝(1＋2＋4)×674＋1＝4 719.
2 023 674×3＋1
12．已知a＝e0.3，b＝＋1，c＝，则它们的大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案 B
解析 由b＝＋1＝ln ＋1，
令f(x)＝ln x＋1－x，则f′(x)＝－1，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；
所以f(x)＝ln x＋1－x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，
则f()<0，因此ln ＋1－<0，所以b<c.又因为c＝<1.3，所以ln＋1<<1.3，得ln<0.3＝ln e0.3，
故<e0.3，有a>c.
综上，a>c>b.
二、填空题
13．(2022·潍坊模拟)为了解某社区居民2022年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该
社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8
根据上表可得线性回归方程y＝0.76x＋0.4，则t＝________.
答案 8.5
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝，将(，)
代入y＝0.76x＋0.4可得，
＝0.76×10＋0.4，
解得t＝8.5.
14．(2022·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当0<A<时，若不
等式2a＋b2＋c2－3>0恒成立，则a的取值范围为________．
答案 [1，＋∞)
解析 由余弦定理得cos A＝，
因为0<A<，所以由cos A>0得b2＋c2>a2，
所以若不等式2a＋b2＋c2－3>0，即b2＋c2>3－2a恒成立，则a2≥3－2a，
即(a＋3)(a－1)≥0，所以a≥1或a≤－3(舍)．
15．(2022·天津模拟)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．
答案 2
解析 因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝2，
当且仅当＝，且ab＝1，
即或时，等号成立．
16．(2022·潍坊模拟)已知正方体 ABCD－ABC D 的棱长为 1，空间一动点 P 满足
1 1 1 1
AP⊥AB，且∠APB＝∠ADB ，则tan∠APB＝________，点P的轨迹围成的封闭图形的面
1 1 1 1 1
积为________．
答案
解析 tan∠APB＝tan∠ADB ＝＝.
1 1由正方体ABCD－ABC D 知AB⊥平面ABCD ，
1 1 1 1 1 1 1
又点P满足AP⊥AB，
1 1
所以点P在平面ABCD 内运动，
1 1
如图，连接AB，交AB 于点O，连接PO.
1 1
由对称性知，∠APO＝∠BPO，
1
所以tan∠APB＝＝，
1
解得tan∠APO＝，
所以PO＝＝，
所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，为半径的圆，
所以面积S＝π×2＝.
