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【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）
黄金卷 2
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）计算−3−2的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
【答案】C
【分析】先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可．
【详解】解：−3−2=−3+(−2)=−5．
故选：C．
【点睛】此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键．
2．（2022·四川巴中·统考中考真题）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意，
B不是轴对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，不符合题意，
D是轴对称图形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．
3．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算(−3x) 2 ⋅2x正确的是（ ）
A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．−12x3
【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．
【详解】(−3x) 2 ⋅2x=9x2·2x=18x3
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关
键．
4．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使
CD=AC，连接AD，则∠D的度数（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
【答案】A
【分析】利用等边对等角求得∠B=∠ACB=78°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=24°，
∴∠B=∠ACB=78°．
∵CD=AC，∠ACB=78°，∠ACB=∠D+∠CAD，
1
∴∠D=∠CAD= ∠ACB=39°．
2
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，
难度不大．
5．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的
一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2【答案】
【分析】C连接 ，则 的长就是 的最小值，证明△ 是等边三角形， 是高线，利用三角函
数即可求解．AF AF AM+FM ABC AF
【详解】解：连接 ，则 的长就是 的最小值．
AF AF AM+FM
∵四边形 是菱形，
＝A，BCD
∴A又B∵∠BC ＝ ，
AB是C等6边0°三角形，
∴△∵ACBFC =BF
是 的中点，
∴F BC ．
∴AF⊥BC √3
则 ＝ ＝× =√3．
2
AF AB•sin60° 2
即MA+MF的最小值是√3．
故选：
【点睛C】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定 的长就是MA+MF的最小值是关键．
6．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等A式Fkx>−x+3的解集是（ ）
A．x<2 B．x>2 C．x<1 D．x>1
【答案】
D【分析】写出直线 ＝ 在直线 ＝−＋ 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据y图k象x可得：不y等式x 3＞−＋ 的解集为：＞．
故选： ． kx x 3 x 1
【点睛D】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解
题的关键．
7．（2022·贵州黔西·统考中考真题）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，
把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（ ）
1
A．α B．90°−α C． α D．90°−2α
2
【答案】
【分析】B根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 ，根据折叠的性质可知
∠ α，根据平行线的性质，可得出∠CD=BD=AD，根据等边对等角即可求得
∠B=∠DC的B=度∠数D，CE最=∠后E∠DCE=AC 即可求出． AED=∠EDC
【EA详D解】∵ 是斜边 的中=∠点E，AD△-∠CAD为直角三角形，
D ， AB ABC
∴CD=BD=由AD△ 沿 折叠得到，
∵△CDE CDB，CD
∴△则CDE≌△CDB ，
CD=BD=AD=ED α，
∴∠B=∠DCB=∠DCαE，=∠DEC=
∴∠∵EDACE=∥18D0C°-2，α，
∴∠AED=∠E，DC=180°-2
∵ED=AD α，
∴∠EAD=α∠，A△ED=18为0°直-2角三角形，
∵∠B= ABαC，
∴∠C∠ADE=A9C0°- α （ α） α，
∴故选：=．∠EAD-∠CAD=180°-2 - 90°- =90°-
【点睛B】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及
直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．
8．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两
点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0
【答案】
【分析】D结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；
、根据图像A开口向下，对称轴为x=1，当x>1，y随x的增大而减小；当x<1，y随x的增大而增大，故
B当−1<x<1时，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴
C
x +(−1)
x= B =1，解得x =3，即B(3,0)，故该选项不符合题意；
2 B
、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故该选项符合题意；
D故选： ．
【点睛D】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交点A(−1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
9．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：3x2−3=_____．
【答案】3(x+1)(x−1)##3(x−1)(x+1)
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．
【详解】3x2−3
=3(x2−1)
=3(x+1)(x−1)，
故答案：3(x+1)(x−1)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一
个因式都不能再分解为止．
10．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种
元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为
__________度．（写出一个即可）
【答案】 或 或 或 或 （写出一个即可）
【分析】60如图1（20见解1析80），2求40出图3中00正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．
360°
【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角∠1= =60°，
6
∵0°<α<360°，
∴角α可以为60°或120°或180°或240°或300°，
故答案为： 或 或 或 或 （写出一个即可）．
60 120 180 240 300【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
11．（2022·江苏镇江·统考中考真题）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为
_________kg．
【答案】
【分析】5根据频数分布直方图中(69.5−39.5)÷6即可求解．
【详解】解：依题意，组距为(69.5−39.5)÷6 =5
故答案为： kg,
【点睛】本5题考查了频数直方图，求组距，理解频数直方图中组距相等是解题的关键．
m−2
12．（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，则m的取值范围
x
是 _____．
【答案】 ＜
【分析】m由反2比例函数图像经过第二、四象限，得出 ﹣＜，求出 范围即可．
m−2 m 2 0 m
【详解】解：∵反比例函数 ＝ 的图像经过第二、四象限，
x
y
﹣＜，
∴m得：2 ＜0 ．
故答m案为2： ＜．
【点睛】本m题主2要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于 的不等式，是
解题的关键． m13．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形
内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF
长的最小值为 _____．
【答案】2√5−2
【分析】如图，由 ＝，确定E在以 为圆心，半径为 的圆上运动，连接 ， 再证明
△ADE≌△CDFE（G 2）， 可得AEG=CF，可得当A，2E，G三点共线时A，EAE最短，则CF最短，再利
用勾股定理可得答S案AS．
【详解】解：如图，由 ＝，可得E在以 为圆心，半径为 的圆上运动，连接 ，
EG 2 G 2 AE
∵正方形 ，
∴AD= ACBDCD,∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
，
∵D∴E△=DAFDE≌△CDF（ ），
∴AE=CF，
SAS
∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，
∵G位 中点，BC=AB=4，
∴BGB = C 2，
此时AG=√BG2+AB2=√22+42=2√5，
此时AE=2√5−2，所以 的最小值为：2√5−2.
故答CF案为：2√5−2
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆
的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）（2022·内蒙古·中考真题）计算： ( − 1) −1 +2cos30°+(3−π) 0−√3−8．
2
【答案】√3+1
【分析】根据负整数指数幂、 角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合
运算即可． 30°
1 √3
= +2× +1−(−2)
【详解】原式 1 2
−
2
=−2+√3+1+2
=√3+1．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记 角的余弦值是解答本题的基
础． 30°
15．（5分）（2022·宁夏·中考真题）解不等式组：¿．
【答案】不等式组的解集是−1<x≤1
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−1，
∴不等式组的解集是−1<x≤1．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．
2 4
16．（5分）（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1− =
3−x x−3
【答案】x=5
【分析】先方程两边同时乘以(x−3)，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为 即可．
【详解】解：方程两边同时乘以(x−3)得到：x−3+2=4，
0
解出：x=5，当x=5时分式方程的分母不为 ，
∴分式方程的解为：x=5．0
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
17．（5分）（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC<BC．
(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；(不要求写作法，但要
保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，若AB=12，AC=2EC，求AE的长．
【答案】 见解析
AE= (16)
(2)
【分析】（）延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A'，作线段A'B的垂直平分线，
交BC于点1E，连接DE，点E为所求；
（）连接AE，设EC=m，则AC=2m，根据相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，根据相似三角形
的2性质即可求解．
【详解】（）解：如图所示，延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A'，作线段
A'B的垂直1平分线，交BC于点E，连接DE，点E为所求；
根据作图可知，AC=C A',BE=EA',BD=AD，
∴BE+BD=EA'+AD=EC+AC+AD，
即直线ED平分△ABC的周长（）如图，连接AE，
2
∵AC=2EC，设EC=m，则AC=2m，
由作图可知BE=AC+EC=3m，
∴BC=4m，
EC AC 1
∴ = = ，
AC BC 2
又∠C=∠C，
∴△ACE∽△BCA，
AE CE 1
∴ = = ，
BA CA 2
∵AB=12，
1
∴AE= AB=6．
2
【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及
相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（5分）（2022·吉林长春·校联考模拟预测）在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，
∠BAC=∠DAE．
(1)如图①，求证：∠ABC=∠ADE；
(2)如图②，若AD平分∠CAE，∠DAE=30°，点C在线段BE上，则∠D= 度．
【答案】 见解析
(1)
(2)30【分析】（）利用SAS证明△ABC≌△ADE，即可得出结论；
（）证明1△ACE是等边三角形，∠AFB=90°，利用（）的结论，即可求解．
【2详解】（）证明：在△ABC和△ADE中， 1
¿， 1
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ABC=∠ADE；
（）解：∵AD平分∠CAE，∠DAE=30°，∠BAC=∠DAE，
∴2∠CAE=60°，∠BAC=∠DAE=30°，
∵AC=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，∠AFB=90°，
∴∠ABC=30°，
由（）得∠ABC=∠D，
∴∠1D=30°，
故答案为： ．
【点睛】本30题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图
形的性质并准确识图是解题的关键．
19．（5分）（2022·江苏镇江·统考中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一
份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该
公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产
量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续
生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
【答案】不能，理由见解析，为确保按期交货，从 日开始每天的生产量至少达到 件
【分析】设 日开始每天生产量为x件，根据题意20列出一元一次方程，继而根据，1如30果按照公司 日开
始的生产速10度继续生产该产品，截止月底生产的天数为 天，列出一元一次不等式，求得从 日10开始每
天的生产量至少达到 件，即可求解． 9 20
【详解】解：设 1日30开始每天生产量为x件，
根据题意，得31(0x+25)+6x=3830−2855．
解得，x=100．
如果按照公司 日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为 天，
因此该公司10天共可生产 件产品． 9
因为900+ 93830=4730< 9050000，所以不能按期完成订单，
由(5000−3830)÷9=130，
所以为确保按期交货，从 日开始每天的生产量至少达到 件．
【点睛】本题考查了一元20一次方程的应用，一元一次不等1式3的0应用，根据题意列出方程与不等式是解题的
关键．
20．（5分）（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、
八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名
学生（用C，D表示）获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名
来自七年级、一名来自八年级的概率．
1
【答案】 ；
2
(1)
2
作图见解析， ．
3
(2)
【分析】（）直接根据概率公式求解即可；
（）画树1状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
2 2 1
【详解】（）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 = ，
4 2
1
1
故答案为： ；
2（）树状图如下：
2
由表知，共有 种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有 种结
果， 12 8
8 2
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为 ＝ ．
12 3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件 或事件 的概率． n
21．（6A分）B（2022·广东广m州·统考中考真题）某数学活动小A组利用太B阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆
的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子
为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，
cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．【答案】 BC=8.0m；
A(B1) =12.8m；②旗杆 高度约12.8m．
(2)① AB
【分析】（）根据 ，求解即可；
（）① 1 B时C， =连5C接D ，则有△ ，根据相似的性质求解即可；②当α=54.46°时，作点
2 CE=1.0m DE DEC∽△ACB
AF
到 的垂线段 ，在 中， =tanα，求出AF=DF·tanα≈8.0×1.40=11.20m，进一步可
DF
D AB DF Rt△ADF
求出 ．
（A）B=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m
解1：BC=5CD=5×1.6m=8.0m．
（）
解2：① 时，连接 ，则有△ ，
CE=1.0m DE DEC∽△ACB
DC AB
∴ = ，
CE BC
DC·BC 1.6×8.0
∴AB= = =12.8m，
CE 1.0
②当α=54.46°时，作点 到 的垂线段 ，
D AB DF则四边形 是矩形， ， ，
BCDFAF FB=DC=1.6m FD=BC=8.0m
中， =tanα，
DF
Rt△ADF
∴AF=DF·tanα≈8.0×1.40=11.20m．
．
∴A∴B=旗A杆F+FB高≈1度1约.20m+1.6．m≈12.8m
【点睛A】B本题考查12相.8m似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，
解直角三角形．
22．（7分）（2022·四川巴中·统考中考真题）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设
了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随
机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球
人数 50 30 80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：(1)抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表
法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】 ，
480人(1)200 40
(2) 3
5
(3)
【分析】（）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（）先求1出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以 ，即可得出答案．
（2 ）用树状图表示 男 女共 名学生，现从中随3机20抽0取 名学生参加学校足球队，所有可能出现的结
果3情况，进而求出3答案2即可．5 2
【详解】（）抽取的学生共有：80÷40%=200（人）
参加围棋社1的有：200−50−30−80=40（人）
,
（）若该校有 人，估计全校参加篮球社的;学生共有
2 30 3200
3200× =480（人）
200
,
（）设事件M为：恰好抽到一男一女
3
∵所有等可能出现的结果总数为 个，事件M所含的结果数为 个
20 12 312
∴P(M)= =
20 5
3
∴恰好抽到一男一女概率为 ．
5
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概
率．
23．（7分）（2022·新疆·统考中考真题）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B
地，其中甲先出发1h，如图是甲，乙行驶路程y (km),y (km)随行驶时间x(h)变化的图象，请结合图
甲 乙
象信息．解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为___________km/h；
(2)分别求出y ,y 与x之间的函数解析式；
甲 乙
(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义．
【答案】
y =
(1
6
)
0
60
x，y =100x−100
甲 乙
(2) 点 的坐标为(2.5,150)，点 的实际意义为：甲出发2.5h时，乙追上甲，此时两人距 地150km
(3) C C A
【分析】（）观察图象，由甲先出发1h可知甲从 地到 地用了5h，路程除以时间即为速度；
（）利用1待定系数法分别求解即可； A B
（2 ）将y ,y 与 之间的函数解析式联立，解二元一次方程组即可．
甲 乙
【3详解】（）解x：观察图象，由甲先出发1h可知甲从 地到 地用了5h，
， 两地1相距300km， A B
∵A∴甲B的速度为300÷5=60 (km/h)，
故答案为： ；
（）解：6设0 y 与 之间的函数解析式为y =k x+b ，
甲 甲 1 1
将2点(0,0)，(5,30x0)代入得¿，
解得¿，
∴y 与 之间的函数解析式为y =60x，
甲 甲
同理，x设y 与 之间的函数解析式为y =k x+b ，
乙 乙 2 2
x将点(1,0)，(4,300)代入得¿，
解得¿，
∴y 与 之间的函数解析式为y =100x−100；
乙 乙
（）解x：将y ,y 与 之间的函数解析式联立得，
甲 乙
¿3， x
解得¿，
∴点 的坐标为(2.5,150)，
点C的实际意义为：甲出发2.5h时，乙追上甲，此时两人距 地150km．
【C点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到求一次函数A解析式，求直线交点坐标等知识点，读懂题意，
从所给图象中找到相关信息是解题的关键．
24．（8分）（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，
以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=2√3，求B´D的长．
【答案】 见解析
4 (1)
π
3
(2)
【分析】（）连接 ．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠＝∠ ，∠＝∠ ．再根据余角性
质及三角形1的内角O和D定理可得∠ ＝ ﹣（∠ ）A＝ AD．C最后由B切线B的D判O定定理可得结论；
（）根据等边三角形的判定与O性DC质可1得80∠° ＝A∠DC+∠﹣BDO ＝90°．再由解直角三角形及三角形内角和
定2理可得∠ 的度数，最后根据弧长公D式CO可得答A案CB．∠ACD 30°
【详解】（BOD）证明：连接 ．
1 OD＝ ，
∵AC ＝CD∠ ．
∴∠A ＝AD，C
∵OB ＝OD∠ ．
∴∠B ＝BDO，
∵∠ACB 90＝° ．
∴∠A+∠B 90° ＝ ．
∴∠ADC+∠＝BDO﹣9（0°∠ ）＝ ．
∴∠又O∵DC 1是80⊙° 的半A径D，C+∠BDO 90°
OD是⊙ O的切线．
∴C（D）解O：∵ ＝ =2√3，∠＝ ，
2 是等AC边三C角D形． A 60°
∴△ACD＝ ．
∴∠ACD ＝60∠° ﹣ ＝ ．
∴∠在DCO AC中B，∠AC＝D 30° =2√3⋅ ＝．
Rt△＝OCD﹣ O＝D C，Dtan∠＝DCO， tan30° 2
∵∠B 90°＝∠∠A＝30°．OB OD
∴∠∴O∠DBBOD＝B1803°﹣0°（∠B+∠BDO）＝120°．
120π×2 4
∴ ⏜ 的长= = π．
BD
180 3
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的
关键．
25．（85分）（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y
轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请
求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】 y=−x2+2x+3
4(；1)②是，定值为8，理由见解析
(2)①
【分析】（）由当y≥0时，−1≤x≤3，可知x =−1，x =3是ax2+2x+c=0的两根，代入方程可得a,c
1 2
从而得解；1
（）①把x=2代入抛物线解析式可得 点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得 点坐标，
从2而得知线段CD∥x轴，利用配方法D可知点 坐标，从而利用 C
F
1
S =S +S = CD(y −y )求面积；
四 边 形ACF△DFCD △ACD 2 F A
②设D(m,−m2+2m+3)(1<m<3)，用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x=1得y ，
M
y ，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值 ．
N
【详解】（）解：∵当y≥0时，−1≤x≤3， 8
∴x =−1 1，x =3是ax2+2x+c=0的两根，A(−1,0)，B(3,0)，
1 2
∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；（）①把x=2代入y=−x2+2x+3得：y=3，
∴2D(2,3)．
又当x=0，y=3，
∴C(0,3)，
∴线段CD∥x轴．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴F(1,4)，
1
S =S +S = CD(y −y )=4；
四 边 形ACF△DFCD △ACD 2 F A
②设D(m,−m2+2m+3)(1<m<3)，
直线AD:y=k x+b ，BD:y=k x+b ，
1 1 2 2因此可得：
¿或¿，
解得：¿或¿，
∴直线AD:y=(3−m)x+(3−m)，
BD:y=−(m+1)x+3(m+1)．
令x=1得y =6−2m，y =2m+2，
M N
∴ME=6−2m，NE=2m+2，
∴NE+ME=8．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数
法和面积求法是解题的关键．
26．（10分）（2022·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将
一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上
（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
【答案】 2√3
√6±(11)
(2)5√3
π
6
(3)
7√3
4
(4)
【分析】（）在 中，根据余弦的定义求解即可；
（）分点1E在BRCt△上B方EF和下方两种情况讨论求解即可；
（2 ）取BC的中点O，连接GO，从而求出 √3，得出点G在以O为圆心，√3为半径的圆上，然后根据
弧3长公式即可求解； OG=
（）由（）知，点G在以O为圆心，√3为半径的圆上，过 作 于 ，当 在 的反向延长线
上4时， 3最大，即点G到直线AB的距离的最大，在 O 中O求H⊥出AB ，H进而可G求OH
【详解GH】（）解：由题意得，∠BEF=∠BED=9R0t△°，BOH
OH GH.
1 BE
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC= ．
BF
BE 3
∴BF= = =2√3．
cos∠ABC cos30°
（）①当点E在BC上方时，
如2图一，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
AC
∴tan∠ABC= ，
BC
AC 3
∴BC= = =3√3．
tan∠ABC tan30°
∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，
DE
BE=3，tan∠DBE= ，
BE
∴DE=BE⋅tan30°=√3．∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°−∠DEB=90°．
又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=3√3，BE=3，
∴CE=√BC2−BE2=3√2，
∴CD=CE+DE=3√2+√3．
1 1
∵在△BCD中，S = CD⋅BE= BC⋅DH，
△BCD 2 2
CD⋅BE
∴DH= =√6+1．
BC
②当点E在BC下方时，
如图二，
在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=3√3，
∴CE=√BC2−BE2=3√2．
∴CD=CE−DE=3√2−√3．
过点D作DM⊥BC，垂足为M．
1 1
在△BDC中，S = BC⋅DM= CD⋅BE，
△BDC 2 2
∴DM=√6−1．
综上，点D到直线BC的距离为√6±1．
1
（）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO= BD=√3．
2
3∴点G在以O为圆心，√3为半径的圆上．
当三角板DEB绕点 顺时针由初始位置旋转到点C、、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为
B B
150 5√3
150°所对的圆弧，圆弧长为 ×2π×√3= π．
360 6
5√3
∴点G所经过的路径长为 π．
6
（）解：由（）知，点G在以O为圆心，√3为半径的圆上，
如4图四，过 3作 于 ，
O OH⊥AB H
当 在 的反向延长线上时， 最大，即点G到直线AB的距离的最大，
G OH GH 1 3√3
在 中，∠ ，∠ ，BO= BC= ，
2 2
Rt△BOH BHO=90° OBH=30°
3√3 3√3
∴OH=BO⋅sin∠OBH= ⋅sin30°= ，
2 4
3√3 7√3
∴GH=OG+OH=√3+ = ，
4 4
7√3
即点G到直线AB的距离的最大值为
4
.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方
是解第（）的关键，确定点 的运动轨迹是解第（）（）的关键
2 G 3 4 .
