【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）
黄金卷 3
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（辽宁大连·中考真题）下列四个数中，比−1小的数是（ ）
1
A．−2 B．− C．0 D．1
2
【答案】A
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，
绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
1
-2＜-1，0＞-1，− ＞-1，1＞-1，
2
∴四个数中，比-1小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（
）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视
图是解题的关键．
3．（2022·湖南长沙·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a7÷a5=a2 B．5a−4a=1 C．3a2 ⋅2a3=6a6 D．(a−b) 2=a2−b2
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. a7÷a5=a2，故该选项正确，符合题意；
B. 5a−4a=a，故该选项不正确，不符合题意；
C. 3a2 ⋅2a3=6a5，故该选项不正确，不符合题意；
D. (a−b) 2=a2−2ab+b2，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘
法公式是解题的关键．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AD,BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与
⊙O相切于点A，连接BD，若∠P=40°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65° B．60° C．50° D．25°
【答案】A
【分析】由切线性质得出∠PAO=90°，根据三角形的内角和是180°、对顶角相等求出∠BOD=∠AOP=50°，即可得出答案；
【详解】解：∵PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
∴ OA⊥PA，
∴ ∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴ ∠AOP=50°，
∴ ∠BOD=∠AOP=50°，
∵OB=OD，
∴ ∠OBD=∠ODB，
1
∴ ∠ADB= ×(180°−50°)=65°，
2
故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形
的内角和是180°，解题关键根据切线性质推出∠PAO=90°．
5．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交
于点A，则关于x，y的二元一次方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组¿的解是¿．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组
的解．
6．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
1
A．OB= CE B．△ACE是直角三角形
2
1
C．BC= AE D．BE=CE
2
【答案】D
【分析】由菱形的性质可知AC⊥DB，AO=OC，由两直线平行，同位角相等可以推出
1 1
∠ACE=∠AOB=90°，再证明Rt△ACE∼ Rt△AOB，得出OB= CE，AB= AE，由直角三角形
2 2
1
斜边中线等于斜边一半可以得出BC= AE．现有条件不足以证明BE=CE．
2
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥DB，AO=OC，
∴∠AOB=90°，
∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AOB=90°，
∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；
∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，
∴Rt△ACE∼ Rt△AOB，
OB AB OA 1
∴ = = = ，
CE AE AC 2
1 1
∴OB= CE，AB= AE，故A选项正确；
2 2
∴BC为Rt△ACE斜边上的中线，
1
∴BC= AE，故C选项正确；
2现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，
难度一般，由菱形的性质得出AC⊥DB，AO=OC是解题的关键．
7．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、
CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
5 5 5
A． B．1 C． D．
6 4 3
【答案】A
1
【分析】根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF= DC=3，
2
1 15
CE=BE= BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH= ，根据三角形的中位线
2 2
EH GH
求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∼△DFG，根据相似三角形的性质得出 = ，再求出
DF FG
答案即可．
【详解】解析：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
1 1
∴DF=CF= DC=3，CE=BE= BC=2，
2 2
∵EH∥CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，
1 3
∴EH= CF= ．
2 2
由勾股定理得：BF=√BC2+CF2=√42+32=5，1 5
∴BH=FH= BF= ，
2 2
∵EH∥CD，
∴△EHG∼△DFG，
EH GH
∴ = ，
DF FG
3
2 GH
∴ = ，
3 5
−GH
2
5
解得：GH= ，
6
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
8．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，
0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
2
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
3
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
b
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
2a∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
b
D．∵- =1，故b=-2a，
2a
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
2
∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
3
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
9．（2022·山东淄博·统考中考真题）要使式子√x−5有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≥5
【分析】根据√a(a≥0)，二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可．
【详解】∵式子√x−5有意义
∴x−5≥0
∴x≥5
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式有意义，则被开方数是非负数，
√a(a≥0)．
2
10．（2022·四川眉山·中考真题）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为________．
9【答案】11
【分析】多边形的内角和定理为(n−2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
2
【详解】解：根据题意可得： ×(n−2)×180°=360°，
9
解得：n=11 ，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个
公式是解题的关键．
11．（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以
此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（△结果保留π）
4π
【答案】
3
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知
AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
60π·4 4π
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 = ，
180 3
4π
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟
练地掌握相关内容是解题的关键．
k
12．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，反比例函数y= 的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点
xA，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k=______________．
【答案】8
1
【分析】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知EF= AB，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，
2
k
2b），根据点A，E在反比例函数y= 上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形
x
OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
1
【详解】解：如图作EF⊥BC，则EF= AB，
2
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
k
∵点A，E在反比例函数y= 上，
x
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
1 1
故S = ×OC×EF= ×3c×b=6，解得：bc=4，
△OEC 2 2
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例
函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
13．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，
把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是____________cm．
【答案】5√3
【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形AOA'M是平行四边形，再证明△AOM是等边三角
形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM，从而得到答案．
【详解】解：如下图所示，设A'E交BM于点O，连接AO，
∵点E是中点，
∴在Rt△ABM和 Rt△A'BM中，AO=OM=OB,OA'=OB=OM,
∴∠OAE=∠OBE,∠OBA'=∠OA'B ，
∵∠OBE=∠OBA'，
∴∠OAE=∠OA'B ，
∵∠OAE+∠AOE=90°,∠OA'B+∠OA'M=90°，
∴∠AOE=∠OA'M，
∴AO//A'M，
∵AM//OA'
∴四边形AOA'M是平行四边形，
∴AM=OA'
∴AM=AO=OM,
∴△AOM是等边三角形，∴∠AMO=∠OM A'=60°
AB
∴tan∠AMO=tan60°=
AM
∴AM=2√3，
∵MF⊥BM，∠OM A'=60°，
∴∠A'MF=30°，
∴∠DMF=180°−150°=30°，
1
∵DF= AB=3，
2
DF
∴MD= =3√3，
tan30°
∴AD=AM+MD=5√3，
故答案为：5√3．
【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明△AOM是等边三角
形以及熟练掌握直角三角形中的三角函数．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 0
14.（5分）（2022·西藏·统考中考真题）计算：|−√2|+( ) −√8+tan45°．
2
【答案】2−√2
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．
1 0
【详解】解：|−√2|+( ) −√8+tan45°
2
=√2+1−2√2+1
=2−√2．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键．
15.（5分）（2022·湖北荆州·统考中考真题）已知方程组¿的解满足2kx−3 y<5，求k的取值范围．
【答案】k<2
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3 y<5中即可求k；
【详解】解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+ y=3，解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3 y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
1 3
16.（5分）（2022·四川眉山·中考真题）解方程： = ．
x−1 2x+1
【答案】x=4
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：方程两边同乘以(x−1)(2x+1)，去分母，得
2x+1=3(x−1)
解这个整式方程，得
x=4
检验：把x=4代入(x−1)(2x+1)，得
(4−1)(8+1)≠0
∴x=4是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检
验．
17．（5分）（2022·江苏连云港·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今
有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购
买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以
上问题中的人数和物品价格．
【答案】有7人，物品价格是53钱
【分析】设人数为x人，根据“物品价格=8×人数-多余钱数=7×人数+缺少的钱数”可得方程，求解方程即可．
【详解】解：设人数为x人，由题意得
8x−3=7x+4，
解得x=7．
所以物品价格是8×7−3=53．
答：有7人，物品价格是53钱．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
18．（5分）（2022·陕西西安·校考三模）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在
边AC上求作一点E，使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据线段垂直平分线的性质，连接PC，作PC的垂直平分线即可求解．
1
【详解】解：如图所示：先连接PC，再分别以P、C为圆心，大于 PC长为半径画弧，分别交于M、N
2
两点，连接MN，MN与AC的交点即为所求的E点，
点E即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质
是解题的关键．
19．（5分）（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一
点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF=BE+EF．【答案】证明见解析
【分析】先根据正方形的性质可得BC=CD,∠BCD=90°，从而可得∠BCE+∠DCF=90°，再根据垂
直的定义可得∠BEC=∠CFD=90°，从而可得∠CBE=∠DCF，然后根据三角形全等的判定定理证出
△BCE≅△CDF，根据全等三角形的性质可得BE=CF,CE=DF，最后根据线段的和差、等量代换即可
得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，
∵CE⊥BG,DF⊥CE，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE和△CDF中，¿，
∴△BCE≅△CDF(AAS)，
∴BE=CF,CE=DF，
∴CE=CF+EF=BE+EF，
∴DF=BE+EF．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题
关键．
20．（5分）（2022·江苏苏州·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜
色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是
1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）1
【答案】(1)
4
3
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
8
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
1 1
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： = ．
1+3 4
1
故答案为： ；
4
（2）解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
3
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为 ．
8
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性
是均等的，即为等可能事件．
21．（6分）（2022·山东潍坊·中考真题）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文
素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列
表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：
样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数
甲
50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66
校
乙
64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b
校表中a=___________；b=___________．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成
频数直方图，如图所示．
A组：0<x≤20；B组：20<x≤40；C组：40<x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素
养水平可行吗？为什么？
1
【答案】学科测试：小亮、小莹作答相同试卷的概率为 ；a=79，b=76；评判见解析；问卷调查：甲校
3
样本学生阅读课外书的平均数为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；监测反思：①答案
见解析；②不可行，原因见解析
【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位数和众数的定义求a和
b的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可；
问卷调查：根据平均数的定义求解即可；
监测反思：①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【详解】学科测试：设3套不用的试卷分别为1、2、3，列表如下：
1 2 3
1 （1,2） （2,1） （3,1）2 （1,2） （2,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3）
一共有9种情况，而满足题意的有三种情况，
1
∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为 ，
3
78+80
由表可得甲校的中位数a= =79，
2
乙校的众数b=76；
从平均数看两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看
乙校的成绩好于甲校；
问卷调查：根据频数分布直方图可得，
4×10+1×30+5×50
甲校样本学生阅读课外书的平均数量为 =32（本），
10
3×10+4×30+3×50
乙校样本学生阅读课外书的平均数量为 =30（本）；
10
监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙
校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有
乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语
文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评
估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
【点睛】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，以及列表法或画树状图法求概率，解题的
关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩．
22．（7分）（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高
空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无
人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此
时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼
AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：
sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,√3≈1.73）．
【答案】58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三
角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．
又∵∠GAC=90°，
∴四边形ACHG是矩形．
∴GH=AC．由题意，得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°．
AG
在Rt△AGO中，∠AGO=90°,tan∠AOG= ，
OG
AG 60 60
∴OG= = ≈ ≈21.8≈22（m）﹒
tan∠AOG tan70° 2.75
∵∠EFH是△EOF的外角，
∴∠FEO=∠EFH−∠EOF=60°−30°=30°．
∴∠EOF=∠FEO．
∴EF=OF=24m．
FH
在Rt△EHF中，∠EHF=90°,cos∠EFH=
EF
∴FH=EF⋅cos∠EFH=24×cos60°=12(m)．
∴AC=GH=GO+OF+FH=22+24+12≈58(m)．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
23．（7分）（2022·山东济南·统考中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知
购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树
苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【答案】(1)甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元
(2)当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少，理由见解析
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵
乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100−m)棵，购买两种树苗总费用为W元得出一次函数，根
据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元．
x=40
由题意得，¿，解得{ ，
y=30
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．（2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100−m)棵，购买两种树苗总费用为W元，
由题意得W =40m+30(100−m)，W =10m+3000，
由题意得100−m≤3m，解得m≥25，
因为W随m的增大而增大，所以当m=25时W取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
24．（8分）（2022·辽宁·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作
PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
(1)求证：BF与⊙O相切；
4
(2)若AP＝OP，cosA＝ ，AP＝4，求BF的长．
5
【答案】(1)见解析
13
(2)
2
【分析】（1）连接OB，根据AC是⊙O的直径，可得∠ABD＝90°，再由点F为DE的中点，可得BF＝
EF，从而得到∠FBE＝∠AEP，PD⊥AC，OA=OC，可得∠OBA+∠FBE＝90°，即可求证；
（2）在Rt△AEP中，求出AE=5，可得到PE=3，再证得△APE∽△DPC，可得DP＝16，从而得到DE＝DP
﹣PE＝16﹣3＝13，即可求解．
（1）
证明：连接OB，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵点F为DE的中点，
1
∴BF＝EF＝ AD，
2
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF与⊙O相切；
（2）
4
解：在Rt△AEP中，cosA＝ ，AP＝4，
5
4
AP
∴AE＝ ＝4＝5，
cosA
5
∴PE＝√AE2−AP2＝√52−42＝3，∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
AP PE
∴ ＝ ，
DP PC
4 3
∴ ＝ ，
DP 12
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
1 13
∴BF＝ DE＝ ，
2 2
13
∴BF的长为 ．
2
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟
练掌握切线的判定，解直角三角形，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25.（8分）（2022·宁夏·中考真题）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空
中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，
竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4,12)，着陆坡顶端C与落
CE 3
地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即 = ）．求：
DE 4(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：√3≈1.73）
【答案】(1)A(0,4)
1
(2)y=− (x−4) 2+12
2
(3)OC的长约为7.2米
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的
长可得出结论．
【详解】（1）解：∵OA=4，且点A在y轴正半轴，
∴A(0,4)．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为(4,12)，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x−4) 2+12，
∵A(0,4)，
∴a(0−4) 2+12=4，
1
解得a=− ．
2
1
∴抛物线的解析式为：y=− (x−4) 2+12．
2
CE 3
（3）在Rt△CDE中， = ，CD=2.5，
DE 4
设CE＝3x，DE＝4x，
∴CE2+DE2=CD2，
即(3x) 2+(4x) 2=2.52，
解得x＝0.5，
∴CE=1.5，DE=2．
∴点D的纵坐标为−1.5，1
令− (x−4) 2+12=−1.5，
2
解得，x=4+3√3≈9.19或x=4−3√3≈−1.19(不合题意，舍去)，
∴D(9.19,−1.5)．
∴OC=9.19−2=7.19≈7.2(m)．
∴OC的长约为7.2米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元
二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
AB k
26.（10分）（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连
BC 2
接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
1
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
2
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
AE
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
EF
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=√5，求
BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)k−1
(3)2√2
【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H
交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方
形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形
1
PKEF是矩形，则有PF=√5= √10a，即可求出BC=2√2．
2
【详解】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
1
∴∠3= ∠DCG=45°，
2∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
1
∴∠DCF= ∠DCG=45°．
2
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
AE AH
∴ = ，
EF CEAB k
∵ = ，E是BC边的中点，
BC 2
1
∴EC=HB= BC，
2
1 1
∴AH=AB- BC= (k−1)BC，
2 2
AE
∴ =k−1；
EF
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，
AB 3
∴ = ，
BC 2
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE=√2a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=√5a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
AH AE 2a
∴ = = =2，
EC FE a
∵AE=√10a
√10
∴EF= a，
2
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PK∥EF，1
∵PK= √10a，
2
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵PF=√5，
1
∴ √10a=√5，
2
∴a=√2,
∴BC=2√2．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判
定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
