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小题满分练 1
一、单项选择题
1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
答案 D
解析 因为M＝{x|<4}，
所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.
所以M∩N＝.
2．(2022·漳州质检)已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵z＝|i－1|＋
＝＋
＝2＋＝－i，
∴在复平面内z对应的点为，位于第四象限．
3．“∀x≥0，a≤x＋”的充要条件是( )
A．a>2 B．a≥2
C．a<2 D．a≤2
答案 D
解析 ∵x≥0，
∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＋2＝，即x＝0时取等号，∴a≤2.
4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的
题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小
的两份之和，问最大的一份为( )
A．35 B. C. D．40
答案 C解析 根据题意设每人所得面包为a，a，…，a，成等差数列且依次增大，
1 2 5
则有
所以a＋a＋a＝7(a＋a)，
3 4 5 1 2
可得8(a＋a)＝100，
1 2
化简得
设公差为d，
所以
所以a＝，d＝，
1
所以a＝＋4×＝.
5
5．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在
两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，
最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．
6．(2022·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为sin＝，
所以(cos α－sin α)＝.
所以cos α－sin α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
得sin αcos α＝，
因为cos α＋sin α＝＝，
所以＝＝＝＝.
7．(2022·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足
为P，点Q在双曲线上，且满足FP＝2FQ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 设P在渐近线y＝－x上，F(－c,0)，
则直线FP的方程为y＝(x＋c)，
由得
即P，由FP＝2FQ，得Q，
因为Q在双曲线上，所以－＝1，
化简得c2＝2a2，e＝＝.
8．(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x(ex－e－x)＋x2，若f(x)<f(y)<f(x＋y)，则( )
A．xy>0 B．xy<0
C．x＋y>0 D．x＋y<0
答案 A
解析 由题意得函数的定义域为R.
f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
当x>0时，f′(x)＝ex－＋xex＋xe－x＋2x，
因为x>0，所以f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f(x)是偶函数，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．
则由已知f(x)<f(y)<f(x＋y)，
得f(|x|)<f(|y|)<f(|x＋y|)，
所以|x＋y|>|y|>|x|，(*)
可知x，y同号，故A正确，B错误；
对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误；
对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．
二、多项选择题
9．(2022·济南质检)为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，
健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均
体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：
下列说法正确的是( )
A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72
C．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小
D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大
答案 AC
解析 A项，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30，故A正确；B项，班级甲
该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 65，故B错误；C项，班级甲该周每天的人均体
育锻炼时间的极差为72－30＝42，班级乙的极差为90－30＝60，所以班级甲的极差小于班
级乙的极差，故C正确；D项，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，
故D错误．
10．(2022·长沙十六校联考)下列不等式成立的是( )
A．log (sin 1)>2sin 1 B.2<
2
C.－<－2 D．log 3<log 5
4 6
答案 BCD
解析 ∵sin 1∈(0,1)，
∴log (sin 1)<0,2sin 1>1，
2
∴log (sin 1)<2sin 1，故A不正确；
2
∵0<2<1， >1，
∴2< ，故B正确；
要判断－<－2，
即判定＋2<＋，
即判定(＋2)2<(＋)2，
即11＋4<11＋2，即4<2，
即28<30成立，故C正确；
∵log 3＝1＋log ，
4 4
log 5＝1＋log ，
6 6
∵log <log ，且log <log ，
4 4 4 6
∴log <log ，
4 6
∴log 3<log 5，故D正确．
4 6
11．(2022·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos 2xcos x＋sin 2xsin x)，x∈R，下列关于
函数f(x)性质的结论中正确的是( )
A．函数f(x)的值域是[－1,1]
B．直线x＝－是函数f(x)的一条对称轴C．函数h(x)＝f(x)－x在内有唯一的极小值－－
D．函数f(x)向左平移个单位长度后所得函数g(x)的一个对称中心为
答案 BC
解析 ∵f(x)＝(cos 2xcos x＋sin 2xsin x)sin x＝cos xsin x＝sin 2x.
对于A，函数f(x)的值域为，
故A错误；
对于B，函数f(x)的对称轴为2x＝kπ＋，x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，故B正确；
对于C，h(x)＝sin 2x－x，
h′(x)＝cos 2x－，
令h′(x)＝0，得x＝kπ±，k∈Z，
令h′(x)>0，得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，
令h′(x)<0，得kπ＋<x<kπ＋，k∈Z，
当x＝时，h(x)有极小值h＝－－，故C正确；
对于D，g(x)＝sin 2＝sin，
令2x＋＝kπ，k∈Z，
则x＝－，k∈Z，
其对称中心为，k∈Z，
故D错误．
12．(2022·聊城质检)在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P为侧面BCC B(不含边界)
1 1 1 1 1 1
内的动点，Q为线段AC上的动点，若直线AP与AB 的夹角为45°，则下列说法正确的是(
1 1 1 1
)
A．线段AP的长度为
1
B.AQ＋PQ的最小值为1
1
C．对任意点P，总存在点Q，使得DQ⊥CP
1
D．存在点P，使得直线AP与平面ADD A 所成的角为60°
1 1 1
答案 ABC
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，可得D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，
C(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,1)，B(1,1,1)，
1 1 1
C (0,1,1)．
1设点P(x，1，z)，Q(x，y，z)，
1 1 2 2 2
则有A1P＝(x－1,1，z－1)，
1 1
A1B1＝(0,1,0)，
由直线AP与AB 的夹角为45°，
1 1 1
故有cos ＝，
解得(x－1)2＋(z－1)2＝1，
1 1
又Q为线段AC上的动点，
1
设A1Q＝λA1C(0≤λ≤1)，
则Q(1－λ，λ，1－λ)，
对于选项A，则有
|A1P|＝＝，
故选项A正确；
对于选项B，过点Q作平面ABCD的垂线，垂足为R.易知AQ＝1－QR
1
，
故AQ＋PQ的最小值等价于求QP－QR＋1，
1
|QR|＝1－λ，
|QP|＝，
故有|QP|2＝(1－λ－x)2＋(λ－1)2＋(1－λ－z)2≥(λ－1)2＝|QR|2，
1 1
当且仅当x＝z＝1－λ时成立，
1 1
结合(x－1)2＋(z－1)2＝1，
1 1
可得此时λ＝，故选项B正确；
对于选项C，若DQ⊥CP，
1
则有D1Q＝(1－λ，λ，－λ)，CP＝(x，0，z)，
1 1
D1Q·CP＝x(1－λ)－zλ＝0，
1 1
又(x－1)2＋(z－1)2＝1，
1 1
则有z＋z＋1＝0，
1
0≤λ≤1，
则有Δ＝2－4＝－≥0，故对任意点P，总存在点Q，使得DQ⊥CP，故选项C正确；
1
对选项D，易知平面ADD A 的一个法向量为n＝(0,1,0)，若直线AP与平面ADD A 所成的
1 1 1 1 1
角为60°，
即直线AP与平面ADD A 的法向量的夹角为30°，则有cos ＝，
1 1 1
解得＝，矛盾，故选项D错误．
三、填空题
13．(2022·济南模拟)曲线f(x)＝ln 2x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________________．
答案 y＝3x＋ln 2－2
解析 ∵f′(x)＝·(2x)′＋2x＝＋2x，
∴k＝f′(1)＝3，
又f(1)＝1＋ln 2，
∴切线方程为y－(1＋ln 2)＝3(x－1)，
即y＝3x＋ln 2－2.
14.(2022·苏州四校联考)如图，在△ABC中， AB＝4，AC＝2，点E，F分别是AB，AC的中
点，则(BF＋CE)·BC＝________.
答案 6
解析 ∵BF＝AC－AB，CE＝AB－AC，
∴BF＋CE＝－(AB＋AC)，
∴(BF＋CE)·BC＝－(AB＋AC)·(AC－AB)
＝(AB2－AC2)＝6.
15．已知函数f(x)＝又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点x ，x ，x ，x(x<x<x<x)，则
1 2 3 4 1 2 3 4
x·x·x·x 的取值范围是__________．
1 2 3 4
答案
解析 作出f(x)的图象如图所示，
由图可得，t∈(0,1)，x∈，x＋x＝6，
3 3 4
由|log x|＝t得，xx＝1.
2 1 2
因此x·x·x·x＝x(6－x)，
1 2 3 4 3 3令y＝x(6－x)，
3 3
则y＝x(6－x)在上单调递增，
3 3
∴y∈.
16.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定
理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补
时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆 O的直径为2，A为直径延长线上的一点，
OA＝2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长度最大时，
∠AOC＝______.
答案 60°
解析 因为OB·AC＋OA·BC≥OC·AB，且△ABC为等边三角形，OB＝1，OA＝2，
所以OB＋OA≥OC，所以OC≤3，所以OC的最大值为3，
当不等式OC≤3取等号时，
∠OBC＋∠OAC＝180°，
所以cos∠OBC＋cos∠OAC＝0，不妨设AB＝x，
所以＋＝0，解得x＝，
所以cos∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.
