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2025二轮复习大题规范练（七）
一、基础保分练
1．（22-23高三上·吉林·阶段练习）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积．
2．（2023·山东·一模）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ， ，
成等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
3．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃
圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了
一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x
（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为
五组（ ， ， ， ， ），其中第1组频数的
平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）
解决下列问题：
(1)求a，b的值；(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级
分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： ， ， ，…， ，已知这10个
分数的平均数 ，标准差 ，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数
的平均数与方差．
4．（2023·北京房山·一模）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD，
，M为BC的中点.
(1)求证： 平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
5．（2024·广东茂名·二模）已知椭圆 ，右焦点为 ，过点 的直线 交 于
两点.
(1)若直线 的倾斜角为 ，求 ；
(2)记线段 的垂直平分线交直线 于点 ，当 最大时，求直线 的方程.
6．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数 在 处取得极小
值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当 时，求函数 的最小值．
二、能力增分练7．（2023·湖北·一模）已知正项数列 的前 项和 ，满足： ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ．
8．（2024·辽宁·一模）已知在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
.
(1)求A；
(2)已知直线 为 的平分线，且与BC交于点M，若 求 的周长.
9．（2024·山东济南·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)讨论 极值点的个数.
10．（2024·全国·模拟预测）已知四棱柱 如图所示，底面 为平行四
A B C D
边形，其中点 在平面 1 1 1 1内的投影为点 ，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点 在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的值．
11．（2023·湖北武汉·一模）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，
现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是
黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个
小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2
个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E
（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
12．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物
线 交于点 ， .当直线 垂直于 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
三、拓展培优练
13．（2024·广东汕头·一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目
录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学
老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生
尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生
小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 颗番石榴（不
妨设 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为
了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前
颗番石榴，自第 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗
番石榴，否则就摘最后一颗.设 ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 .
(1)若 ，求 ；
(2)当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.
（取 ）
14．（2023·湖南长沙·一模）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
15．（22-23高三上·江苏·期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔
举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个
方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使
方向判断正确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在
前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，
球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机
传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 ．
①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p 与q 的大小．
10 10
16．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2
和4的正方形，平面 ⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q
在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
17．（2023·浙江杭州·二模）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶
点分别为 、 ，点 、 为椭圆上异于 、 的两点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 、 ，求 的最大值．
18．（23-24高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1
号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从
号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当 时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当 时，求3号盒子里的红球的个数 的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
