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大题保分练 3
1．(2022·邯郸模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求B；
(2)若a＝2，c＝1，________，求BD.
在①D为AC的中点；②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理得，
sin Bsin A＝sin A－sin Acos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1－cos B，
所以sin B＋cos B＝2sin＝1，
即sin＝.
又B∈(0，π)，则B＋＝，所以B＝.
(2)选择条件①：因为BD＝，
所以|BD|2＝(|BA|2＋2BA·BC＋|BC|2)
＝×＝，
所以|BD|＝，即BD＝.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，
所以S ＋S ＝S ，
△ABD △CBD △ABC
则c×Bdsin ＋a×Bdsin
＝a×csin ，
即×1×Bdsin ＋×2×Bdsin
＝×2×1×sin ，
解得BD＝.
2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区
某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)
和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
面积x
i材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
并计算得∑x＝0.038，∑y＝1.615 8，∑xy＝0.247 4.
i i
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总
和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这
种树木的总材积量的估计值．
附：样本相关系数r＝，≈1.377.
解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
＝＝0.39(m3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.06 m2，平均一棵的
材积量为0.39 m3.
(2)r＝
＝
＝
＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得＝，解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
3.(2022·衡水中学模拟)如图所示的多面体是由三棱锥A－BDE与四棱锥D－BCFE组合而成
的，其中EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G
是边BC的中点．
(1)求证：BD⊥EG；
(2)求平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值．
(1)证明 依题意，EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
则有EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，即EB，EF，EA两两垂直，
以点E为坐标原点，射线EB，EF，EA分别为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
因为AD∥EF∥BC，
则E(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，
F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
则EG＝(2,2,0)，BD＝(－2,2,2)，
因此BD·EG＝－2×2＋2×2＝0，即BD⊥EG，
所以BD⊥EG.
(2)解 由(1)知，EB＝(2,0,0)是平面AEFD的一个法向量，
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
而ED＝(0,2,2)，EG＝(2,2,0)，
则
令x＝1，得n＝(1，－1,1)，
设平面DEG与平面AEFD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，EB〉|＝＝＝，
所以平面DEG与平面AEFD夹角的余弦值是.
4．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的数列{a}中，a ＝1且满足a－a＝2a ＋2a ，数列
n 1 n n＋1
{b}的前n项和为S，满足2S＋1＝3b.
n n n n
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
(2)若在b 与b 之间依次插入数列{a}中的k项构成新数列{c}：b ，a ，b ，a ，a ，b ，
k k＋1 n n 1 1 2 2 3 3
a，a，a，b，…，求数列{c}中前50项的和T .
4 5 6 4 n 50
解 (1)由a－a＝2a＋2a ，
n n＋1
得(a －a)(a ＋a)＝2(a ＋a)，
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
∵a ＋a>0，∴a －a＝2，
n＋1 n n＋1 n
∴{a}是首项为1，公差为2的等差数列，
n
∴a＝2n－1.
n
∵2S＋1＝3b，①
n n
∴当n≥2时，2S ＋1＝3b ，②
n－1 n－1
由①－②整理得b＝3b ，
n n－1
当n＝1时，2S＋1＝3b，则b＝1，
1 1 1
∵b＝1≠0，∴b ≠0，∴＝3，
1 n－1
∴数列{b}是首项为1，公比为3的等比数列，故b＝3n－1.
n n(2)依题意知，新数列{c}中，b 前面(含b )共有(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＝项．
n k＋1 k＋1
由≤50(k∈N*)得k≤8，
∴新数列{c}中含有数列{b}的前9项：b，b，…，b，
n n 1 2 9
含有数列{a}的前41项：a，a，a，…，a ，
n 1 2 3 41
∴T ＝＋＝11 522.
50
