文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（全国卷理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意全集 ，集合 ， ，则 ，
.
故选：D.
2．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意知 ，所以该复数在复平面内对应的点为 ，该点在第二象限．故B正确.
故选：B.
3．已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，而 ，则 ，
于是 ，则 ，而 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：A
4．若实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．6
【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，
此时 最大．由 ，解得 ，即 ，
代入目标函数 得 ．
即目标函数 的最大值为
故选：C．
5．某学校一同学研究温差 （单位：℃）与本校当天新增感冒人数 （单位：人）的关系，该同学记录了
5天的数据：
5 6 8 9 12
16 20 25 28 36
由上表中数据求得温差 与新增感冒人数 满足经验回归方程 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 与 有正相关关系 B．经验回归直线经过点
C． D． 时，残差为0.2
【答案】C
【解析】由表格可知， 越大， 越大，所以 与 有正相关关系，故A正确；
， ，
样本点中心为 ，经验回归直线经过点 ，故B正确；
将样本点中心代入直线方程，得 ，所以 ，故C错误；
，当 时， ， ，故D正确.
故选：C
6． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【答案】C【解析】二项展开式的通项为 ，
令 ，即 ，有 ，
故 的系数为10.
故选：C.
7．若 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，因为 ， ，所以 ，
即 可以推出 ，充分性成立；
当 时，比如取 ，此时有 ，但 ，
所以当 时，不能推出 ，必要性不成立；
故 是 的充分不必要条件.
故选：A
8．函数 关于直线 对称，且 在区间 上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的图象可由函数 的图象向左平移1个单位而得，因此函数 的图
象关于y轴对称，
则 ，
显然 ，又 在区间 上单调递增，
于是 ，所以 .故选：D
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
所以 不满足 的情况，
所以 ，
对于A：当 时，由指数函数单调性可知： ，所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，故B错误；
对于C：当 时， ，满足；
当 时， ，不满足，
故 不恒成立，故C错误；
对于D：当 时， ，满足；
当 时，由指数函数的单调性可知 为递减数列，此时 ，
且 恒成立，所以 ，也满足；
所以 ，故D正确；
故选：D.10．已知圆 的方程为 ，直线 过点 且与圆 交于 两点，当弦长 最短时，
（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】
当 最短时，直线 ，
，
.
故选：B.
11．已知双曲线C： 的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点B作x轴
的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设 ，可得 ，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以 ,
又因为 ,∠PAB＝∠PBM，所以 ，可得 即 ,所以 ，
结合 ，可得 ，又 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A．
12．已知 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
由题意可知： 对任意 恒成立，且 ，
可得 ，解得 ，
若 ，令 ，
则 ，
则 在 上递增，可得 ，
即 对任意 恒成立，
则 在 上递增，可得 ，综上所述： 符合题意，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
14．甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝
上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为
．
【答案】
【解析】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽，
所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有：
①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，
所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为 .
故答案为： .
15．已知 ，若 为偶函数，则 ．
【答案】 /0.5【解析】函数 有意义，则 ，，
解得 或 ，所以函数 定义域为 ，
因为 为偶函数，则有 ，解得 ，
所以 ， ，
由 ，有 ，
则有 ，所以 .
故答案为：
16．在正四棱柱 中， ，平面 与棱 分别交于点 ，
其中 分别是 的中点，且 ，则 ．
【答案】3
【解析】因为平面 经过棱 的中点，所以四边形 为菱形，
连接 、 ， 、 ，令 ，
则 ，又 底面 ， 平面 ，
故 ，又 、 平面 ，且 ，
故 平面 ，又 分别是 的中点，故 ，
故 平面 ，由 平面 ，故 ，
又因为 ， 、 平面 ， ，故 平面 ，又 平面 ，
故 ，则 与 相似，
， ，
故有 ，即 ，即 .
故答案为：3.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知数列 中， .
(1)求 ；
(2)设 ，求证： .
【解析】（1）由题意，得 ，故 为常数列.
，故 .（2）
故
18．（12分）
假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的
消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 内，其频率分布直方图如图所示，若
频率分布直方图中的a，b，c，d满足 ，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六
小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与
数学期望．
【解析】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为 ，又因为第五小组的频数为
2400，所以样本容量 ．
因为第六小组的频率为 ，所以第六小组的频数是 ．由频率之和为1，得 ，所以 ．
因为频率分布直方图中的 满足 ，
所以 ．
所以代入 中，得 ，
得 ，解得 ．所以 ．
（2）①因为前4组的频率之比为 ，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在 应该抽取的人数分别是
．
②由题意，随机变量 的所有可能取值是 ．则
故随机变量 的分布列为
0 1 2 3
故随机变量 的数学期望为 ．
19．（12分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等腰直角三角形，其中 ， 为
中点．
(1)证明：平面 平面 ；(2)已知 ，二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）由题知，平面 平面 ，
且平面 平面 ,
又 为等腰直角三角形，其中 ，
所以 ,又 平面 ,
则 平面 ，
又 平面 ，
则平面 平面 .
（2）
作 ,交 于点 ,
由平面 平面 ，平面 平面 ,
知 平面 ,
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
以点 为坐标原点，建立 所在直线为 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
因为 为 中点，所以 ，
则 ,设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 ，
又由 得，平面 的一个法向量 ，
所以 ，
解得 或 （舍），
故 ，
则三棱锥 的体积 .
20．（12分）
已知椭圆E的中心为坐标原点，左焦点为 ，长轴长为8．
(1)求E的标准方程；
(2)记E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E交于M，N两点（M，N均不与A，B重合），
直线MA与NB交于点P，试探究点P是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆E的方程为 ，依题意，可得
解得
故所求E的标准方程为 ．
（2）由（1）可得 ，设 ，
显然直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为 ，
联立 ，
消去x得 ，且 ，
则 ，
直线MM的方程为 ，直线NB的方程为 ，
联立直线MA的方程和直线NB的方程可得
，
由 得， ，即 ，
由此可得点P在定直线 上．
21．（12分）
已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，， ，
根据导数的几何意义可知， 的图象在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
令 ，即 ，
整理为： ，
设 ，
即 ，则 ，
化简为 ， ，
设 ，
，令 ，得 ， ，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值， ，
若函数 有2个零点，即函数 有2个零点，
所以 ，得 ，
，则 ，则在区间 有1个零点，
，
设 ， ,，设 ，
，所以 在 上单调递增，
，则 在 上单调递增，
，即 ，则 ，
根据函数大单调性可知，在区间 有1个零点，
所以函数 有2个零点，则 的取值范围是 .
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
(2)判断直线 与曲线 的交点个数，若有两个交点，求两交点间的距离.
【解析】（1）由 ，得 ，
得曲线 的普通方程为 .
将 代入 ，
得直线 的直角坐标方程为 .
（2）由（1）知，曲线 是圆心 ，半径 的圆，
圆心 到直线 的距离 ，直线 与圆 有两个交点.设两个交点分别为 ，
则 .
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，设 ，且 与 的和为 的最小值，求 的最大值.
【解析】（1）（1）由题意得， .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，满足题意；
当 时，
综上， 的取值范围是 .
（2）由（1）知， ，，
当且仅当 时，等号成立，
的最大值是 .
