文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（新高考九省专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，若这 个数据的极差是它们中位数的 倍，则这 个数据
的第 百分位数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由小到大排列的 个数据 、 、 、 ，则 ，
这四个数为极差为 ，中位数为 ，
因为这 个数据的极差是它们中位数的 倍，则 ，解得 ，
所以，这四个数由小到大依次为 、 、 、 ，
因为 ，故这 个数据的第 百分位数是 .
故选：B.
2．已知 ，设椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率分别为 ， .若 ，
则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，结合离心率公式可得 ，解得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：A.
3．已知等比数列 的前n项和是 ，且 ， ，则 （ ）
A．30 B．80 C．240 D．242
【答案】D
【解析】由题意设公比为 ，所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.
4．已知直线 、m、n与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】A选项，如图1，满足 ， ，但 不垂直，A错误；
B选项，如图2，因为 ，
所以作平面 ，使得 ，且 ，则 ，
因为 ，则 ，又 ，故 ，B正确；
C选项，如图3，满足 ， ，但 不平行，C错误；
D选项，如图4，满足 ， ， ，但 不平行，D错误.
故选：B
5．如图，小明从街道的 处出发，到 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老
年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【解析】中途共三次转向可以分为两类:第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有 种方法，
第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有 种方法.
故总的方法有24种，
故选：D.
6．若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由曲线 ，可得 ，
又由直线 ，可化为 ，直线恒过定点 ，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得 ，所以 ，
当直线与半圆相切时，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
7．已知 是三角形的一个内角，满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，两边平方得 ，
即 ，可得 ，
因为 是三角形的一个内角，且 ，所以 ，
所以 ，得 ，
又因为 ， ，
联立解得： ， ，故有： ，
从而有 ．
故选：B．
8．已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上除顶点外的一点， ，且 ，则 的
离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，显然 ，则 ，
所以 的离心率 ．由于 ，
所以 ，所以 的取值范围是 ；
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数 为偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上的最小值为
【答案】ACD
【解析】由函数的图象可得 ，由 ，解得 ，从而A正确；
再根据五点法可得 ，又因为 ，解得 ，
从而 ，所以 ，
即函数 为奇函数，从而B错误；
当 时， ，所以 是最值，所以C正确；
因为 时， ，
因为 ，所以 单调递增，
所以当 时 ，从而D正确.
故选：ACD
10．已知复数 ， （ ， ）（ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则下列结论正确
的是（ ）
A． 的虚部为
B．
C．
D．若 ，则在复平面内 对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【解析】由题意可得 ，所以 的虚部为 ，A错误，
，故 ，B错误，
，C正确，表示点 到 的距离不大于1的点构成的图形，故为以 为圆心，以1为半径的圆以及
内部，故面积为 ，D正确，
故选：CD
11．已知定义域为 的函数 满足 为 的导函数，且
，则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 处的切线斜率为7
C． D．对
【答案】ACD
【解析】由题意定义域为 的函数 满足
令 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
故 为奇函数，A正确；
由于 ，故 ，即 ，
则 为偶函数，由 可得 ，
由 ，令 得 ，
故 ，令 ，则 ，B错误；
又 ，
则 ，
令 ，则 ，由柯西方程知， ，故 ，
则 ，由于 ，故 ，
即 ，则 ，C正确；
对
,
故 ，D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．集合 , ，则
【答案】1或0
【解析】 ,
, 或 ，
故 或 .
故答案为：1或0
13．在四面体 中， ， ，且满足 ， ， ．若该三棱
锥的体积为 ，则该锥体的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，依题意将四面体 放在长方体中，设长方体的高为 .
根据锥体 的体积 ，解得 ，所以长方体的长宽高分别为 ， 和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线 ，解得 .
所以四面体外接球的体积为 ．
故答案为： .
14．对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【解析】设 ，
，
则 ，
则 恒成立可化为 恒成立，
即 恒成立，故 ，
设 ，
易知 在 时递减，在 时递增，
所以 ，而 显然在 时单调递增，所以 ，
故 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数 ．
(1) ，求函数 的最小值；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
因此当 时，则有 ，
因此当 时，则有 ，
当 时， 显然 ，
于是有当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 单调递增，
所以 ；（2）由 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
由 ，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
要想 在 上恒成立，
只需 ，因此 的取值范围为 .
16．（15分）
一只蚂蚁位于数轴 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为 ，
向左移动的概率为 .
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在 处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为 ，求 的分布列与期望.
【解析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件 ，记2秒后这只蚂蚁在 处的概率
为事件 ，
则故所求的概率为 .
（2）由题意知 可能的取值为 ，
则 ，
则 的分布列为
0 2 4
17．（15分）
如图，在四棱柱 中，四边形 是平行四边形， ， ， ，
， 为 的中点，且 ．
(1)过点 作四棱柱的截面使其与面 垂直，并予以证明；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）如图，取 中点 ，连接 ， ，则面 即为所求截面，
由四边形 是平行四边形， ， ，且 为 的中点，
则在 中， ，
由余弦定理得， ，
所以 ，即 ，
又由 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 平面 平面 ，
所以 ，
又且 ，所以 两两互相垂直，
以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，
可得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量 ，
又由 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，又 平面 平面 ，所以 平面 ，当 时， ；
当 时， ，
综上可得，三棱锥 的体积为 或 .
18．（17分）
已知抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点， 为坐标原点，且 .
(1)求 的方程；
(2)过点M作斜率互为相反数的两条直线 和 ，分别与 交于点A和点B，且点A与点B均在点M的上方，
以 ， 为邻边作平行四边形 ，求平行四边形 面积S的最大值.
【解析】（1）联立方程得 ，
解得 或 ，
则 ，
则 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ；
（2）由（1）知 ，设 ， ，不妨令 ，
因为直线 与 的斜率互为相反数，所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，
则直线 ： ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，
，
所以 ，
令 ，由 ， ，可得 ，则 ，
所以 ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， 关于 单调递增，当 时， 关于 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
因此，四边形 面积的最大值为 .19．（17分）
若 及 其中 称为 对模 的逆或数论倒数．整系数多项式
求证：同余方程 与同余方程
等价．
【解析】证明：若 是 的解，则
于是
即
这就说明了 的解都是 的解．
若 是 的解．
则
因为 所以于是
即
也就是
这就说明了 的解都是 的解．
