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小题满分练 2
一、单项选择题
1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于( )
A．(－1,2] B．[2,3)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)
答案 C
解析 A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，
B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，
故A∪B＝(－1，＋∞)．
2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，
所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在
角α的终边上，则sin 2α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 根据三角函数的定义可知sin α＝
＝＝，
cos α＝＝＝－，
由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－.
4.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E
为AD的中点，设BE＝xBA＋yBC，则x＋y等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 连接BD(图略)，因为E为AD的中点，
所以BE＝BA＋BD，因为BD＝BC＋CD＝BC＋BA，
所以BE＝BA＋
＝BA＋BC，
因为BE＝xBA＋yBC，
所以x＝，y＝，
所以x＋y＝＋＝.
5．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的
发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟
阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国
生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋
∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果
树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该
果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要( )
A．4年 B．3年
C．5年 D．2年
答案 A
解析 由题意知
则解得b＝2，k＝－1，
∴f(x)＝.
由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
而f(3)＝＝＝7.5<8，
f(4)＝＝9>8，
∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．
6.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可
以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长
为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括 5个等腰直角三角形，1个正方
形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小
于另外三个三角形面积之和的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，设△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面积分别为S ，S ，S ，S ，
1 2 3 4S，
5
所以有S＝S＝×12×12＝36，S＝S＝××12×12＝9，S＝××12×12＝18，所以5个等腰直
1 2 3 4 5
角三角形的面积之和为108，依题意得所取的两个等腰直角三角形的面积之和大于或等于
54，故只能在面积为18或36中取两个，所以所求概率为P＝＝.
7．(2022·德州质检)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b
－4)＝0，则＋的最小值是( )
A. B. C．2 D．4
答案 B
解析 因为f(2a)＋f(b－4)＝0，
所以f(2a)＝－f(b－4)，
因为奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，
所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，
所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，
所以2a＋2＋b＝6，即2(a＋1)＋b＝6，
所以＋＝[2(a＋1)＋b]
＝
＝
≥
＝×(4＋4)＝，
当且仅当＝，
即当a＝，b＝3时取等号，
所以＋的最小值是.
8．(2022·景德镇模拟)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两
点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x＋x＝－，xx＝，
1 2 1 2Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)
＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，
知G点坐标为，
因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得0<b<，
因为e2＝1－＝1－b2，所以<e<1.
二、多项选择题
9．已知等比数列{a}的各项均为实数，公比为q，则下列结论正确的是( )
n
A．若aa>0，则aa>0
1 2 2 3
B．若a＋a<0，且a＋a<0，则q>－1
1 2 1 3
C．若a >a>0，则a＋a >2a
n＋1 n n n＋2 n＋1
D．若aa <0，则(a －a)(a －a )<0
n n＋1 n＋1 n n＋1 n＋2
答案 ABC
解析 显然q≠0.
因为aa>0，
1 2
所以(aq)·(aq)＝(aa)·q2>0，因此A正确；
1 2 1 2
由a＋a<0⇒a(1＋q2)<0⇒a<0，
1 3 1 1
而a＋a<0⇒a(1＋q)<0，
1 2 1
显然1＋q>0⇒q>－1，因此B正确；
由a >a>0⇒>1⇒q>1，
n＋1 n
a＋a －2a ＝a＋aq2－2aq＝a(1－q)2>0⇒a＋a >2a ，因此C正确；
n n＋2 n＋1 n n n n n n＋2 n＋1
由aa <0⇒a·a·q<0⇒q<0，
n n＋1 n n
(a －a)(aq－a q)＝－q(a －a)2>0，
n＋1 n n n＋1 n＋1 n
因此D不正确．
10．(2022·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断
△ABC是钝角三角形的有( )
A．a＝2，b＝3，c＝4
B.AB·BC＝－2a
C.＝
D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C答案 AC
解析 因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由cos C＝＝－<0⇒<C<π，
所以△ABC是钝角三角形，因此A正确；
由AB·BC＝－2a⇒－cacos B＝－2a⇒ccos B＝2⇒B∈，不能判断△ABC是钝角三角形，因此
B不正确；
由正弦定理，知＝⇒＝⇒a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理可知cos A＝＝＝－⇒A＝，所以△ABC是钝角三角形，因此C正确；
由正弦定理，知
b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C
⇒sin2Bsin2C＋sin2Csin2B
＝2sin Bsin Ccos Bcos C
⇒sin Bsin C＝cos Bcos C
⇒cos(B＋C)＝0
⇒cos(π－A)＝0
⇒cos A＝0⇒A＝，
所以△ABC是直角三角形，因此D不正确．
11.(2022·泰安模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，AC＝BC＝1，AA＝2，D是棱AA 的
1 1 1 1 1
中点，DC ⊥BD，点E在BB 上，且BB＝4BE，则下列结论正确的是( )
1 1 1
A．直线DC 与BC所成角为90°
1
B．三棱锥D－BCC 的体积为
1
C．CE⊥平面BC D
1
D．直三棱柱ABC－ABC 外接球的表面积为6π
1 1 1
答案 ABD
解析 对于A，在矩形ACC A 中，
1 1
因为AA＝2，AC＝1，D是棱AA 的中点，
1 1
所以CD＝C D＝，
1
所以CD2＋C D2＝CC，
1所以CD⊥C D，
1
又因为DC ⊥BD，BD∩CD＝D，
1
所以DC ⊥平面BCD，
1
因为BC⊂平面BCD，
所以DC ⊥BC，
1
即直线DC 与BC所成角为90°，故A正确；
1
对于B，在直三棱柱ABC－ABC 中，CC ⊥BC，
1 1 1 1
又DC ⊥BC，DC ∩CC ＝C ，
1 1 1 1
所以BC⊥平面DCC ，
1
又DC⊂平面DCC ，所以DC⊥BC，
1
则 ＝×××1×＝，
故B正确；
对于C，由选项AB可知，AC，BC，CC 两两垂直，
1
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，E，
则CE＝，BD＝(1，－1,1)，
所以CE·BD＝－1＋＝－≠0，
所以CE，BD不垂直，
所以CE不垂直于平面BC D，故C错误；
1
对于D，连接AB，则线段AB即为直三棱柱ABC－ABC 外接球的直径，AB＝＝，
1 1 1 1 1 1
所以外接球的半径R＝，
所以直三棱柱ABC－ABC 外接球的表面积为4πR2＝6π，故D正确．
1 1 1
12．对于偶函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)在x＝处的切线斜率为
B．函数f(x)<1恒成立
C．若0<x<x<π，则f(x)<f(x)
1 2 1 2
D．若m<f(x)对于∀x∈恒成立，则m的最大值为答案 ABD
解析 因为f(x)＝为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以a＝0.
对于选项A，因为f(x)＝，
所以f′(x)＝，
所以f′＝，
所以函数f(x)在x＝处的切线斜率为，故选项A正确；
对于选项B，令g(x)＝sin x－x，
则g′(x)＝cos x－1，
当x>0时，g′(x)≤0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，即sin x<x，
所以f(x)＝<1在(0，＋∞)上恒成立，
因为f(x)为偶函数，所以函数f(x)<1在定义域上恒成立，故选项B正确；
对于选项C，f′(x)＝，
令h(x)＝xcos x－sin x，
则h′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，
当x∈(0，π)时，g′(x)<0，
所以h(x)在(0，π)上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，
即f′(x)＝<0在(0，π)上恒成立，
因此函数f(x)＝在(0，π)上单调递减．
又0<x<x<π，
1 2
所以f(x)>f(x)，故选项C错误；
1 2
对于选项D，因为函数f(x)＝在(0，π)上单调递减，
所以函数f(x)＝在上也单调递减，
所以f(x)＝>f ＝在上恒成立，
即<在上恒成立，即m的最大值为，故选项D正确．
三、填空题
13．(2022·石家庄模拟)在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
答案 6
解析 ∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(C·x4－C·x3y＋C·x2y2－C·xy3＋Cy4)，
∴展开式中含x2y3的项为y·C·x2y2＝Cx2y3＝6x2y3，故它的展开式中x2y3的系数为6.
14．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝
________.答案
解析 双曲线的渐近线方程为x±my＝0，
圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为
x2＋(y－2)2＝1，
则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1.
∵双曲线的渐近线与圆相切，
∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，
得m＝或m＝－(舍去)．
15．(2022·福州质检)写出一个使等式＋＝2成立的α的值为________．
答案 (答案不唯一，只要满足α＝π－(k∈Z)即可)
解析 ∵＋
＝
＝＝2，
∴sin＝sin，
∴2α＋＋2α＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，
解得α＝－(k∈Z)，
当k＝0时，α＝，
∴使得等式成立的一个α的值为(答案不唯一)．
16.(2022·承德模拟)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如
图所示，是由一个圆柱与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，高为2，
半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上、
下底面与毛坯的圆柱底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最
小值为________．
答案
解析 如图，设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h(0<h<2)，则r2＋2＝1，r2＝1－，
∴中空圆柱的体积V＝πr2(2＋h)＝π(2＋h)．
V′＝－π，可得当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
则当h＝时，V取得最大值为，
又毛坯的体积为π×12×2＋×13＝，
∴该模具体积的最小值为－＝.
