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小题满分练 6
一、单项选择题
1．设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M⊆∁R N D．N⊆∁R M
答案 A
解析 N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，
∴M⊆N，A正确，B错误；
∁R
N＝{x|－2≤x≤2}，∁R M＝{x|x≤4}，
可知C，D均错误．
2．(2022·开封模拟)命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x＋|x|<0
B．∀x∈R，x＋|x|≠0
C．∃x∈R，x＋|x|≥0
D．∃x∈R，x＋|x|<0
答案 D
解析 因为命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即
“∃x∈R，x＋|x|<0”．
3．棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(i为虚数单位，r>0)是由法国数学家棣
莫弗(1667－1754)发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内，复数15对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 由题意得15
＝215
＝215cos ＋215sin ·i，
对应的点的坐标为，
是第一象限角，其正弦、余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正数，故点在第一
象限．
4.(2022·宁波模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(e是自然对数的底
数)( )A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 A
解析 由图知，x≠1，可排除B，C；又由图可知f(0)>0，因为选项D中函数f(x)＝，
则f(0)＝＝－1<0，故D错误．
5．(2022·泰安模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y
＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
答案 C
解析 由题意，得
即
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝3×192＝24(小时)．
6．(2022·东北师大附中模拟)某中学为响应国家“双减”政策，开设了乒乓球、羽毛球、书
法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选修2门，初一到初三这三学年将4门
选修课程选修完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．60种 B．78种
C．54种 D．84种
答案 C
解析 根据题意，三年修完4门选修课程，每学年至多选修2门，
则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.
先将4门课程按照1,1,2分成三组有种方式，再分到三个学年，有A种方式，
所以不同的选修方式有×A＝36(种)；
再将4门课程按照0,2,2分成三组有种方式，
再分到三个学年，有A种方式，
所以不同的选修方式有×A＝18(种)，综上，共有36＋18＝54(种)．
7．(2022·吕梁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边
上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为( )
A．2 B. C. D.
答案 C
解析 ∵acos C－2bcos B＋ccos A＝0，
由正弦定理得
sin Acos C－2sin Bcos B＋sin Ccos A＝0，
∴sin(A＋C)－2sin Bcos B＝0，
又A＋B＋C＝π，
∴sin B－2sin Bcos B＝0，
∵B是三角形内角，
∴sin B≠0，
∴cos B＝，
∴B＝，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋c2－ac，
又BD＝(BC＋BA)，
∴|BD|2＝(|BC|2＋|BA|2＋2BC·BA)，
即4＝(a2＋c2＋ac)，
解得ac＝，
∴S ＝acsin B＝××＝.
△ABC
8．已知x∈(0，＋∞)，不等式ax＋eax≥ln x＋x恒成立，则实数a的最小值为( )
A. B. C．0 D．1
答案 A
解析 设f(x)＝x＋ex，显然f(x)是增函数，
不等式ax＋eax≥ln x＋x可变形为ax＋eax≥ln x＋eln x，即f(ax)≥f(ln x)，所以ax≥ln x.
所以a≥，
令g(x)＝，x>0，
则g′(x)＝，当00，g(x)单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g(e)＝，
max
因为不等式a≥恒成立，所以a≥.
即a的最小值是.
二、多项选择题
9．(2022·临沂模拟)给出下列说法，其中正确的是( )
A．若数据x，x，…，x 的方差s2为0，则此组数据的众数唯一
1 2 n
B．已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11，则该组数据的第40百分位数为6
C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位
数应该大体上差不多
D．经验回归直线y＝bx＋a恒过样本点的中心(，)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟
合效果越好
答案 AC
解析 选项A，由方差s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]＝0，
1 2 n
可得x＝x＝…＝x＝，即此组数据众数唯一，故A正确；
1 2 n
选项B，数据2,3,5,7,8,9,9,11，共有8个数，由8×40%＝3.2可知，该组数据的第40百分位
数为第4个数7，故B错误；
选项C，依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是
对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多，故C正确；
选项D，经验回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，而不是
经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好，故D错误．
10．(2022·潍坊模拟)已知向量OP＝(1,2)，将OP绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1，
OP2，OP3的位置，则( )
A.OP1·OP3＝0
B．|PP1|＝|PP2|
C.OP·OP3＝OP1·OP2
D．点P 的坐标为
1
答案 ABC
解析 因为OP绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1，OP2，OP3，
所以OP1与OP3的夹角为90°，
故OP1·OP3＝0，A选项正确；
由题意知，△OPP ≌△OPP ，
1 2
所以PP＝PP，即|PP1|＝|PP2|，故B正确；
1 2因为〈OP，OP3〉＝60°，
〈OP1，OP2〉＝60°，
|OP|＝|OP3|＝|OP1|＝|OP2|，
所以由数量积的定义知OP·OP3＝OP1·OP2，
故C正确；
若点P 的坐标为，
1
则|OP1|＝≠|OP|＝，故D不正确．
11．(2022·永州模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，并且当
x∈(0,1]时，f(x)＝2|x－2|－3，则下列选项正确的是( )
A．f(x)在(－3，－2)上单调递减
B．f(x)在上小于0
C．f(x)在[1,2]上单调递增
D．f(x)的图象关于直线x＝3对称
答案 BD
解析 因为f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，
所以函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，
且关于直线x＝1轴对称，则f(x)的周期为4，
当x∈(0,1]时，f(x)＝2|x－2|－3＝1－2x，
则函数f(x)在(0,1)上单调递减，
根据对称性可得f(x)在(1,2)上单调递增，
再结合周期性可得f(x)在(－3，－2)上单调递增，故A错误；
f(x)在上小于0，根据对称性可得f(x)在上小于0，故B正确；
f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，
所以f ＝f ＝0，f(2)＝f(0)＝0，
所以f(x)不可能在[1,2]上单调递增，故C错误；
f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，
又f(x)是奇函数，
所以f(x)的图象关于直线x＝－1轴对称，
因为f(x)的周期为4，
所以f(x)关于直线x＝3对称，故D正确．
12．(2022·南通模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，
B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝2|BF|，M为AB中点，则下列结论正确
的是( )
A．∠CFD＝90°B．直线AB的斜率为±
C．△AOB的面积为
D．△CMD为等腰直角三角形
答案 AC
解析 令∠AFC＝α，∠BFD＝β，
∵|AC|＝|AF|，∴∠ACF＝α，∠CAF＝π－2α，
∵|BF|＝|BD|，
∴∠BDF＝β，∠DBF＝π－2β.
又∵π－2α＋π－2β＝π，∴α＋β＝，
∴∠CFD＝90°，A正确；
设AB：x＝my＋1，
令A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由
消去x可得y2－4my－4＝0，
则y＋y＝4m，yy＝－4.
1 2 1 2
∵AF＝2FB，∴y＝－2y，
1 2
∴y＝－2，y＝，m＝－，此时k＝－2，
1 2
或y＝2，y＝－，m＝，此时k＝2，
1 2
即k＝±2，B错误；
|AB|＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2
1 2 1 2
＝my＋my＋4＝，
1 2
O到AB的距离d＝＝，
∴S ＝××＝，C正确；
△AOB
令m＝，则AB：x＝y＋1，
此时A(2,2)，B，M，
C(－1,2)，D(－1，－)，|DM|＝，
|CM|＝，|CD|＝3，CM2＋DM2≠CD2，
∴△CDM不是等腰直角三角形，D错误．
三、填空题13．(2022·日照模拟)已知第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则＋的最小值是
____________．
答案 3＋2
解析 因为第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，所以a＋b＝1，a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝－1，b＝2－时，等号成立．
14．(2022·广东六校联考)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角β
的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点，角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则cos(α－β)＝
________.
答案 －
解析 因为角β的终边与圆x2＋y2＝1交于点，所以sin β＝，cos β＝－，
因为角α的终边与角β的终边关于y轴对称，
所以sin α＝，cos α＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
15．(2022·鹰潭模拟)图1是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．
已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图 2所示，
且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为
156，且图2中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为______．
答案 48
解析 设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为 a ，a ，a ，a ，成等差数列，设公差
1 2 3 4
为d，
由题意得6(a＋a＋a＋a)＝156，
1 2 3 4
即a＋a＋a＋a＝26，
1 2 3 4
所以2a＋3d＝13，①
1
因为阴影部分的面积
S＝6××(a－a)＝，
所以2ad＋d2＝11，②
1
联立①②解得或(不符合题意，舍去)，故a＝a＋3d＝8，
4 1
所以最外层六边形的周长为48.
16．(2022·莆田质检)定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”．已知A，B，C，D是半径为2的球面上
四点，AB＝CD＝2，则AB，
CD的“伴随球”的直径取值范围为________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体
积的最大值为________．
答案 (0,2] 4
解析 设O为A，B，C，D所在球面的球心，
∴OA＝OC＝2.
∵AB＝CD＝2，且E，F分别是AB，CD的中点，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，且AE＝CF＝，
∴OE＝OF＝1，
则E，F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，
若以EF为直径作球，
则0
