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小题满分练 8
一、单项选择题
1．(2022·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁U A)∩B等
于( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
答案 D
解析 因为A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，
故∁U A＝{x|－1≤x≤2}，
又B＝{x|ln x>0}＝{x|ln x>ln 1}＝{x|x>1}，
故(∁U A)∩B＝{x|1k
1 2
B．k0，b>0)的左、右顶点分别是A ，A ，圆x2
1 2
＋y2＝a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线AM交C的右支于点P，若△MPA 是
1 2
等腰三角形，且∠PAM的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为( )
2
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 联立
且M在第一象限，
可得M，
而A(－a，0)，A(a，0)，
1 2
所以|MA |2＝2＋2＝2a2，
1
|MA |2＝2＋2＝2a2，
2
由题意知，∠AMA ＝∠PMA＝90°，
1 2 2
故△MPA 是等腰直角三角形，
2
所以∠MA P＝45°，
2
而∠PAM的内角平分线与y轴平行，
2
所以∠MA A＝22.5°，
1 2
又tan 45°＝＝1，
可得tan 22.5°＝－1，
则tan2∠MA A＝2＝
1 2
＝(－1)2，可得＝3－2，所以e＝.
8．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
答案 A解析 因为b＝cos ＝1－2sin2，
所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2
＝2×.
令f(x)＝x－sin x，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
所以>sin ，得>sin2，所以b>a.
因为＝＝4tan ，
所以令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝－1＝≥0，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
所以tan >，即4tan >1，
所以>1，又b>0，所以c>b.
综上c>b>a.故选A.
二、多项选择题
9．(2022·潍坊质检)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结
论正确的是( )
A．复数z的虚部为i
B.＝－i
C．z2＝z－1
D．复数z的共轭复数为－＋i
答案 BC
解析 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，所以
解得
即z＝＋i.
对于A，复数z的虚部为，故A错误；
对于B，＝＝－i，
故B正确；
对于C，因为z2＝2＝－＋i，z－1＝－＋i，
所以z2＝z－1，故C正确；
对于D，复数z的共轭复数为－i，故D错误．
10.(2022·深圳模拟)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E为AB的中点，则下列条件中，
1 1 1 1
能使直线EF∥平面ACD 的有( )
1
A．F为AA 的中点
1
B．F为BB 的中点
1
C．F为CC 的中点
1
D．F为AD 的中点
1 1
答案 ACD
解析 如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC ，C D，DA，AA的中点，易证E与M，
1 1 1 1 1 1
G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC⊂平面ACD ，EM⊄平面ACD ，得EM∥平面ACD ，
1 1 1
同理EJ∥平面ACD ，而EM，EJ是平面EMGHIJ内的相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面
1
ACD ，若EF∥平面ACD ，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，A，C，D满足．
1 1
11．(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝|sin x|sin x，则( )
A．f(x)为周期函数
B．y＝f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为[－1,1]
D．f(x)在上单调递增
答案 ACD
解析 对于A选项，
因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|sin(x＋2π)
＝|sin x|sin x＝f(x)，
所以2π是函数f(x)的一个周期，A正确；
对于B选项，因为f(－x)＝|sin(－x)|sin(－x)
＝－|sin x|sin x＝－f(x)，
则y＝f(x)的图象关于原点对称，B错误；
对于C选项，当x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z时，
f(x)＝sin2x＝∈[0,1]；
当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z时，
f(x)＝－sin2x＝∈[－1,0]．
故函数f(x)的值域为[－1,1]，C正确；
对于D选项，
当x∈时，
2x∈(－4π，－3π)，
因为f(x)＝sin2x＝，
所以f(x)在上单调递增，D正确．
12．(2022·益阳模拟)定义f″(x)是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实
数解x ，且在x 两侧f″(x)异号，则称点(x ，f(x))为函数y＝f(x)的“拐点”．可以证明，任
0 0 0 0
意三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称
中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数f(x)＝x3－3x2－3x＋5的对称中心也是函数y＝tan x的一个对称中心
C．存在三次函数h(x)，方程h′(x)＝0有实数解x ，且点(x ，h(x))为函数y＝h(x)的对称中
0 0 0
心
D．若函数g(x)＝x3－x2－，则g＋g＋g＋…＋g＝－1 011
答案 BCD
解析 对于A，
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
易知y＝f″(x)是一次函数，∴任何三次函数都只有一个对称中心，故A不正确；
对于B，由f(x)＝x3－3x2－3x＋5，
得f′(x)＝3x2－6x－3，f″(x)＝6x－6，
由6x－6＝0，得x＝1，
∴函数f(x)的对称中心为(1,0)，
又由x＝，k∈Z，得x＝k，k∈Z，
∴f(x)的对称中心是函数y＝tan x的一个对称中心，故B正确；
对于C，设三次函数
h(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，所以h′(x)＝3ax2＋2bx＋c，h″(x)＝6ax＋2b，
联立得3ac－b2＝0，
即当3ac－b2＝0时，存在三次函数h(x)，方程h′(x)＝0有实数解x ，且点(x ，h(x))为函数
0 0 0
y＝h(x)的对称中心，故C正确；
对于D，∵g(x)＝x3－x2－，
∴g′(x)＝x2－x，g″(x)＝2x－1，
令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，
∵g＝×3－×2－＝－，
∴函数g(x)＝x3－x2－的对称中心是，∴g(x)＋g(1－x)＝－1，
设T＝g＋g＋g＋…＋g，
∴2T＝＋＋…＋＝－2 022，
∴g＋g＋g＋…＋g＝－1 011，故D正确．
三、填空题
13．(2022·潍坊模拟)为了解某社区居民2022年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该
社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8
根据上表可得经验回归方程y＝0.76x＋0.4，则t＝________.
答案 8.5
解析 由题意知，
＝＝10，
＝＝，将(，)
代入y＝0.76x＋0.4可得，
＝0.76×10＋0.4，
解得t＝8.5.
14．(2022·邵阳模拟)一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有
2位是高三(1)班的同学，现要选4人去“表彰会”上演讲，若高三(1)班的2人同时参加，则
2人演讲的顺序不能相邻，则要求高三(1)班至少有1人参加的演讲的方案共有________种．
(用数字作答)
答案 3 024
解析 若高三(1)班只有1人参加，
则有CCA＝2 688(种)不同的方案；
若高三(1)班2人都参加，则有CAA＝336(种)不同的方案，故共有3 024种不同的方案．15．(2022·天津模拟)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．
答案 2
解析 因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝2，
当且仅当＝，且ab＝1，
即或时，等号成立．
16．(2022·潍坊模拟)已知正方体 ABCD－ABC D 的棱长为 1，空间一动点 P 满足
1 1 1 1
AP⊥AB，且∠APB＝∠ADB ，则tan∠APB＝________，点P的轨迹围成的封闭图形的面
1 1 1 1 1
积为________．
答案
解析 tan∠APB＝tan∠ADB ＝＝.
1 1
由正方体ABCD－ABC D 知AB⊥平面ABCD ，又点P满足AP⊥AB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以点P在平面ABCD 内运动，
1 1
如图，连接AB，交AB 于点O，连接PO.
1 1
由对称性知，∠APO＝∠BPO，
1
所以tan∠APB＝＝，
1
解得tan∠APO＝，
所以PO＝＝，
所以点P的轨迹围成的封闭图形是以点O为圆心，为半径的圆，
所以面积S＝π×2＝.
