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大题保分练 6
1．举办亲子活动，不仅能促进家庭与幼儿园之间的合作，还能增进亲子之间的感情，对促
进幼儿园教育也具有重要作用．某幼儿园为了提高家长对该幼儿园举办亲子活动的满意度，
随机调查了100名家长，每名家长对该幼儿园举办的亲子活动给出满意和不满意的评价，得
到的数据如下表：
满意 不满意 总计
男家长 40
女家长 10
总计 75 100
(1)补充完整上面的列联表，并分别估计男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异？
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
解 (1)由题意可得参与调查的女家长人数为100－40＝60，
参与调查的女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为60－10＝50，
参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的人数为75－50＝25，
参与调查的男家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为40－25＝15，
参与调查的家长对该幼儿园举办的亲子活动不满意的人数为15＋10＝25，
则补充完整的列联表如下：
满意 不满意 总计
男家长 25 15 40
女家长 50 10 60
总计 75 25 100
男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为＝，
女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率为＝.
(2)由(1)中列联表可得
K2＝＝≈5.556，
因为5.556>3.841，所以有95%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异．
2．在多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为的
等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点．
(1)求证：AF∥平面ECD；
(2)求多面体ABDEC的体积．
(1)证明 取CD的中点G，
连接EG，
∵△CDE为腰长为的等腰三角形，
∴EG⊥CD，
又∵平面CDE⊥平面BCD，EG⊂平面ECD，
平面CDE∩平面BCD＝CD，
∴EG⊥平面BCD，
同理可得，AF⊥平面BCD，
∴EG∥AF，
又∵EG⊂平面ECD，
AF⊄平面ECD，
∴AF∥平面ECD.
(2)解 在△CDE中，
EG2＝ED2－DG2，
∴EG＝2，
又∵△BCD为边长为2的等边三角形，
∴V ＝S ·EG＝××4×2＝，
E－BCD △BCD
过G作GH⊥BC于H，在等边三角形BCD中，
GH＝DF＝，
又∵平面ABC⊥平面BCD，GH⊂平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
∴GH⊥平面ABC，
又∵EG∥AF，
∴GH的长度是点E到平面ABC的距离，
又∵△ABC为等边三角形，
∴V ＝S ·GH＝××4×＝，
E－ABC △ABC
∴V ＝V ＋V ＝＋＝.
ABDEC E－BCD E－ABC
3．(2022·沈阳模拟)已知等差数列{a}的公差不为零，a ＋a ＋a ＝a ，a·a ＝a ，数列{b}各
n 1 2 3 5 2 3 8 n
项均为正数，b＝1，b－3b＝2bb .
1 n n＋1
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
(2)若＋6≥a 恒成立，求实数λ的最小值．
n
解 (1)设等差数列{a}的公差为d，
n
由已知得
解得或∵d≠0，
∴
∴a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
n
∵3b＋2bb －b＝0，
n n＋1
∴(b ＋b)(3b －b)＝0，
n＋1 n n＋1 n
∵b>0，∴b ＝b，
n n＋1 n
又b＝1≠0，∴b≠0，∴＝，
1 n
∴{b}是以1为首项，为公比的等比数列．
n
∴b＝n－1.
n
(2)∵b＝n－1，a＝2n－1，
n n
∴＋6≥a，
n
即＋6≥2n－1，
即λ≥恒成立，
设c＝，则c －c＝－＝，
n n＋1 n
即当n＝1,2,3时，c >c；
n＋1 n
当n＝4时，c ＝c；当n≥5，
n＋1 n
n∈N*时，c
