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小题满分练 4
一、单项选择题
1.(2022·中山统考)设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是
( )
A．M∩N B．M∪N
C．(∁U M)∪N D．(∁U M)∩N
答案 D
解析 由Venn图知，元素属于N但不属于M，
即阴影部分对应的集合为(∁U M)∩N.
2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于(
)
A．1 B．2 C．4 D．－4
答案 A
解析 ＝
＝
＝＋i，
因为复数为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得b＝1.
3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行，所以a≠0，且两直线的斜率相等，
即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合，不满足
题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，
又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分条件，所以“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的必要不充分条件．
4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在
PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强
度达到阈值时，DNA的数量X 与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X，其中p为扩增效
n n 0
率，X 为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，
0
那么该样本的扩增效率p约为( )
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案 C
解析 由题意知，lg(100X)＝10lg(1＋p)＋lg X，
0 0
即2＋lg X＝10lg (1＋p)＋lg X，
0 0
所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.
5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，
得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案 C
解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5
＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错
误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论
正确．
6．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于(
)A. B．2
C.＋1 D.＋3
答案 C
解析 在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为B＝，
所以∠ADB＝，∠BAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
sin ＝sin
＝sin cos －cos sin ＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝＝
＝＝＋1.
7．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线．
则下列结论中正确的是( )
A．－10，
当02时，u′(x)>0，
所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以u(x)在x＝0时取得极大值u(0)＝2＋m，在x＝2时取得极小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6，
由三次函数图象知
解得－2lg22 D．a>b答案 ABC
解析 由题可知a＝lg 2，b＝lg 5＝lg ，
又>2，所以a0，b＝lg >lg 2，
所以ab>lg22，C正确．
10．(2022·衡阳模拟)将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分
给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学
甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，
则下列结论正确的是( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(C|A)＝
D．P(B|A)＝
答案 CD
解析 将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙
三名同学，共有CA＝36个样本点，
事件A包含的样本点数为A＋CA＝12，
则P(A)＝＝，
同理P(B)＝P(C)＝，
事件AB包含的样本点数为A＝2，
则P(AB)＝＝，
事件AC包含的样本点数为C＋CC＝5，
则P(AC)＝，
因为P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A错误；
因为P(A)P(C)＝≠P(AC)，故B错误；
因为P(C|A)＝＝，故C正确；
因为P(B|A)＝＝，故D正确．
11.(2022·十堰统考)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E，F分别为棱AA ，CC 的
1 1 1 1 1 1中点，则( )
A．直线AC与平面AFD 垂直
1 1
B．直线BE与平面AFD 平行
1
C．三棱锥A－AFD 的体积等于
1 1
D．平面AFD 截正方体所得的截面面积为
1
答案 BD
解析 以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直线为z轴
1
建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,0)，A(2,0,2)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，
1 1
F(0,2,1)，
则A1C·D1F＝(－2,2，－2)·(0,2，－1)＝6≠0，
显然AC与DF不垂直，故直线AC与平面AFD 不垂直，A不正确；
1 1 1 1
因为E，F分别为棱AA，CC 的中点，
1 1
所以BE∥DF.
1
又BE⊄平面AFD ，DF⊂平面AFD ，
1 1 1
所以直线BE与平面AFD 平行，B正确；
1
＝××2×2×2＝，
C不正确；
如图，取棱BC的中点G，连接AG，FG，
因为F为棱CC 的中点，所以FG∥AD，
1 1
则四边形AGFD 为平面AFD 截正方体所得的截面，该四边形AGFD 的面积为×(＋2)×＝，
1 1 1
D正确．
12．(2022·临沂模拟)在平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△BCD面积的2倍，又数列
{a}满足a ＝2，当n≥2时，恒有BD＝(a －2n－1)·BA＋(a ＋2n)BC，设{a}的前n项和为
n 1 n－1 n nS，则( )
n
A．{a}为等比数列
n
B．{a}为递减数列
n
C.为等差数列
D．S＝(5－2n)2n＋1－10
n
答案 BCD
解析 如图，设AC与BD交于点E，
＝
＝＝2，
BE＝BA＋AE＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BA＋BC，
因为B，E，D共线，所以存在实数λ(λ≠0)，
使得BD＝λBE，
所以BD＝(a －2n－1)BA＋(a＋2n)BC
n－1 n
＝λBA＋λBC，
所以
所以a＋2n＝2(a －2n－1)，则a＝2a －2n＋1，
n n－1 n n－1
所以a＝2，a＝－4，a＝－24，{a}不是等比数列，A错误；
1 2 3 n
因为a＝2a －2n＋1，
n n－1
所以＝－2，即－＝－2，
所以是等差数列，C正确；
又因为a＝2，则＝1，
1
即＝1－2(n－1)＝3－2n，
所以a＝(3－2n)·2n，
n
当n≥2时，
a－a ＝(3－2n)·2n－[3－2(n－1)]·2n－1
n n－1
＝(1－2n)·2n－1<0，
即a0，b>0，若2是a与b＋1的等比中项，则a＋b的最小值为________．
答案 3
解析 由题可得a(b＋1)＝4，
则a＋b＝＋b＝b＋1＋－1
≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当b＋1＝，即b＝1，a＝2时，等号成立．
故a＋b的最小值为3.
14．(2022·衡水中学调研)某班级上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各
一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的
种数为________．
答案 16
解析 根据题意，可分三步进行分析：
(1)要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；
(2)将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)顺序，排好后，有3个空位；
(3)数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种
情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，所以不同的排课方法的种数是2×2×4＝
16.
15．(2022·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
再将得到的图象关于x轴翻折，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递增区间
为________．
答案
解析 将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得f(x)＝2sin，
再将f(x)＝2sin的图象关于x轴翻折，
可得g(x)＝－2sin.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，得－≤x≤－，
当k＝1时，得≤x≤，
当k＝0时，得≤x≤，
即y＝2sin在上单调递减．所以g(x)在[0,2π]上的单调递增区间为.
16．(2022·中山统考)已知点M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一象限内一点，点F为双
曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为________；
若MF，MO所在直线分别交双曲线C于点P，点Q，记直线QM与PQ的斜率分别为k ，
1
k，则k·k＝________.
2 1 2
答案 4 －15
解析 设M(x，y)，
0 0
因为4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，
所以|MO|＝|MF|＝c.
所以x＝，
0
y＝＝c，
0
即M.所以－＝1，
整理得4b2c2－45a2c2＝16a2b2，
4c4－65a2c2＋16a4＝0，
即4e4－65e2＋16＝0，
解得e2＝或e2＝16.
因为e>1，所以e2＝16，即e＝4.
设P(x，y)，由题知，Q(－x，－y)，
1 1 0 0
因为|MO|＝|MF|，
所以k ＝－k ，即k＝－k ，
QM MP 1 MP
所以k·k＝－k ·k＝－·
1 2 MP 2
＝－.
又因为
⇒(x－x)－(y－y)＝0，
所以＝＝＝e2－1＝15，
所以k·k＝－15.
1 2
