文档内容
第五周
[周一]
1．(2022·聊城模拟)已知数列{a}满足：a ＋(－1)na＝3，a＝1，a＝2.
n n＋2 n 1 2
(1)记b＝a ，求数列{b}的通项公式；
n 2n－1 n
(2)记数列{a}的前n项和为S，求S .
n n 30
解 (1)因为a ＋(－1)na＝3，
n＋2 n
令n取2n－1，则a －a ＝3，
2n＋1 2n－1
即b －b＝3，b＝a＝1，
n＋1 n 1 1
所以数列{b}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以b＝3n－2.
n n
(2)令n取2n，则a ＋a ＝3，
2n＋2 2n
所以S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )，
30 1 3 29 2 4 30
由(1)可知，
a＋a＋…＋a ＝b＋b＋…＋b ＝330；
1 3 29 1 2 15
a＋a＋…＋a ＝a＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝2＋21＝23，
2 4 30 2 4 6 28 30
所以S ＝330＋23＝353.
30
[周二]
2．(2022·济南模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C＝2B，
△ABC的面积S＝a.
(1)求c；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．
解 (1)因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，
所以B＝；
因为S＝acsin B＝ac＝a，
所以c＝1 .
(2)在 △ABC中，由正弦定理得＝，
由(1)知B＝，c＝1，
代入上式得a＝＝＝＝＋，
因为△ABC为锐角三角形，
则A＋C＝，A＝－C<，
所以C∈，
所以tan C∈，
所以a＝＋∈.
[周三]
3．(2022·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为
AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几
何体中解答下列两个问题．
(1)证明：AC⊥DE；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面ADE与平面ACE夹角的余弦值．
①四棱锥A－BCDE的体积为2；
②直线AC与EB所成角的余弦值为.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)证明 在图①中，连接CE(图略)，
因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB中点，
所以DC∥AE，DC＝AE，
所以四边形ADCE为平行四边形，
所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可证DE＝2，
在图②中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，
则OA＝OC＝，
因为AD＝AE＝CE＝CD＝2，
所以DE⊥OA，DE⊥OC，
因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，
所以DE⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC.(2)解 若选择①：
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，交线为OC，
所以过点A作AH⊥OC，则AH⊥平面BCDE，
因为S ＝2，
四边形BCDE
所以四棱锥A－BCDE的体积
V ＝2＝×2·AH，
A－BCDE
所以AH＝＝OA，
所以AO与AH重合，
所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，并连接CE，
则O(0,0,0)，C(－，0,0)，
E(0,1,0)，A(0,0，)，
CE＝(，1,0)，
CA＝(，0，)，
平面DAE的一个法向量为CO＝(，0,0)，
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝(1，－，－1)，
设平面ADE与平面ACE的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面ADE与平面ACE的夹角余弦值为.
若选择②：
因为DC∥EB，
所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成的角，
在△ADC中，cos∠ACD＝＝，
解得AC＝，
所以OA2＋OC2＝AC2，所以OA⊥OC，因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，交线为OC，
所以AO⊥平面BCDE.下同①.
[周四]
4．(2022·济宁模拟)血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进
行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性．若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若
样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒．根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即
样本携带病毒)的概率均为p(0，
即x＝(1－p)2>，
解得00恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故函数f(x)在定义域上不可能有两个零点；
当a>0时，令f′(x)>0得x>a，
令f′(x)<0得00，当x→0时，f(x)→＋∞，
由零点存在定理可知，在(0，a)与(a，1)范围内各有一个零点，
综上，实数a的取值范围是.
(2)证明 当a＝1时，要证f(x)<＋sin x，
即证ln x＋<＋sin x(x>0)，
由于sin x∈[－1,1]，
故＋sin x≥－1，
只需证ln x＋<－1，
令h(x)＝ln x＋－＋1(x>0)，
则h′(x)＝－－＝，
因为x>0，所以1－ex<0，
令h′(x)>0得01，
所以h(x)在x＝1处取得极大值，也是最大值，
h(x) ＝h(1)＝2－e<0，
max
故h(x)<0在x∈(0，＋∞)上恒成立，结论得证．
[周六]
6．(2022·广东联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆E经过点，过右焦点F
作两条互相垂直的弦AB和CD.
(1)求椭圆E的方程；
(2)当四边形ACBD的面积取最小时，求弦AB所在直线的方程．
解 (1)由已知可得
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当AB或CD中有一条直线垂直于x轴时，不妨设AB⊥x轴，
因为焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为x＝1，
将x＝1代入椭圆方程可得y＝±，
则|AB|＝3，|CD|＝4，
四边形ACBD的面积S＝×4×3＝6；
当AB的斜率存在且不为0时，
设其斜率为k(k≠0)，
由(1)知F(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
与椭圆E的方程＋＝1联立并消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
|AB|＝|x－x|
1 2＝·
＝·
＝·
＝.
同理可得|CD|＝＝，
所以四边形ACBD的面积S＝|AB|×|CD|
＝×
＝≥
＝72×2＝，
当且仅当4k2＋3＝3k2＋4，即k＝±1时，等号成立，因为6>，故四边形ACBD面积的最小值
为.
故弦AB所在直线的方程为y＝±(x－1)．
