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小题满分练 6
一、选择题
1．设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M⊆∁ N D．N⊆∁ M
R R
答案 A
解析 N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，
∴M⊆N，A正确，B错误；
∁ N＝{x|－2≤x≤2}，∁ M＝{x|x≤4}，
R R
可知C，D均错误．
2．(2022·开封模拟)命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x＋|x|<0
B．∀x∈R，x＋|x|≠0
C．∃x∈R，x＋|x|≥0
0 0 0
D．∃x∈R，x＋|x|<0
0 0 0
答案 D
解析 因为命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”是全称命题，所以其否定是特称命题，即
“∃x∈R，x＋|x|<0”．
0 0 0
3．棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(i为虚数单位，r>0)是由法国数学家棣
莫弗(1667－1754)发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内，复数15对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 由题意得15
＝215
＝215cos ＋215sin ·i，
对应的点的坐标为，
是第一象限角，其正弦、余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正数，故点在第一
象限．
4.(2022·宁波模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(e是自然对数的底
数)( )A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案 A
解析 由图知，x≠1，可排除B，C；又由图可知f(0)>0，因为选项D中函数f(x)＝，
则f(0)＝＝－1<0，故D错误．
5．(2022·泰安模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y
＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
答案 C
解析 由题意，得
即
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝3×192＝24(小时)．
6．(2022·临沂模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为(
)
A．3π B.π C.π D．2π
答案 B
解析 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l＝2，则l2＝r2＋h2＝4，
底面周长2πr＝×(2π×2)⇒r＝1，所以h＝＝，
所以圆锥的体积为×π×12×＝π.
7．对某位同学5次体育测试的成绩(单位：分)进行统计得到如下表格：
第x次 1 2 3 4 5
测试成绩y 39 40 48 48 50
根据上表，可得y关于x的线性回归方程为y＝3x＋a，下列结论不正确的是( )A.a＝36
B．这5次测试成绩的方差为20.8
C．y与x的相关系数r<0
D．预测第6次体育测试的成绩约为54
答案 C
解析 由已知得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(39＋40＋48＋48＋50)＝45，
所以这5次测试成绩的方差为×[(39－45)2＋(40－45)2＋(48－45)2＋(48－45)2＋(50－45)2]＝
20.8，B正确；
又y关于x的线性回归方程为y＝3x＋a，点(，)在直线y＝3x＋a上，
所以45＝3×3＋a，所以a＝36，所以y＝3x＋36，
取x＝6可得，y＝54，所以A，D正确；
因为y＝3x＋36，所以y与x成正相关关系，故相关系数r>0，C错误．
8．(2022·昆明模拟)为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回
馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满300元的顾客进行减免，规定每人在装有4
个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减15元，抽出1个红球减
30元．则某顾客所获得的减免金额为30元的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设4个白球为a，b，c，d,2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为30元，
则一共可抽取{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}，共15种情
况，
A＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6种情况，
所以顾客所获得的减免金额为30元的概率为P＝＝.
9．(2022·潍坊模拟)已知向量OP＝(1,2)，将OP绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1，OP2，
OP3的位置，则下列结论错误的是( )
A.OP1·OP3＝0
B．|PP1|＝|PP2|
C.OP·OP3＝OP1·OP2
D．点P 的坐标为
1
答案 D
解析 因为OP绕原点O旋转－30°，30°，60°到OP1，OP2，OP3的位置，
所以OP1与OP3的夹角为90°，
所以OP1·OP3＝0，故A正确；
由题意知，△OPP ≌△OPP ，
1 2
所以PP＝PP，即|PP1|＝|PP2|，故B正确；
1 2因为〈OP，OP3〉＝60°，
〈OP1，OP2〉＝60°，
|OP|＝|OP3|＝|OP1|＝|OP2|，
所以由数量积的定义知OP·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
若点P 的坐标为，
1
则|OP1|＝≠|OP|＝，故D错误．
10．(2022·吕梁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC
边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为( )
A．2 B. C. D.
答案 C
解析 ∵acos C－2bcos B＋ccos A＝0，
由正弦定理得
sin Acos C－2sin Bcos B＋sin Ccos A＝0，
∴sin(A＋C)－2sin Bcos B＝0，
又A＋B＋C＝π，
∴sin B－2sin Bcos B＝0，
∵B是三角形内角，
∴sin B≠0，
∴cos B＝，
∴B＝，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝a2＋c2－ac，
又BD＝(BC＋BA)，
∴|BD|2＝(|BC|2＋|BA|2＋2BC·BA)，
即4＝(a2＋c2＋ac)，
解得ac＝，
∴S ＝acsin B＝××＝.
△ABC
11．已知x∈(0，＋∞)，不等式ax＋eax≥ln x＋x恒成立，则实数a的最小值为( )
A. B. C．0 D．1
答案 A解析 设f(x)＝x＋ex，显然f(x)是增函数，
不等式ax＋eax≥ln x＋x可变形为ax＋eax≥ln x＋eln x，即f(ax)≥f(ln x)，所以ax≥ln x.
所以a≥，
令g(x)＝，x>0，
则g′(x)＝，
当00，g(x)单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g(e)＝，
max
因为不等式a≥恒成立，所以a≥.
即a的最小值是.
12．(2022·南通模拟)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，
B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝2|BF|，M为AB中点，则下列结论正确
的是( )
A．∠CFD<
B．直线AB的斜率为±
C．△AOB的面积为
D．△CMD为等腰直角三角形
答案 C
解析 令∠AFC＝α，∠BFD＝β，
∵|AC|＝|AF|，∴∠ACF＝α，∠CAF＝π－2α，
∵|BF|＝|BD|，
∴∠BDF＝β，∠DBF＝π－2β.
又∵π－2α＋π－2β＝π，
∴α＋β＝，
∴∠CFD＝，A错误；
设l ：x＝my＋1，
AB
令A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x可得y2－4my－4＝0，
则y＋y＝4m，yy＝－4.
1 2 1 2
∵AF＝2FB，∴y＝－2y，
1 2∴y＝－2，y＝，m＝－，此时k＝－2，
1 2
或y＝2，y＝－，m＝，此时k＝2，
1 2
即k＝±2，B错误；
|AB|＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2
1 2 1 2
＝my＋my＋4＝，
1 2
O到AB的距离d＝＝，
∴S ＝××＝，C正确；
△AOB
令m＝，则l ：x＝y＋1，
AB
此时A(2,2)，B，M，
C(－1,2)，D(－1，－)，|DM|＝，
|CM|＝，|CD|＝3，CM2＋DM2≠CD2，
∴△CDM不是等腰直角三角形，D错误．
二、填空题
13．(2022·日照模拟)已知第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则＋的最小值是
____________．
答案 3＋2
解析 因为第一象限的点M(a，b)在直线x＋y－1＝0上，
所以a＋b＝1，a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝－1，b＝2－时，等号成立．
14．(2022·广东六校联考)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角β
的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点，角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则cos(α－β)＝
________.
答案 －
解析 因为角β的终边与圆x2＋y2＝1交于点，所以sin β＝，cos β＝－，
因为角α的终边与角β的终边关于y轴对称，
所以sin α＝，cos α＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
15．(2022·鹰潭模拟)图1是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．
已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图 2所示，
且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为
156，且图2中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为______．答案 48
解析 设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为 a ，a ，a ，a ，成等差数列，设公差
1 2 3 4
为d，
由题意得6(a＋a＋a＋a)＝156，
1 2 3 4
即a＋a＋a＋a＝26，
1 2 3 4
所以2a＋3d＝13，①
1
因为阴影部分的面积
S＝6××(a－a)＝，
所以2ad＋d2＝11，②
1
联立①②解得或(不符合题意，舍去)，故a＝a＋3d＝8，
4 1
所以最外层六边形的周长为48.
16．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，
AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为
________________________________________________________________________．
答案 3
解析 如图，因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AD为球O的直径．
由AB＝2，BC＝4得AC＝2.
作CE⊥BD，则∠CAE即为AC与平面ABD所成的角，
所以sin∠CAE＝＝＝，得CE＝2.
设CD＝x，在△BCD中，由等面积法得4x＝2·，
解得x＝4，
所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＝4＋16＋16＝36，
即2R＝6，R＝3.
又平面ACD过球心，所以P到平面ACD距离的最大值即为半径的长，
所以点P到平面ACD距离的最大值为3.
