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小题满分练 5
一、单项选择题
1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 因为z·i3＝1－2i，
可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，
所以＝2－i，所以的虚部为－1.
2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取
值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.
3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于( )
A．1－a B．a－1
C．1－a2 D．a2－1
答案 D
解析 依题意知sin 12°＋cos 12°＝a，
两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，
则sin 24°＝a2－1，
所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.
4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔
157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案 C
解析 如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，
所以该棱台的体积
V ＝ ×9×(140 ＋ ＋ 180)×106 ＝ 60×(16 ＋ 3)×106≈60×(16 ＋ 3×2.65)×106 ＝
1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
5．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logy，则x，y，z的大小关系为( )
x
A．x1)为增函数，得x＝log 20>log 16＝2，
a 4 4
y＝log 20，
5
由log 50，
n 5 6
所以
解得－5b>c>0，则下列说法正确的是( )
A.<
B.<
C．ab＋c2>ac＋bc
D．(a＋b)的最小值为4
答案 BC
解析 对于A，因为a>b>c>0，
所以<，<0，
所以>，
所以A错误；
对于B，因为a>b>c>0，
所以c(a－b)>0，a(a＋c)>0，
所以－＝
＝＝>0，
所以<，所以B正确；
对于C，因为a>b>c>0，所以a－c>0，b－c>0，
所以ab＋c2－(ac＋bc)＝a(b－c)－c(b－c)
＝(a－c)(b－c)>0，
所以ab＋c2>ac＋bc，所以C正确；
对于D，因为a>0，b>0，
所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，
因为a>b，所以取不到等号，
所以(a＋b)的最小值不为4，
所以D错误．
11．(2022·保定模拟)在正方体ABCD－ABC D 中，点M，N分别是棱AD ，AB的中点，
1 1 1 1 1 1
则下列选项中正确的是( )
A．MC⊥DN
B．AC ∥平面MNC
1 1
C．异面直线MD与NC所成角的余弦值为
D．平面MNC截正方体所得的截面是五边形
答案 AD
解析 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则D(0,0,0)，M(1,0,2)，C(0,2,0)，N(2,1,0)，A(2,0,0)．
所以MC＝(－1,2，－2)，DN＝(2,1,0)，
MC·DN＝－2＋2＝0，
所以MC⊥DN，故A正确；
因为MC＝(－1,2，－2)，MN＝(1,1，－2)，
设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，
所以由MC·n＝0，MN·n＝0，
可得
所以可取n＝(2,4,3)，
因为AC＝(－2,2,0)，AC·n＝－4＋8＝4≠0，
又A1C1＝AC，
所以AC 不与平面MNC平行，故B错误；
1 1
因为DM＝(1,0,2)，NC＝(－2,1,0)，
所以cos〈DM，NC〉＝＝－，
所以异面直线MD与NC所成角的余弦值为，
故C错误；
连接CN，在DC 上取靠近D 的四等分点Q，连接MQ，则MQ∥CN，
1 1 1
连接CQ，在AA 上取靠近A 的三等分点P，连接NP，则NP∥CQ，连接MP，
1 1所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故D正确．
12．(2022·山东名校大联考)设函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且仅
有3个零点，则下列结论正确的是( )
A．在(0，π)上存在x，x，满足f(x)－f(x)＝4
1 2 1 2
B．f(x)在(0，π)上有2个最大值点
C．f(x)在上单调递增
D．ω的取值范围为
答案 AD
解析 f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ω>0)，
则函数f(x)的大致图象如图所示，
当x＝0时，
y＝2sin＝－1，
因为ω>0，所以当x>0时，f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
因为f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，
所以π的位置在C与D之间(包括C，不包括D)，
令f(x)＝2sin＝0，
则ωx－＝kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，
所以y轴右侧第一个零点的横坐标为，
周期T＝，
所以＋T≤π<＋T，
即＋≤π<＋·，
解得≤ω<，所以D正确；
在区间(0，π)上，函数f(x)可以取到最大值和最小值，所以在(0，π)上存在x，x，
1 2
满足f(x)－f(x)＝4，所以A正确；
1 2
由图象可得，f(x)在(0，π)上不一定有2个最大值点，所以B错误；
当00，b>0)的左、
1 2
右焦点，过F 的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足BT＝
1
3AF2，且BF 经过△BFT的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．
2 1答案
解析 如图所示，
设|AF|＝m，因为|FF|＝2c，BT＝3AF2，
1 1 2
则AF∥BT，所以△FAF∽△FBT，
2 1 2 1
所以＝＝＝，
所以|BF|＝3m，|FT|＝4c，
1 2
由双曲线的定义可得，
|AF|＝|AF|＋2a＝m＋2a，
2 1
|BF|＝|BF|－2a＝3m－2a，
2 1
因为BF 经过△BFT的内切圆圆心，即BF 平分∠FBT，
2 1 2 1
所以 ＝＝＝，
则|BT|＝2|BF|＝6m，
1
所以|AF|＝|BT|＝2m，
2
所以2m＝m＋2a，则m＝2a，
则|AB|＝2m＝4a＝|AF|，|BF|＝3m－2a＝4a，
2 2
故△ABF 为等边三角形，
2
则∠BAF＝，
2
故∠FAF＝，
1 2
在△FAF 中，
1 2
|AF|＝2a，|AF|＝4a，|FF|＝2c，
1 2 1 2
由余弦定理可得|FF|2＝|AF|2＋|AF|2－2|AF|·|AF|cos ，
1 2 1 2 1 2
即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，
可得c＝a，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝.
