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压轴题突破练 1
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ，y)，Q(x ，y)在C上，且
1 1 2 2
x>x>0，y>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取
1 2 1
两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
(1)解 由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明 由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x＋x＝，xx＝－>0，
1 2 1 2
所以3－k2<0，
所以x－x＝＝.
1 2
设点M的坐标为(x ，y )，
M M
则
两式相减，得y－y＝2x －(x＋x)，
1 2 M 1 2
又y－y＝(kx＋t)－(kx＋t)＝k(x－x)，
1 2 1 2 1 2
所以2x ＝k(x－x)＋(x＋x)，
M 1 2 1 2
解得x ＝；
M
两式相加，得2y －(y＋y)＝(x－x)，
M 1 2 1 2
又y＋y＝(kx＋t)＋(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x＋x)＋2t，
1 2所以2y ＝k(x＋x)＋(x－x)＋2t，
M 1 2 1 2
解得y ＝＝x .
M M
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②作为条件证明③成立：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－，
B B
所以x ＋x ＝，y ＋y ＝.
A B A B
点M的坐标满足
得x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|，即③成立．
若选择①③作为条件证明②成立：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB，即②成立．
若选择②③作为条件证明①成立：
因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
设AB的中点为C(x ，y )，
C C
则x ＝＝，
C
y ＝＝.
C
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线y－y ＝－(x－x )，
C C
即y－＝－上，
与y＝x联立，得x ＝＝x ，
M C
y ＝＝y ，
M C
即点M恰为AB的中点，
故点M在AB上，即①成立．
2．(2022·无锡模拟)已知函数f(x)＝ex(1＋mln x)，其中m＞0，f′(x)为f(x)的导函数，设h(x)
＝，且h(x)≥恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)设函数f(x)的零点为x，函数f′(x)的极小值点为x，求证：x＞x.
0 1 0 1
(1)解 由题设知f′(x)＝ex，
则h(x)＝1＋mln x＋(x>0)，
所以h′(x)＝－＝，
当x＞1时，h′(x)＞0，
则h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，
则h(x)在区间(0,1)上单调递减，
所以h(x) ＝h(1)＝1＋m≥，
min
解得m≥，
所以m的取值范围为.
(2)证明 令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝ex
＝ex，令t(x)＝1＋mln x＋－(x>0)，
则t′(x)＝－＋＝＝>0恒成立，
所以t(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又t(1)＝1＋m>0，t＝1－mln 2≤1－ln 2<0，所以存在x∈，使得t(x)＝0，
2 2
当x∈(0，x)时，t′(x)＜0，
2
即g′(x)＜0，则f′(x)在(0，x)上单调递减；
2
当x∈(x，＋∞)时，t′(x)＞0，
2
即g′(x)＞0，则f′(x)在(x，＋∞)上单调递增，
2
所以f′(x)在x＝x 处取得极小值，
2
即x＝x，所以t(x)＝0，
1 2 1
即1＋mln x＋－＝0，x∈，
1 1
所以1＋mln x＝－＝<0，
1
令s(x)＝1＋mln x，则s(x)在(0，＋∞)上单调递增，且s(x)＜0，
1
因为f(x)的零点为x，
0
则1＋mln x＝0，即s(x)＝0，
0 0
所以s(x)＜s(x)，所以x＞x.
1 0 0 1
