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小题满分练 3
一、单项选择题
1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝
0}，则 ∁U (A∪B)等于( )
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
答案 D
解析 集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U (A∪B)＝{－2,0}．
2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于(
)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案 D
解析 因为z＝＝
＝，
所以其在复平面内对应点的坐标为，
由题意知＋＝0，解得a＝3.
3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝的大致图象是( )
答案 D
解析 因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(x)＝f(－x)，
所以f(x)是偶函数，排除B；
又f(1)＝0，排除C；
当x>1时，函数y＝ex＋e－x比y＝ln x增长得更快，故函数的大致图象为D选项．4．(2022·凉山模拟)正项等比数列{a}与正项等差数列{b}，若aa ＝bb ，则a 与b 的关系
n n 1 5 5 7 3 6
是( )
A．a＝b B．a≥b
3 6 3 6
C．a≤b D．以上都不正确
3 6
答案 C
解析 设等差数列{b}的公差为d，
n
则bb＝(b－d)(b＋d)＝b－d2，
5 7 6 6
又aa＝a，
1 5
∴a＝b－d2≤b，
∵{a}，{b}均为正项数列，
n n
∴a≤b.
3 6
5．(2022·萍乡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线y＝kx(k>0)
1 2
与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F ，N，F 四点共圆，且直线NF 的倾斜角
1 2 2
为，则椭圆C的离心率为( )
A. B.－1
C. D.－1
答案 B
解析 根据题意四边形MF NF 为平行四边形，
1 2
又由M，F，N，F 四点共圆，可得平行四边形MF NF 为矩形，即NF ⊥NF .
1 2 1 2 1 2
又直线NF 的倾斜角为，
2
则有∠MF F＝，则|MF |＝|FF|＝c，
1 2 2 1 2
|MF |＝|FF|＝c，
1 1 2
则2a＝|MF |＋|MF |＝(1＋)c，
1 2
即c＝a＝(－1)a，
则椭圆C的离心率e＝＝－1.
6.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所
失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思
想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n
变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到 sin 2°
的近似值为( )
A．0.035 B．0.026C．0.018 D．0.038
答案 A
解析 将一个单位圆分成180个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为2°，
∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴180××1×1×sin 2°＝90sin 2°≈π，
∴sin 2°≈≈0.035.
7．已知ex－y>ln y－x，则下列结论正确的是( )
A．x>y B．x>ln y
C．xln y－x，
可以化为ex＋x>y＋ln y＝ln y＋eln y，
所以可以构造函数f(x)＝ex＋x，
因为f(x)＝ex＋x在R上单调递增，
又f(x)＝ex＋x>ln y＋eln y＝f(ln y)．
所以x>ln y.
8.(2022·安徽省鼎尖联盟联考)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝2，
AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，则四棱锥P－ABCD外接球半径为( )
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 如图所示，在等腰梯形ABCD中，
由BC＝2AD＝2AB
＝2CD＝4，
过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1，
在Rt△ABM中，可得cos∠ABM＝＝，
可得∠ABM＝60°，即∠ABC＝∠DCB＝60°，
取BC的中点E，连接EA，ED，
可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心，半径r＝2的圆，
设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连接
OP
易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝
2，所以OE＝PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝＝＝.
二、多项选择题
9．(2022·济宁模拟)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20 000人参加考试．
为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为
100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结
论正确的是( )
A．样本容量n＝1 000
B．图中x＝0.030
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯
定能得到此称号
答案 BC
解析 对于A，因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝＝100，故A不
正确；
对于B，因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.030，故B正确；
对于C，学生成绩平均分为
0．016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，
故C正确；
对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－78)×0.040＝0.22>0.20，
即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此
称号，故D不正确．
10.(2022·衡水中学调研)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
B．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的图象关于点对称
答案 ABD
解析 由图知，函数的周期T满足
T＝－＝，
解得T＝2π，
∴ω＝＝＝1，
将点代入函数f(x)的解析式，
得1＝cos，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
∵－π<φ<0，
∴φ＝－，f(x)＝cos.
对于A，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos＝sin x，
此时g(x)＝sin x为奇函数，故A正确；
对于B，当x＝－时，
f ＝cos＝－1，
所以直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，f(x)＝cos的单调递增区间满足
－π＋2kπ≤x－≤2kπ，k∈Z，
即单调递增区间为，k∈Z，
当k＝1时，单调递增区间为，
当k＝2时，单调递增区间为，
所以f(x)在区间上单调递减，
故C错误；
对于D，当x＝时，
f ＝cos＝cos ＝0，故D正确．11．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率
为，且双曲线C的左焦点在直线x＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P
是双曲线C右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k ，k ，则下列说法正确
1 2
的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
B．双曲线C的方程为－y2＝1
C．kk 为定值
1 2
D．存在点P，使得k＋k＝1
1 2
答案 BC
解析 对于A选项，
2＝＝e2－1＝，则＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，A错误；
对于B选项，由题意可得－c＋＝0，
可得c＝，a＝＝2，b＝a＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1，B正确；
对于C选项，设点P(x，y)，
0 0
则－y＝1，可得x＝4＋4y，
易知点A(－2,0)，B(2,0)，
所以kk＝·
1 2
＝＝＝，C正确；
对于D选项，由题意可知x>2，y>0，
0 0
则k＝>0，k＝>0，且k≠k，
1 2 1 2
所以k＋k>2＝1，D错误．
1 2
12．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，当x∈(0,1]
时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是( )
A．f(x＋4)＝f(x)
B．f(x)的值域为[－1,1]
C．f(x)在[－4，－2]上单调递减
D．f(x)的图象关于点(4,0)中心对称
答案 ABD
解析 对于A，因为f(x＋1)为偶函数，
所以满足f(－x＋1)＝f(x＋1)，
又f(x)是奇函数，
则f(－x＋1)＝f[－(x－1)]＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
用x＋1替换x可得f(x＋2)＝－f(x)，
再用x＋2替换x，
可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故A正确；
对于B，由已知f(x)是奇函数，
当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x2，
又f(x＋1)为偶函数，则可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，因此可知f(x)在[－1,3]上的值域
为[－1,1]，又由A选项可知f(x)是周期为4的函数，故B正确；
对于C，结合A，B选项可知，f(x)在[－3＋4k，－1＋4k](k∈Z)上单调递减，故C错误；
对于D，因为f(x)是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)的图象关于点(4＋2k,0)，k∈Z中
心对称，故D正确．
三、填空题
13．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝
________.
答案 11
解析 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
14．(2022·山东省实验中学诊断)某校对高三年级的一次数学检测成绩进行抽样分析，发现成
绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，且P(91<ξ≤95)＝0.3，若该校1 800名学生参加此次检测，
估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为________．
答案 360
解析 由题意知，成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，则正态分布曲线的对称轴为X＝
95，
又由P(91<ξ≤95)＝0.3，
知P(X≥99)＝×[1－2×P(910)，令f(t)＝(3－t)(ln t＋2)，
则f′(t)＝－(ln t＋2)＋＝－ln t＋－3，
由y＝－ln t和y＝－3在(0，＋∞)上单调递减，
可知f′(t)在(0，＋∞)上单调递减，
又f′(1)＝0，当t>1时，f′(t)f′(1)＝0，
所以f(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(t)在t＝1处取得极大值，且为最
大值，即f(1)＝4，则a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞)．
