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第四周
[周一]
1．已知数列{a}满足a＋a ＝2a ，n∈N*，且a＝1，a＋a＝22.
n n n＋2 n＋1 1 5 7
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)记在区间(3m,3m＋1)(m∈N*)上，{a}的项数为b ，求数列{b }的前m项和．
n m m
解 (1)由题意知a －a ＝a －a，
n＋2 n＋1 n＋1 n
则{a}为等差数列，设其公差为d，
n
由a＋a＝22，
5 7
得a＋4d＋a＋6d＝22，又a＝1，
1 1 1
∴d＝2，则a＝2n－1.
n
(2)由题意得，
b ＝－1＝3m－1，
m
∴b＋b＋…＋b
1 2 m
＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3m－1)
＝31＋32＋…＋3m－m
＝3×－m
＝－m－.
[周二]
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝
AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E为AD的中点．
(1)证明：PE⊥AB；
(2)若△PAD的面积为，求点D到平面PAC的距离．
(1)证明 ∵在等边△PAD中，E为AD的中点，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，
∴PE⊥AB.(2)解 ∵△PAD的面积为，
∴AD＝2，PE＝，AB＝BC＝AD＝1，
在△PAC中，PA＝2，AC＝，PC＝2，
∴S ＝×AC×＝××＝，S ＝×AD×CE＝1，
△PAC △ACD
设点D到平面PAC的距离为h，由V ＝V 得，×S ×PE＝×S ×h，
P－ACD D－PAC △ACD △PAC
∴h＝，即点D到平面PAC的距离为.
[周三]
3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为
2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M，N作抛物线C的切线l，l，P(x，y)是l，l 的交点，求证：点P在定直线上．
1 2 0 0 1 2
(1)解 因为点A的横坐标为2，且点A在圆O上，
所以点A的坐标为A(2，2)，
代入抛物线方程得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明 抛物线C：y＝，则y′＝，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以切线PM的方程为y－y＝(x－x)，
1 1
即y＝·x－，
同理切线PN的方程为y＝·x－，
联立解得点P，
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，
所以xx＝－4，
1 2
所以点P在定直线y＝－1上，结论得证．
[周四]
4．(2022·雅礼中学模拟)为锻炼学生的综合实践能力，某中学组织学生对某奶茶店的营业情
况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 2 4 6 8 10 12
净利润y(万元) 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1
(1)设μ＝ln x，v＝.试建立y关于x的非线性回归方程y＝aln x＋b和y＝m ＋n (保留两位
i i i
有效数字)；
(2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年 2月(x＝14)的净利润(保留一位小数)．
附：①相关系数r＝，回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝
－b；
②参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6，ln 7≈1.9，≈1.4，≈2.4，≈2.8，≈3.2，
≈3.5，≈3.7，≈57.6，≈67.7.
解 (1)＝
＝≈1.8，
＝＝3.55，
(μ －)(y －)≈(－1.1)×(－2.65)＋(－0.4)×(－1.55)＋0×0.65＋0.3×0.35＋0.5×1.65＋
i i
0.7×1.55＝5.55，
(μ－)2≈(－1.1)2＋(－0.4)2＋02＋0.32＋0.52＋0.72＝2.2，
i
所以a＝＝≈2.5，b＝3.55－2.5×1.8＝－0.95，
所以模型y＝aln x＋b的回归方程为y＝2.5ln x－0.95，
＝≈2.55，
(v －)(y －)≈(－1.15)×(－2.65)＋(－0.55)×(－1.55)＋(－0.15)×0.65＋0.25×0.35＋
i i
0.65×1.65＋0.95×1.55＝6.435，
(v－)2≈(－1.15)2＋(－0.55)2＋(－0.15)2＋0.252＋0.652＋0.952＝3.035，
i
所以m＝≈2.1，n＝3.55－2.1×2.55≈－1.8，
所以模型y＝m ＋n的回归方程为y＝2.1－1.8.
(2) (y－)2＝(－2.65)2＋(－1.55)2＋0.652＋0.352＋1.652＋1.552≈15.1，
i
所以r＝＝≈≈0.964，
1
r＝＝≈≈0.951，
2
因为r 更接近1，所以模型y＝2.5ln x－0.95的拟合效果更好，
1
则次年2月(x＝14)的净利润为y≈2.5ln 14－0.95≈5.6(万元)．
[周五]
5．(2022·江门模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋－5.
(1)证明：f(x)<；
(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两个不同的公共点，求实数a的取值范围．
(1)证明 要证f(x)<，
即证当x∈(0，＋∞)时，不等式ln x－<0恒成立．
令F(x)＝ln x－，
则F′(x)＝－＝，
故当0<x<4时，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x>4时，F′(x)<0，F(x)单调递减．
则F(x) ＝F(4)＝ln 4－2<0，
max
故f(x)<.
(2)解 由f(x)＝g(x)可得a＝＋－
＝，
构造函数h(x)＝－，其中x>0，
则h′(x)＝＋
＝，
当0<x<1时，4－4x>0，ln x<0，
则h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增，
当x>1时，4－4x<0，ln x>0，
则h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减，
所以h(x) ＝h(1)＝3，
max
令φ(x)＝xln x＋5x－2，
则当x>1时，φ(x)>5x－2>0，
当0<x<时，φ(x)<5x－2<0，
故存在x∈，
0
使得φ(x)＝0，即h(x)＝0，
0 0
作出函数h(x)与y＝a的图象如图所示，
由图可知，当0<a<3时，函数h(x)与y＝a的图象有2个交点，
因此，实数a的取值范围是(0,3)．
[周六]
6．[坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，圆C 与圆C 关于直线y＝x对称．
1 1 1 2
现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 与圆C 的极坐标方程；
1 2
(2)设M，N分别是圆C 和圆C 上的两个动点，且∠MON＝，求△MON面积的最大值．
1 2
解 (1)因为圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，圆C 与圆C 关于直线y＝x对称，
1 1 1 2
所以圆C 的圆心为C (1,0)，半径为1，
2 2所以圆C 的方程为x2＋(y－1)2＝1，圆C 的方程为(x－1)2＋y2＝1，
1 2
所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
1 2
(2)设M，N(ρ，θ)，θ∈，
2
因为θ＋∈(0，π)，所以θ∈，
所以S ＝ρρsin ＝×2sin×2cos θsin ＝sincos θ＝cos2θ
△MON 1 2
－sin θcos θ＝cos＋，
因为θ∈，所以2θ＋∈，
所以S ＝cos＋≤＋，
△MON
当且仅当2θ＋＝0，即θ＝－时，等号成立．
所以△MON面积的最大值为＋.
6．[不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋a2|(a∈R)，且不等式f(x)≤2的解集为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤kx－|x＋a2|－|x－2|的解集为M，且当a取任意值时，都有⊆M，求实数k
的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝|x－a|－|x＋a2|≤|(x－a)－(x＋a2)|＝|a＋a2|，
即f(x) ＝|a＋a2|，
max
由不等式f(x)≤2的解集为R，可得|a＋a2|≤2，即－2≤a＋a2≤2，
解得－2≤a≤1，即a的取值范围为[－2,1]．
(2)不等式f(x)≤kx－|x＋a2|－|x－2|可化为|x－a|＋|x－2|≤kx，a∈[－2,1]，
令g(x)＝|x－a|＋|x－2|＝
作出函数g(x)＝|x－a|＋|x－2|与y＝kx的大致图象，如图所示，
因为不等式f(x)≤kx－|x＋a2|－|x－2|的解集为M，且当a取任意值时，都有⊆M，
故对于任意的a∈[－2,1]恒成立，
故解得k≥，
故实数k的取值范围是.
