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第七周
[周一]
1．(2022·广州模拟)从①－＝－5；②S＝S－8；③a＝1这三个条件中任选一个，补充在下
8 4 5
面的问题中，并作答．
问题：已知等差数列{a}的前n项和为S，S＝9，且________，求数列{|a|}的前n项和T.
n n 1 n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 设数列{a}的公差为d.
n
选①－＝－5.
因为－＝－＝＝，
所以＝－5，解得d＝－2，
又a＝S＝9，所以a＝－2n＋11，
1 1 n
S＝＝－n2＋10n.
n
当1≤n≤5时，a>0，T＝S＝－n2＋10n；
n n n
当n≥6时，a<0，
n
T＝S－(S－S)＝2S－S＝n2－10n＋50.
n 5 n 5 5 n
综上所述，T＝
n
选②S＝S－8，
8 4
因为a＝S＝9，S＝8a＋28d，S＝4a＋6d，
1 1 8 1 4 1
所以S－S＝4a＋22d＝－8，
8 4 1
解得d＝－2.
下同①.
选③a＝1，
5
因为a＝S＝9，a＝a＋4d＝1，
1 1 5 1
所以d＝－2.
下同①.
[周二]
2.(2022·广州模拟)如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α.(1)证明：PB·sin∠ABC＝AB·sin α；
(2)若∠ABC＝，AB＝BC＝1，求PC.
(1)证明 在△ABP中，
由正弦定理得＝，
即PB·sin∠APB＝AB·sin α，
要证明PB·sin∠ABC＝AB·sin α，
只需证明sin∠ABC＝sin∠APB，
在△ABP中，∠APB＝π－(α＋∠ABP)，
在△ABC中，∠ABC＝α＋∠ABP，
所以∠APB＝π－∠ABC，
所以sin∠APB＝sin(π－∠ABC)＝sin∠ABC，
所以PB·sin∠ABC＝AB·sin α.
(2)解 由(1)知PB·sin∠ABC＝AB·sin α，
又因为∠ABC＝，AB＝1，
所以PB＝sin α，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，
所以∠BCA＝∠CAB＝，
则∠BCP＝－α，
所以在△PBC中，
∠BPC＝π－－α＝，
由正弦定理得＝，
即＝，
即PC＝sin α.由余弦定理得
sin2α＋2－2sin α·sin α·cos ＝1，
由题意知sin α>0，
解得sin α＝，
所以PC＝.[周三]
3．在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量
的简单随机样本数据(x，y)(i＝1,2，…，20,25E(Y)，
所以该机构购买甲款健身器材更划算．
[周四]
4.(2022·长沙模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝
CD，∠ABC＝120°.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若点M为PB的中点，点N为线段PC上一动点，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值
的取值范围．
(1)证明 如图，设AC的中点为O，连接BO，DO，因为AB＝BC，所以BO⊥AC，
因为AD＝CD，所以DO⊥AC，
所以B，O，D三点共线，所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥PA，
因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，
AC⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)解 由(1)可得OC⊥OD，以OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴，过O点作平行于AP
的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(，0,0)，P(－，0,2)，
B(0，－1,0)，因为M为PB的中点，
所以M，
设PN＝λPC，0≤λ≤1，
所以N(2λ－，0,2－2λ)，
所以MN＝，
由(1)知BD⊥平面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设直线MN与平面PAC所成角为θ，
则sin θ＝＝
＝，0≤λ≤1，
y＝16λ2－10λ＋2的对称轴为λ＝，
当λ＝时，y ＝，
min
当λ＝1时，y ＝8，
max
即当0≤λ≤1时，≤≤2，
所以≤≤，
所以≤sin θ≤，
即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为.
[周五]
5．(2022·临沂模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，
1 2
A为C的左顶点，且AF1·AF2＝－5.
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N.求证：点M与
点N的横坐标之积为定值．
(1)解 易知点A(－a，0)，F(－c，0)，F(c，0)，
1 2
AF1＝(－c＋a，0)，AF2＝(c＋a，0)，
所以
解得a＝2，c＝3，则b＝＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明 分以下两种情况讨论：
①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M，N的横坐标之积为22＝4；②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即k≠±，设点M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
联立
可得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0，
令Δ＝64k2m2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＝0，
可得4k2＝m2＋5，则m≠0，
不妨令点M，N分别为直线l与直线y＝x，y＝－x的交点，
联立可得x＝，
1
联立可得x＝－，
2
此时xx＝＝＝＝4.
1 2
综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值．
[周六]
6．(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝ex－ax＋sin x－1.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；
(2)当1≤a<2时，试讨论函数f(x)的零点个数．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝ex－2x＋sin x－1，
则f′(x)＝ex－2＋cos x，
令g(x)＝ex－2＋cos x，
则g′(x)＝ex－sin x.
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，
∴g′(x)>1－sin x≥0,
∴f′(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)>f′(0)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当x∈(－∞，0]时，可得ex≤1，
∴f′(x)＝ex－2＋cos x≤－1＋cos x≤0，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，
综上，函数f(x)的极值点为x＝0.
(2)当x＝0时，f(0)＝e0－0－1＋sin 0＝0，
∴x＝0是f(x)的一个零点，令h(x)＝f′(x)＝ex－a＋cos x，1≤a<2，
则h′(x)＝ex－sin x.
①当x∈(0，＋∞)时，ex>1，
∴h′(x)>1－sin x≥0，
∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)>f′(0)＝2－a>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，此时f(x)在(0，＋∞)上无零点．
②当x∈(－∞，－π]时，－ax≥π，
有f(x)＝ex－ax＋sin x－1≥ex＋π＋sin x－1>0，
此时f(x)在(－∞，－π]上无零点．
③当x∈(－π，0)时，
sin x<0，h′(x)＝ex－sin x>0，
∴f′(x)在(－π，0)上单调递增，
又f′(0)＝2－a>0，f′(－π)＝e－π－a－1<0，
由零点存在定理知，存在唯一的x∈(－π，0)，
0
使得f′(x)＝0.
0
当x∈(－π，x)时，f′(x)<0，f(x)在(－π，x)上单调递减；
0 0
当x∈(x,0)时，f′(x)>0，f(x)在(x,0)上单调递增，
0 0
又f(－π)＝e－π＋aπ－1>0，f(x)
