文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（新高考II 卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 , ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，得 ，所以 ，
函数 中， ，即 ，所以 ，
，所以 .
故选：B
2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．笵三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点为 ，易得该点在第四象限.
故选：D.
3．设非零向量 ，满足 ， ，则向量 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等式 ，两边平方得： ，
则 ，且 ，所以 .
，即 .
故选：B.
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .
由 可得： .
因为 ，
所以 .
所以 .故选：C.
5．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川的六
条航线.甲､乙､丙､丁､戊､已6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的
航班.则不同的体验方案有（ ）
A．56种 B．72种 C．96种 D．144种
【答案】C
【解析】由题意，
共6个城市，3个方向，
甲不去沈阳､哈尔滨，有 种方案，
乙和丙乘坐同一方向的航班，有 种方案，
剩余3人有 种方案，
故不同的体验方案有： ，
故选：C.
6．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面 为梯形， ，侧棱长 .当侧面ABCD
水平放置时，液面与棱 的交点恰为 的中点.当底面 水平放置时，液面高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形 两腰的中点为 ，如下图所示：由 可得 ，
所以四边形 与四边形 的面积之比为 ，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的 ；
当底面 水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的 ,
即可得液面高为 .
故选：C
7．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以，
，
则 ，则 ，可得 ，则 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：D.
8．已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
【答案】C
【解析】易判断函数 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数 ，
上的最大值 .
当 时， ，二次函数的对称轴为 ，函数在 上单调递增，所以
；
当 时， ，
因为 ，所以 在 上递增，在 上也是递增，
所以 ；
当 时， ，
因为 ，所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
所以 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ;
当 时， ， （因为 ），
所以函数 在 上递增，在 上递减，所以 .综上可知： 的最小值为 .
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆 ， ，则（ ）
A．直线 的方程为
B．过点 作圆 的切线有且仅有 条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆 上到直线 的距离为 的点共有 个
【答案】AB
【解析】由题知， ，
则直线 的方程为 ，所以A正确；
因为 ，圆 半径为 ，
过点 作圆 的切线有 两条，所以B正确；
又 ，
公共弦所在直线 为 ，
圆心 到 的距离为 ，
所以公共弦长为 ，所以C错误；
圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上到直线 距离为 的点有 个，所以D错误．
故选：AB
10．某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意
度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意
的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为 ．在制定 列联表时，
由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下 列联表，下列结论正确的是（ ）
满意 不满意 合计
男 10
女
合计 90
参考公式与临界值表 ，其中 ．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法
B．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20
C． 的观测值为9
D．根据小概率 的 独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”
【答案】AD
【解析】A选项，因为在校学生中有400名男生，500名女生，随机调查了40名男生和50名女生，
男女比例始终是4：5，所以采用了分层抽样的方法，故A正确；
B选项，调查的90人中，对学校课后延时服务满意的人数为 ，
其中男生满意的人数为 ，所以女生满意的人数为30，女生不满意的人数为20，故B错误；
C选项，由B选项的分析，补全列联表如下：满意 不满意 合计
男 30 10 40
女 30 20 50
合计 60 30 90
由列联表可得 ，故C错误；
D选项， ：对课后延时服务的满意度与性别无关，由 ，
根据小概率 的 独立性检验，没有充足的证据推断 不成立，
即不能认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”，故D正确．
故选：AD．
11．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 在区间 上单调递增
C．将 图象上的所有点向右平移 个单位长度即可得到 的图象
D．函数 的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项：将 代入 ，得 ，故 的图象不关
于点 对称,故选项A错误;对于B选项：在 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
根据余弦函数图象可知 在 单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将 图象上的所有点向右平移 个单位长度,
可得到 故选项C正确；
对于D选项： ,
结合余弦函数的性
质可知： ，故选项D正确.
故选：BCD.
12．已知 的定义域为 且 为奇函数， 为偶函数，且对任意的 ，且 ，
都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 的图象关于 对称 D．
【答案】ABD
【解析】 为奇函数， 为偶函数，所以 的图象关于点 对称且关于直线 对称，
所以 ，
，
所以 是周期函数，4是它的一个周期.
，
，В正确；
是偶函数，A正确；
因此 的图象关于点 对称，其中 为奇数，得不到C；
对任意的 ，且 ，都有 ，即 时， ，
所以 在 是单调递增，
，
，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共110分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 是正项等比数列，若 则 的最小值等于 .
【答案】 /
【解析】由 可得 ，所以，
当且仅当 时，即 时，取等号，故 的最小值为 ，
故答案为：
14．已知直线 是曲线 的一条切线，则 .
【答案】2
【解析】 ，
当 时， ， ，
设切点为 ，则切线斜率为 ，故切线斜率不可能为 ，舍去，
当 时， ， ，
设切点为 ，则切线斜率为 ，令 ，
解得 ，则切点为 ，
将 代入 中得， ，解得 .
故答案为：2
15． ， 分别为双曲线 （ ， ）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若
的最小值为 ，则双曲线的离心率e的最大值是 ．
【答案】3
【解析】 ， 是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以 ，代入得 ，
当且仅当 时取等号，即 ，
又点P是双曲线左支上任意一点，所以 ，即 ，即 .
故答案为：3
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲
率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面
体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点
有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .根据曲率
的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】 /
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ；
由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设数列 满足 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
【解析】（1）由 ，则 ，
所以 ，
由 ， ，则
故数列 为等比数列.
（2）由（1）可知数列 是以 为首项，以3为公比，
故 ， ，
则 ； ；
.
由累加法可得： ，
由 ，则 .
18．（12分）
在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分 ， ，求BD长的最大值.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
由 得 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .又 ，
所以 .因为 ，所以 .（2）
由 ，
得 ，
所以 ，在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
从而 ，当且仅当 取等号.
则 ，
当且仅当 取等号，则 长的最大值为3.
19．（12分）
随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一
款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度
与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”
“困难”的概率分别为 ，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困
难”的概率分别为 ，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用 表示第 关的难度为“困难”的概率，求 ．【解析】（1）已知第1关的难度为“容易”，则第 2关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别
为 ，
故第3关的难度是“困难”的概率为 ；
（2）由题意可得， 表示第 关的难度为“困难”的概率， 表示第 关的难度为“困难”的概率，
则 ，整理可得： ，
根据题意得 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 .
20．（12分）
如图，三棱锥 的平面展开图中， ， ， ， ， 为
的中点．
(1)在三棱锥 中，证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）
由 ，得 ，且 为 的中点，所以 ，
取 中点为 ，连接 ， ，
可得 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ；
（2）如图，过点 作 ，交 于点 ，
以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，
在 中，可得点 到 距离为 ，
故可得 ，
， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
平面 与平面 的夹角为 ，由 ,取 ，
所以 ，
由 ,取 ，
所以 ，
所以
所以两平面的夹角的余弦值为 .
21．（12分）
已知椭圆 的左、右顶点为 ，点 是椭圆 的上顶点，直线 与圆
相切，且椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 右焦点 的直线 （与 轴不重合）与椭圆 交于 两点，若点 ，且 ，求
实数 的取值范围．
【解析】（1）由 可得： ①因 ，则 即： ，
又因直线 与圆 相切，则 ，化简得： ②，
联立①②，可解得： ，故椭圆 的标准方程为： .
（2）如图，因直线 与 轴不重合，椭圆焦点为 ，故可设 ，
由 ，消去 整理得： ，
易得： ，不妨设 ，则有
设 中点为 ，则： , ，
即： ，
因 ，则 为直线 的中垂线.
当 时，直线 的斜率为 ，故直线 的中垂线 的斜率为 ，
于是 ，因 ，则有： ，
①当 时， ，此时直线 ，点 ，符合题意；
②当 时， ，若 ，则 ，可得 ，当且仅当 时取等号；
若 ，则 ,可得 ，当且仅当 时取等号.
综上，实数 的取值范围为 .
22．（12分）
已知函数 （ ）， 为 的导函数， .(1)若 ，求 在 上的最大值；
(2)设 ， ，其中 .若直线 的斜率为 ，且 ，求实数
的取值范围.
【解析】（1）若 ，可得 ，则 ，
即 ，可得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，即函数 的最大值为 .
（2）由 ，可得 ，
因为 ，
所以对任意 且 ，都有 ，
因为 ，可得 ，则 ，
对任意 且 ，令 ，
则对于 恒成立，
由
则 对于 恒成立，
记 ，
可得 ，
①若 ，则 ， 在 单调递增，所以 ，符合题意；
②若 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
所以，当 时， ，不符合题意（舍去），
综上可得， ，即实数 的取值范围为
