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专题08 解答题15 题、16 题、17 题必会题
（6 阶题组）专项训练（二）
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知等差数列
和等比数列
满足
，
，
，
.
（1）求
和
的通项公式；
（2）数列
和
中的所有项分别构成集合
，
，将
的所有元素按从小到大依次排列构成一个
新数列
，求数列
的前60 项和
.
16．某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球
个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.
规定：摸到红球记分，摸到白球记
分，摸到黑球记
分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为
，若
，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若丙顾客按照方案二摸球记分，求
的分布列和数学期望.
17．如图，在圆锥
中，
为底面圆
的一条直径，
为底面圆周上不同于
的两点，圆锥母线
长为
.
(1)若
，平面
与平面
的交线为，证明：
∥；
(2)若
与平面
所成角的正切值为
，求
的长.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知公比大于的等比数列
满足
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
.
16．如图，在四棱锥
中，四边形ABCD 为菱形，
，E，F 分别是PA，PD 的中点，
过E，F 作平面
交线段PB，PC 分别于点G，H，且
(1)求证：
；
(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角
为
，二面角
的正弦值为
，求t 的值．
17．已知函数
，
.
(1)求
的单调区间和极小值；
(2)证明：当
时，
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
中内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)若
，
边上的中线
长为
，求
的面积.
16．在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
，
，点E
为线段
的中点，点F 为线段
上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
的夹角为
，求点P 到平面
的距离.
17．已知函数
，其中
.
(1)求
的极值；
(2)讨论
的零点的个数.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．在圆内接四边形
中，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求
的面积最大值.
16．已知椭圆C
的焦距为2，且过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若A，B 分别是C 的左、右顶点，设直线
与x 轴交于点P，点Q 是直线
上不同于点
的一点，
直线BQ 与C 交于另一点M，直线AM 与
交于点N，是否存在点Q，使得
？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
17．在四棱台
中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，
，
，
，过
的平面
分别交
，
于点M，N，且
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在棱
上，求直线
与平面
所成角的正弦值取最大值时，
的值；
(3)求平面MAC 与平面
夹角的余弦值.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A；
(2)若
，求
外接圆面积的最小值.
16．如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，点
在线段
上，
平面
.
(1)证明：
为
的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求
的长.
17．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为
了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200 名学生的化
学成绩，将他们的成绩分成以下6 组：
，
，
，
，
，统计结果如下面的频
数分布表所示.
组别
频数
20
30
40
60
30
20
(1)现利用分层抽样的方法从前3 组中抽取9 人，再从这9 人中随机抽取4 人调查其成绩不理想的原因，试
求这4 人中至少有2 人来自前2 组的概率.
(2)高一学生的这次化学成绩
（单位：分）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本的标准差，并已求得
.且这次测试恰有2 万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间
内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25 小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19 分的学生赠送40 小时的学习视频，化学成绩在
内
的学生赠送30 小时的学习视频，化学成绩高于84.81 分的学生赠送10 小时的学习视频.问：哪种方案该平
台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则
，
.
（建议用时：30 分钟，满分：43 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15 题13 分、16 题15 分、17 题15 分）
15．已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
16．已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
17．有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50 名参赛人员进行答题偏
好的问卷调查，调查所得数据如下表：
科普类
文学类
合计
男生
5
女生
10
合计
25
50
(1)完成以上列联表，依据小概率值
的
独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有
关联？
(2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6 人时，题库给出的题
量
的数据，用最小二乘法得到答题量
关于参赛人数
的回归直线方程为
，已知该组数据的相
关系数
，题量
的方差
，求
的值（结果精确到0.1）.
附：参考公式：
，其中
.
回归系数
，相关系数
，
.
参考数据：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
